Πραγματικοί Αριθμοί 🔢

Μέχρι τώρα ήξερες τους ρητούς αριθμούς — φυσικούς, ακέραιους, κλάσματα, δεκαδικούς. Αλλά υπάρχουν αριθμοί που δεν χωρούν σε κανένα κλάσμα, όσο κι αν προσπαθήσεις. Σε αυτή την ενότητα θα γνωρίσεις αυτούς τους αριθμούς και θα δεις πώς όλοι μαζί, ρητοί και μη, συνθέτουν το μεγάλο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Ένα πρόβλημα που δεν λύνεται με κλάσμα 🧩

Φαντάσου ένα τετράγωνο με εμβαδόν 2 τετραγωνικά μέτρα. Πόσο μάκρος έχει η πλευρά του; Αν η πλευρά είναι $x$, τότε $x \cdot x = 2$, δηλαδή $x = \sqrt{2}$.

Δοκίμασε να βρεις αυτόν τον αριθμό ως κλάσμα. Ξέρεις ότι $1^2 = 1$ και $2^2 = 4$, άρα το $\sqrt{2}$ είναι κάπου ανάμεσα στο 1 και στο 2. Δοκιμάζεις $1,4^2 = 1,96$ και $1,5^2 = 2,25$: είναι ανάμεσα στο 1,4 και το 1,5. Όσο κι αν συνεχίσεις να προσθέτεις δεκαδικά ψηφία, δεν θα βρεις ποτέ έναν αριθμό που, πολλαπλασιασμένος με τον εαυτό του, να δίνει ακριβώς 2. Αυτό δεν είναι τύχη — έχει αποδειχθεί ότι είναι αδύνατο να γραφτεί το $\sqrt{2}$ ως κλάσμα δύο ακεραίων.

Τι είναι ο άρρητος αριθμός 🚫🔢

Έναν αριθμό σαν το $\sqrt{2}$, που δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα $\dfrac{\alpha}{\beta}$ με $\alpha, \beta$ ακέραιους και $\beta \neq 0$, τον ονομάζουμε άρρητο αριθμό. Το όνομα δεν σημαίνει «παράλογος» — σημαίνει «χωρίς λόγο (ratio)», δηλαδή χωρίς κλάσμα.

Ένας άρρητος αριθμός, όταν τον γράψουμε ως δεκαδικό, έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με σταθερό μοτίβο. Αυτό είναι το κλειδί που τον ξεχωρίζει από έναν ρητό: ένας ρητός αριθμός, όταν γίνει δεκαδικός, είτε τελειώνει κάποια στιγμή είτε επαναλαμβάνει για πάντα την ίδια ομάδα ψηφίων (περιοδικός δεκαδικός, όπως το $0,3333...$ ή το $1,272727...$). Ο άρρητος δεν κάνει ποτέ κάτι τέτοιο.

Πού συναντάμε άρρητους αριθμούς 🌱

Οι άρρητοι αριθμοί εμφανίζονται σε συγκεκριμένες, αναγνωρίσιμες περιπτώσεις:

• Τετραγωνικές ρίζες αριθμών που δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Το $\sqrt{4}=2$ είναι ρητός, γιατί το 4 είναι τέλειο τετράγωνο ($2^2$). Όμως το $\sqrt{2}$, το $\sqrt{3}$, το $\sqrt{5}$, το $\sqrt{7}$, το $\sqrt{8}$ είναι άρρητοι, γιατί κανένας ακέραιος αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο δεν δίνει 2, 3, 5, 7 ή 8.
• Κυβικές ρίζες αριθμών που δεν είναι τέλειοι κύβοι. Το $\sqrt[3]{8}=2$ είναι ρητός (το 8 είναι τέλειος κύβος, $2^3$), ενώ το $\sqrt[3]{2}$, το $\sqrt[3]{3}$, το $\sqrt[3]{4}$, το $\sqrt[3]{5}$ είναι άρρητοι.
• Μη περιοδικοί δεκαδικοί με άπειρα ψηφία, όπως ο $0,24681012141618...$ (όπου προστίθενται συνεχώς οι επόμενοι ζυγοί αριθμοί, χωρίς ποτέ να «κλειδώνει» σε επαναλαμβανόμενη ομάδα ψηφίων).
• Ειδικές σταθερές που εμφανίζονται συχνά στα μαθηματικά και στη φυσική: το π (π ≈ 3,14159...), ο αριθμός $e$ (βάση των φυσικών λογαρίθμων, ≈ 2,71828...) και ο $\varphi$, η χρυσή αναλογία (≈ 1,61803...).

Πώς εμφωλεύονται τα σύνολα αριθμών 🪆

Ως τώρα έμαθες τέσσερα σύνολα αριθμών, το ένα μέσα στο άλλο, σαν ρωσικές κούκλες:

• Οι φυσικοί αριθμοί $\mathbb{N}$: $0, 1, 2, 3, ...$
• Οι ακέραιοι $\mathbb{Z}$: οι φυσικοί μαζί με τους αρνητικούς τους, π.χ. $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
• Οι ρητοί $\mathbb{Q}$: όλοι οι αριθμοί που γράφονται ως κλάσμα $\dfrac{\alpha}{\beta}$, π.χ. $\dfrac{3}{5}$, $-2$, $8,4$, $0,4444...$

Κάθε φυσικός είναι και ακέραιος (το 5 είναι ακέραιος). Κάθε ακέραιος είναι και ρητός (το $-3$ γράφεται $\dfrac{-3}{1}$). Άρα:

Τώρα προσθέτουμε το τέταρτο, μεγαλύτερο σύνολο: τους πραγματικούς αριθμούς $\mathbb{R}$. Αυτό το σύνολο περιλαμβάνει όλους τους ρητούς και όλους τους άρρητους μαζί:

όπου το $\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ συμβολίζει ακριβώς το σύνολο των άρρητων αριθμών (όλα τα στοιχεία του $\mathbb{R}$ που δεν ανήκουν στο $\mathbb{Q}$).

Έτσι η πλήρης αλυσίδα εμφώλευσης είναι:

και οι άρρητοι είναι το κομμάτι του $\mathbb{R}$ που μένει έξω από το $\mathbb{Q}$.

Παρατήρησε τη γραμμή του $-\sqrt{25}$: φαίνεται σαν άρρητος επειδή έχει ρίζα, αλλά $\sqrt{25}=5$, οπότε ο αριθμός είναι στην πραγματικότητα $-5$, δηλαδή ακέραιος (και άρα και ρητός). Πάντα υπολόγισε πρώτα τη ρίζα πριν αποφασίσεις σε ποιο σύνολο ανήκει ο αριθμός.

Η αριθμητική ευθεία: μία θέση για κάθε πραγματικό αριθμό 📏↔️

Όλοι οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί μαζί «γεμίζουν» εντελώς μια ευθεία γραμμή, την αριθμητική ευθεία (ή άξονα των πραγματικών αριθμών). Το 0 βρίσκεται στο κέντρο, οι θετικοί αριθμοί απλώνονται προς τα δεξιά και οι αρνητικοί προς τα αριστερά.

Το σημαντικό είναι αυτό: σε κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός, και σε κάθε πραγματικό αριθμό αντιστοιχεί ακριβώς ένα σημείο. Αν χρησιμοποιούσες μόνο τους ρητούς, θα έμεναν «τρύπες» στην ευθεία — σημεία χωρίς αριθμό, όπως ακριβώς εκείνο που αντιστοιχεί στο $\sqrt{2}$. Οι άρρητοι είναι ακριβώς αυτοί που γεμίζουν τις τρύπες. Γι' αυτό η ένωση ρητών και άρρητων ονομάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών: μαζί καλύπτουν την ευθεία χωρίς κενά.

Πώς προσεγγίζουμε έναν άρρητο αριθμό 🎯

Επειδή δεν μπορούμε να γράψουμε έναν άρρητο αριθμό με ακρίβεια (τα ψηφία του δεν τελειώνουν ποτέ), τον προσεγγίζουμε με ρητούς αριθμούς όσο ακριβείς χρειαζόμαστε. Ας δούμε πώς, παίρνοντας το $\sqrt{2}$ ως παράδειγμα.

Βήμα 1: Εντοπίζουμε ανάμεσα σε ποιους διαδοχικούς ακεραίους βρίσκεται.
Ξέρουμε ότι $1 < 2 < 4$. Παίρνοντας τετραγωνική ρίζα και στα τρία μέρη: $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, δηλαδή $1 < \sqrt{2} < 2$.

Βήμα 2: Στενεύουμε το διάστημα με δεκαδικούς.
Δοκιμάζουμε $1,4$ και $1,5$: $1,4^2 = 1,96$ και $1,5^2 = 2,25$. Επειδή $1,96 < 2 < 2,25$, συμπεραίνουμε ότι $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$.

Αν θέλουμε ακόμα μεγαλύτερη ακρίβεια, συνεχίζουμε με τρίτο δεκαδικό ψηφίο, μετά τέταρτο, και ούτω καθεξής — κάθε φορά «σφίγγοντας» περισσότερο το διάστημα μέσα στο οποίο βρίσκεται ο άρρητος αριθμός.

Την ίδια μέθοδο χρησιμοποιούμε για να βρούμε ποιος ακέραιος είναι πιο κοντά σε μια ρίζα. Για παράδειγμα, για το $\sqrt{28}$: επειδή $5^2=25$ και $6^2=36$, ξέρουμε $5 < \sqrt{28} < 6$. Η απόσταση του 28 από το 25 είναι $3$, ενώ από το 36 είναι $8$ — άρα το $\sqrt{28}$ είναι πιο κοντά στο 5.

Πώς συγκρίνουμε πραγματικούς αριθμούς ⚖️

Για να συγκρίνεις δύο πραγματικούς αριθμούς που περιλαμβάνουν ρίζες, το πιο αξιόπιστο εργαλείο είναι να τους φέρεις στην ίδια μορφή.

Μέθοδος 1: Μετατροπή ακεραίου σε ρίζα.
Για να συγκρίνεις το 7 με το $\sqrt{50}$, γράφεις το 7 ως $\sqrt{49}$ (αφού $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$). Τώρα συγκρίνεις απευθείας τους αριθμούς κάτω από τη ρίζα: $49 < 50$, άρα $\sqrt{49} < \sqrt{50}$, δηλαδή $7 < \sqrt{50}$.

Μέθοδος 2: Ύψωση και των δύο μελών στο τετράγωνο (ή στον κύβο).
Για να συγκρίνεις το $\sqrt{7}$ με το $\dfrac{8}{3}$, αφού και οι δύο είναι θετικοί αριθμοί, υψώνεις και τους δύο στο τετράγωνο: $7$ έναντι $\left(\dfrac{8}{3}\right)^2 = \dfrac{64}{9} \approx 7,11$. Επειδή $7 < 7,11...$, συμπεραίνεις ότι $\sqrt{7} < \dfrac{8}{3}$.

Αυτή η ίδια λογική —ύψωση στο τετράγωνο ή στον κύβο για να «φύγει» η ρίζα— χρησιμεύει και για να ελέγξεις αν μια ανισότητα με ρίζες είναι σωστή. Για παράδειγμα, η πρόταση $6 < \sqrt{7} < 8$ ελέγχεται υψώνοντας όλα τα μέλη στο τετράγωνο: $36 < 7 < 64$. Το $36 < 7$ είναι ψευδές, άρα ολόκληρη η αρχική πρόταση είναι λανθασμένη.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα: εκεί που οι άρρητοι εμφανίζονται στη γεωμετρία 📐

Θυμήσου το Πυθαγόρειο θεώρημα από την προηγούμενη τάξη: σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών, $\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$. Οι άρρητοι αριθμοί εμφανίζονται εδώ πολύ συχνά, γιατί η άγνωστη πλευρά προκύπτει σχεδόν πάντα μέσα από τετραγωνική ρίζα.

Για παράδειγμα, αν οι δύο κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν μήκος 5 και 4 μονάδες, η υποτείνουσα είναι

Το 41 δεν είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε το $\sqrt{41}$ είναι άρρητος αριθμός — και για να δώσεις μια πρακτική απάντηση (π.χ. σε μέτρα ενός γεφυριού ή στη διαγώνιο μιας οθόνης), τον προσεγγίζεις με δεκαδικό, όπως έμαθες παραπάνω.