Πυθαγόρειο Θεώρημα 📐

Τι είναι το ορθογώνιο τρίγωνο

Πριν μιλήσουμε για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, πρέπει να θυμηθούμε τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Είναι ένα τρίγωνο που έχει μία γωνία ακριβώς 90 μοίρες, δηλαδή μία ορθή γωνία.

Φαντάσου ένα τρίγωνο σαν το μισό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, κομμένο κατά μήκος της διαγωνίου του. Η γωνία που σχηματίζεται εκεί όπου συναντιούνται οι δύο πλευρές του αρχικού ορθογωνίου είναι η ορθή γωνία του τριγώνου.

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, οι τρεις πλευρές δεν είναι όλες το ίδιο «σημαντικές»:

Οι δύο πλευρές που σχηματίζουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές. Στα σχήματα συνήθως συμβολίζονται με α και β.
Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και συμβολίζεται συνήθως με γ. Η υποτείνουσα είναι πάντα η μεγαλύτερη από τις τρεις πλευρές.

Γιατί η υποτείνουσα είναι πάντα η μεγαλύτερη

Όσο πιο μεγάλη είναι μια γωνία μέσα σε ένα τρίγωνο, τόσο πιο μεγάλη είναι και η πλευρά που βρίσκεται απέναντί της. Επειδή η ορθή γωνία (90°) είναι η μεγαλύτερη δυνατή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά απέναντί της -δηλαδή η υποτείνουσα- είναι υποχρεωτικά η μεγαλύτερη πλευρά.

Η σχέση ανάμεσα στις πλευρές: ένα αριθμητικό παράδειγμα

Ας δούμε ένα συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4 μονάδες. Αν υψώσουμε στο τετράγωνο κάθε κάθετη πλευρά και προσθέσουμε τα αποτελέσματα, παίρνουμε:

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

Και αν μετρήσουμε την υποτείνουσα αυτού του τριγώνου, θα δούμε ότι είναι 5 μονάδες. Το τετράγωνό της είναι:

5^2 = 25

Παρατήρησε κάτι εντυπωσιακό: και τα δύο αποτελέσματα είναι 25! Αυτό δεν είναι τυχαίο. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ισούται πάντα με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Αυτή η κανονικότητα ισχύει για όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλα ή μικρά είναι, και ονομάζεται Πυθαγόρειο Θεώρημα, από το όνομα του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα.

Η γενική διατύπωση του θεωρήματος

Τώρα που είδαμε το θεώρημα να λειτουργεί σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο, μπορούμε να το γράψουμε με γράμματα, ώστε να ισχύει για οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο.

Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι α και β, και η υποτείνουσα είναι γ, τότε ισχύει πάντα:

\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2

Δηλαδή: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

Αυτός ο τύπος είναι πολύ χρήσιμος, γιατί αν ξέρουμε δύο από τις τρεις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε την τρίτη.

Αν ψάχνουμε την υποτείνουσα (ξέρουμε τις δύο κάθετες πλευρές): υψώνουμε στο τετράγωνο τις δύο κάθετες πλευρές, τις προσθέτουμε, και μετά βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος.

Για παράδειγμα, σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 6 cm και 8 cm:

\gamma = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

Αν ψάχνουμε μια κάθετη πλευρά (ξέρουμε την υποτείνουσα και την άλλη κάθετη πλευρά): αφαιρούμε το τετράγωνο της γνωστής κάθετης πλευράς από το τετράγωνο της υποτείνουσας, και μετά βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα.

Για παράδειγμα, σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα 13 cm και μία κάθετη πλευρά 5 cm:

\beta = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}

Το θεώρημα ισχύει ΜΟΝΟ σε ορθογώνιο τρίγωνο

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα εφαρμόζεται αποκλειστικά σε ορθογώνια τρίγωνα. Αν ένα τρίγωνο δεν έχει ορθή γωνία, η σχέση $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$ δεν ισχύει για τις πλευρές του. Επιπλέον, στην ισότητα η υποτείνουσα -δηλαδή η μεγαλύτερη πλευρά, αυτή που είναι απέναντι από την ορθή γωνία- πρέπει πάντα να μπαίνει μόνη της στη μία πλευρά της εξίσωσης, ποτέ μαζί με μια κάθετη πλευρά. Ένα πολύ συνηθισμένο λάθος είναι να μπερδέψουμε ποια πλευρά είναι η υποτείνουσα και να γράψουμε λανθασμένα, για παράδειγμα, $\gamma^2+\alpha^2=\beta^2$ όταν η γ είναι στην πραγματικότητα η υποτείνουσα.

Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Μέχρι τώρα ξεκινούσαμε από ένα τρίγωνο που ξέραμε ότι είναι ορθογώνιο, και υπολογίζαμε μια πλευρά του. Υπάρχει όμως και το αντίθετο πρόβλημα: έχουμε ένα τρίγωνο με τρεις γνωστές πλευρές, αλλά δεν ξέρουμε αν έχει ορθή γωνία. Πώς το ελέγχουμε;

Εδώ μας βοηθάει το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Λέει το εξής: αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι σίγουρα ορθογώνιο.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ένας μαραγκός κόβει τρία ξύλα με μήκη 6 μέτρα, 8 μέτρα και 10 μέτρα, και τα ενώνει σε τρίγωνο. Πώς μπορεί να είναι σίγουρος ότι σχημάτισε ορθή γωνία, χωρίς να τη μετρήσει με γωνιόμετρο;

Πρώτα εντοπίζουμε τη μεγαλύτερη πλευρά: είναι τα 10 μέτρα. Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, αυτή θα είναι η υποτείνουσα. Ελέγχουμε αν το τετράγωνό της ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών:

6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2

Η σχέση ισχύει! Άρα το τρίγωνο είναι σίγουρα ορθογώνιο, και η ορθή γωνία βρίσκεται ακριβώς απέναντι από την πλευρά των 10 μέτρων.

Αν αντίθετα το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρότερων πλευρών δεν ισούταν με το τετράγωνο της μεγαλύτερης, τότε το τρίγωνο δεν θα ήταν ορθογώνιο -απλά αυτό, χωρίς εξαιρέσεις.

Ένα τρικ ηλικιών χιλιάδων ετών

Ο έλεγχος με τα ξύλα 3-4-5 (ή τα πολλαπλάσιά τους, όπως 6-8-10) είναι τόσο παλιός που τον χρησιμοποιούσαν ήδη οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, πολύ πριν αποδειχθεί επίσημα το θεώρημα, για να φτιάχνουν ορθές γωνίες σε κτίρια χρησιμοποιώντας απλά ένα σχοινί με κόμπους σε ίσες αποστάσεις.

Πυθαγόρειες τριάδες

Στο παράδειγμα του μαραγκού, οι αριθμοί 6, 8 και 10 δεν είναι τυχαίοι φυσικοί αριθμοί: ικανοποιούν τη σχέση του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Μια τέτοια τριάδα φυσικών αριθμών ονομάζεται πυθαγόρεια τριάδα.

Πιο συγκεκριμένα, τρεις φυσικοί αριθμοί α, β, γ (με α < β < γ) αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα όταν ισχύει:

\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2

Η πιο γνωστή πυθαγόρεια τριάδα είναι η 3, 4, 5, αφού $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ . Πολλαπλασιάζοντας κάθε αριθμό της με τον ίδιο παράγοντα παίρνουμε νέες τριάδες, όπως η 6, 8, 10 (πολλαπλασιάζοντας επί 2) ή η 9, 12, 15 (πολλαπλασιάζοντας επί 3).

Δεν αρκεί να ισχύει ο τύπος αριθμητικά

Για να λέγεται μια τριάδα «πυθαγόρεια», οι τρεις αριθμοί πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί (θετικοί ακέραιοι, όπως 1, 2, 3, ...). Αν οι αριθμοί είναι δεκαδικοί -ακόμα κι αν ικανοποιούν τη σχέση $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$ - δεν αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1,5, 2 και 2,5 ικανοποιούν αριθμητικά τη σχέση, αφού $1{,}5^2+2^2=2{,}25+4=6{,}25=2{,}5^2$ , όμως δεν είναι πυθαγόρεια τριάδα, γιατί δεν είναι φυσικοί αριθμοί.

Πώς παράγουμε άπειρες πυθαγόρειες τριάδες

Υπάρχει ένας τρόπος να δημιουργούμε όσες πυθαγόρειες τριάδες θέλουμε, χωρίς να τις μαντεύουμε με δοκιμές. Χρειαζόμαστε δύο φυσικούς αριθμούς μ και ν, με τον όρο μ > ν.

Ας δοκιμάσουμε με μ = 2 και ν = 1. Υπολογίζουμε τρεις αριθμούς:

\alpha = \mu^2-\nu^2 = 2^2-1^2 = 4-1 = 3

\beta = 2\mu\nu = 2\cdot2\cdot1 = 4

\gamma = \mu^2+\nu^2 = 2^2+1^2 = 4+1 = 5

Πράγματι, πήραμε την τριάδα 3, 4, 5! Αν δοκιμάσουμε άλλα ζεύγη μ, ν, παίρνουμε νέες τριάδες. Για μ = 3 και ν = 2 προκύπτει η τριάδα 5, 12, 13, αφού $3^2-2^2=5$ , $2\cdot3\cdot2=12$ και $3^2+2^2=13$ .

Γενικά, για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς μ, ν με μ > ν, οι τρεις αριθμοί

\mu^2-\nu^2, \quad 2\mu\nu, \quad \mu^2+\nu^2

σχηματίζουν πάντα μια πυθαγόρεια τριάδα. Αυτό σημαίνει ότι επιλέγοντας διαφορετικά ζεύγη μ και ν, μπορούμε να παράγουμε άπειρες πυθαγόρειες τριάδες.

Πού μας χρησιμεύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα δεν είναι μόνο ένας τύπος για το τετράδιο· χρησιμοποιείται σε πολλές πρακτικές καταστάσεις όπου χρειάζεται να υπολογίσουμε ένα μήκος που δεν μπορούμε να μετρήσουμε άμεσα.

Ένα τυπικό παράδειγμα: κάποιος πετάει έναν χαρταετό, ο οποίος βρίσκεται ακριβώς πάνω από ένα σημείο 30 μέτρα μακριά του, σε ύψος 40 μέτρων. Το σχοινί, το έδαφος και η κατακόρυφη απόσταση του χαρταετού σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθετες πλευρές 30 m και 40 m. Το μήκος του σχοινιού είναι η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου:

x = \sqrt{30^2+40^2} = \sqrt{900+1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ m}

Το θεώρημα βοηθάει επίσης να υπολογίζουμε το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου (χωρίζοντάς το σε δύο ορθογώνια τρίγωνα από τη βάση του), τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, ή ακόμα και την απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία πάνω σε ένα σύστημα συντεταγμένων -αφού η οριζόντια απόσταση, η κατακόρυφη απόσταση και η ευθεία απόσταση ανάμεσά τους σχηματίζουν κι αυτές ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Από τη γεωμετρία στη μηχανική και την πλοήγηση

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα δεν χρησιμοποιείται μόνο στα μαθηματικά της τάξης. Αρχιτέκτονες το χρησιμοποιούν για να ελέγχουν αν οι γωνίες ενός κτιρίου είναι πραγματικά ορθές, μηχανικοί το εφαρμόζουν σε κατασκευές, και ακόμα και συστήματα πλοήγησης το χρησιμοποιούν για να υπολογίζουν την ευθεία απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία.