Περιοδικοί Ρητοί Αριθμοί 🔁

Όταν διαιρείς δύο ακέραιους αριθμούς, το αποτέλεσμα δεν είναι πάντα ένας δεκαδικός με λίγα ψηφία. Μερικές φορές τα ψηφία μετά την υποδιαστολή δεν τελειώνουν ποτέ, αλλά επαναλαμβάνονται συνέχεια με το ίδιο μοτίβο. Σε αυτή την ενότητα θα μάθεις πώς αναγνωρίζεις αυτούς τους αριθμούς, πώς τους γράφεις με έναν σύντομο και ξεκάθαρο τρόπο, και πώς μπορείς να προβλέψεις -πριν καν κάνεις τη διαίρεση- αν ένα κλάσμα θα δώσει δεκαδικό με τέλος ή δεκαδικό που επαναλαμβάνεται για πάντα.

Όταν η διαίρεση δεν τελειώνει ποτέ 🔢

Δοκίμασε να διαιρέσεις το 1 με το 3. Κάνοντας τη διαίρεση με το χέρι, παίρνεις:

1 : 3 = 0,333333...

Όσο κι αν συνεχίσεις τη διαίρεση, θα εξακολουθείς να παίρνεις το ψηφίο 3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι πάντα 1, οπότε κατεβάζοντας συνεχώς μηδενικά παίρνεις συνεχώς το ίδιο πηλίκο ψηφίου. Η διαίρεση, δηλαδή, δεν "κλείνει" ποτέ με υπόλοιπο 0.

Ένας δεκαδικός αριθμός με αυτή τη συμπεριφορά -δηλαδή με άπειρα δεκαδικά ψηφία, από τα οποία, από ένα σημείο και μετά, ένα «κομμάτι» επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά χωρίς τέλος- ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός.

Το κομμάτι που επαναλαμβάνεται ονομάζεται περιοδικό τμήμα, και το πλήθος των ψηφίων που έχει αυτό το τμήμα ονομάζεται περίοδος του αριθμού.

Στο παράδειγμα του $0,333...$ , το ψηφίο που επαναλαμβάνεται είναι το 3. Άρα το περιοδικό τμήμα είναι το «3» και η περίοδος είναι 1, αφού ένα μόνο ψηφίο επαναλαμβάνεται.

Ένας αριθμός, άπειρες γραφές

Ο αριθμός $0,333...$ δεν είναι «σχεδόν» το $\frac{1}{3}$ — είναι ακριβώς το $\frac{1}{3}$ . Τα τρία τελεία δεν σημαίνουν «και πάει λέγοντας κάπως», αλλά «το 3 επαναλαμβάνεται στο αναπόσπαστο, χωρίς καμία εξαίρεση, μέχρι το άπειρο». 🔎

Πώς γράφουμε συντομογραφικά έναν περιοδικό αριθμό ✏️

Το να γράφεις τρεις τελείες ή πολλά ψηφία στη σειρά δεν είναι ούτε βολικό ούτε ξεκάθαρο -πόσα ψηφία αρκούν για να καταλάβει κάποιος ότι επαναλαμβάνονται; Γι' αυτό χρησιμοποιούμε ένα ειδικό σύμβολο: βάζουμε μια οριζόντια γραμμή (παύλα) πάνω από το ψηφίο ή τα ψηφία που επαναλαμβάνονται. Αυτή η γραμμή λέγεται παύλα περιοδικότητας.

Έτσι, αντί να γράφουμε $0,333...$ , γράφουμε:

0,\overline{3}

Αν το περιοδικό τμήμα έχει περισσότερα από ένα ψηφία, η γραμμή καλύπτει όλα τα ψηφία που επαναλαμβάνονται μαζί, ως ομάδα. Για παράδειγμα, ο αριθμός $-34,23181818...$ γράφεται:

-34,23\overline{18}

Εδώ το «18» είναι το ζευγάρι ψηφίων που ξαναέρχεται συνέχεια (18, 18, 18, ...), άρα το περιοδικό τμήμα είναι το «18» και η περίοδος είναι 2, αφού δύο ψηφία αποτελούν το επαναλαμβανόμενο κομμάτι.

Η γραμμή καλύπτει ΜΟΝΟ το επαναλαμβανόμενο κομμάτι

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να μπαίνει η γραμμή πάνω από λάθος ψηφία -είτε πάνω από ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται είτε πάνω από ένα μόνο ψηφίο ενώ επαναλαμβάνονται δύο ή περισσότερα μαζί. Πριν βάλεις τη γραμμή, βρες πρώτα ποιο ακριβώς «κομμάτι» ξαναέρχεται αμετάβλητο, ψηφίο προς ψηφίο, και μετά βάλε τη γραμμή πάνω σε ολόκληρο αυτό το κομμάτι, ούτε λιγότερο ούτε περισσότερο. Στο $-34,23\overline{18}$ , η γραμμή πάει πάνω από το «18» και όχι πάνω από το «2318» ή μόνο πάνω από το «1». ⚠️

Απλοί και μικτοί περιοδικοί αριθμοί 🧩

Δεν είναι όλοι οι περιοδικοί αριθμοί ίδιοι ως προς το πού ξεκινάει η επανάληψη. Ανάλογα με το αν το περιοδικό τμήμα αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή ή όχι, ξεχωρίζουμε δύο κατηγορίες.

Απλός περιοδικός

Ένας περιοδικός αριθμός λέγεται απλός περιοδικός όταν το περιοδικό τμήμα ξεκινάει αμέσως μετά την υποδιαστολή, δηλαδή δεν παρεμβάλλεται κανένα άλλο ψηφίο ανάμεσα στο κόμμα και την αρχή της επανάληψης.

Παράδειγμα: ο αριθμός $0,\overline{3}$ είναι απλός περιοδικός, γιατί αμέσως μετά το κόμμα ξεκινάει το «3» που επαναλαμβάνεται.

Άλλο παράδειγμα: ο αριθμός $2,\overline{45}$ (δηλαδή $2,454545...$ ) είναι επίσης απλός περιοδικός, αφού η επανάληψη «45» ξεκινάει ακριβώς μετά το κόμμα.

Μικτός περιοδικός

Ένας περιοδικός αριθμός λέγεται μικτός περιοδικός όταν ανάμεσα στην υποδιαστολή και την αρχή του περιοδικού τμήματος υπάρχουν ένα ή περισσότερα ψηφία που ΔΕΝ επαναλαμβάνονται. Αυτά τα ψηφία λέγονται το μη περιοδικό τμήμα του δεκαδικού μέρους.

Παράδειγμα: ο αριθμός $-34,23\overline{18}$ είναι μικτός περιοδικός. Ανάμεσα στο κόμμα και στην αρχή της επανάληψης («18») παρεμβάλλεται το «23», που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ.

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τη διαφορά:

Είδος	Πού ξεκινά η επανάληψη	Παράδειγμα
Απλός περιοδικός	Αμέσως μετά την υποδιαστολή	$0,\overline{3}$
Μικτός περιοδικός	Μετά από ένα ή περισσότερα μη επαναλαμβανόμενα ψηφία	$-34,23\overline{18}$

Μην μπερδεύεις το μη περιοδικό με το ακέραιο μέρος

Το «μη περιοδικό τμήμα» βρίσκεται πάντα ΜΕΤΑ την υποδιαστολή, όχι πριν. Στο $-34,23\overline{18}$ , το $-34$ είναι το ακέραιο μέρος του αριθμού και δεν έχει καμία σχέση με το αν ο αριθμός είναι απλός ή μικτός περιοδικός. Αυτό που κρίνει την κατηγορία είναι μόνο τι συμβαίνει ΜΕΤΑ το κόμμα: αν η επανάληψη ξεκινά αμέσως (απλός) ή καθυστερεί (μικτός). 🧐

Ρητοί αριθμοί και δεκαδική γραφή ↔️

Θυμήσου ότι ρητός αριθμός είναι κάθε αριθμός που μπορεί να γραφτεί σαν κλάσμα $\frac{\mu}{\nu}$ , με $\mu$ και $\nu$ ακέραιους και $\nu \neq 0$ . Κάθε φορά που παίρνεις έναν ρητό αριθμό και τον μετατρέπεις σε δεκαδικό (κάνοντας τη διαίρεση αριθμητή διά παρονομαστή), μπορεί να συμβεί μόνο ένα από τα δύο:

Η διαίρεση να «κλείσει» κάποια στιγμή με υπόλοιπο 0, οπότε παίρνεις έναν δεκαδικό με πεπερασμένο (δηλαδή συγκεκριμένο, τελειωμένο) πλήθος ψηφίων. Για παράδειγμα, $\frac{1}{4} = 0,25$ .
Η διαίρεση να μην «κλείσει» ποτέ, οπότε παίρνεις έναν περιοδικό δεκαδικό, όπως το $\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$ .

Αυτό ισχύει και αντίστροφα: κάθε δεκαδικός με πεπερασμένα ψηφία και κάθε περιοδικός δεκαδικός αντιστοιχούν πάντα σε κάποιον ρητό αριθμό, δηλαδή μπορούν να γραφτούν σαν κλάσμα.

Με άλλα λόγια, η δεκαδική γραφή ενός ρητού αριθμού είναι πάντα μία από τις δύο αυτές μορφές -ποτέ κάτι διαφορετικό. Δεν υπάρχει περίπτωση ένας ρητός αριθμός να δώσει δεκαδικό με άπειρα ψηφία που ΔΕΝ επαναλαμβάνονται ποτέ σε κανένα μοτίβο· αυτό συμβαίνει μόνο σε αριθμούς που δεν είναι ρητοί (όπως ο $\pi$ ), τους οποίους δεν μελετάς σε αυτή την ενότητα.

Πώς προβλέπεις το είδος του δεκαδικού χωρίς να κάνεις τη διαίρεση 🔍

Το πιο χρήσιμο κομμάτι αυτής της ενότητας είναι ότι μπορείς να ξέρεις ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ αν ένα κλάσμα θα δώσει πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό, χωρίς να χρειάζεται να κάνεις καν τη διαίρεση. Το μόνο που χρειάζεσαι είναι να κοιτάξεις τον παρονομαστή του, αφού πρώτα το κάνεις ανάγωγο.

Κανόνας: Ένας ανάγωγος ρητός αριθμός $\frac{\mu}{\nu}$ μετατρέπεται σε δεκαδικό με πεπερασμένο πλήθος ψηφίων αν, και μόνο αν, ο παρονομαστής $\nu$ , όταν τον αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, περιέχει ΜΟΝΟ τους παράγοντες 2 ή/και 5 (σε οποιαδήποτε δύναμη).

Αν ο παρονομαστής περιέχει έστω κι έναν άλλο πρώτο παράγοντα (όπως το 3, το 7, το 11 κ.λπ.), τότε ο δεκαδικός θα είναι οπωσδήποτε περιοδικός.

Ας δούμε βήμα-βήμα πώς εφαρμόζεται αυτός ο κανόνας σε τρία παραδείγματα.

Παράδειγμα 1: Εξέτασε το $\frac{5}{16}$ .

Βήμα 1: Το κλάσμα είναι ήδη ανάγωγο (το 5 και το 16 δεν έχουν κοινό διαιρέτη).
Βήμα 2: Αναλύεις τον παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες: $16 = 2^4$ .
Βήμα 3: Ο παρονομαστής περιέχει μόνο τον παράγοντα 2, άρα ο δεκαδικός θα έχει πεπερασμένο πλήθος ψηφίων.
Επαλήθευση: πράγματι, $\frac{5}{16} = 0,3125$ .

Παράδειγμα 2: Εξέτασε το $\frac{5}{12}$ .

Βήμα 1: Το κλάσμα είναι ανάγωγο.
Βήμα 2: Αναλύεις τον παρονομαστή: $12 = 2^2 \cdot 3$ .
Βήμα 3: Ο παρονομαστής περιέχει τον παράγοντα 3, εκτός από το 2, άρα ο δεκαδικός θα είναι περιοδικός.
Επαλήθευση: πράγματι, $\frac{5}{12} = 0,41\overline{6}$ .

Παράδειγμα 3: Εξέτασε το $\frac{7}{40}$ .

Βήμα 1: Το κλάσμα είναι ανάγωγο.
Βήμα 2: Αναλύεις τον παρονομαστή: $40 = 2^3 \cdot 5$ .
Βήμα 3: Ο παρονομαστής περιέχει μόνο τους παράγοντες 2 και 5, άρα ο δεκαδικός θα έχει πεπερασμένο πλήθος ψηφίων.
Επαλήθευση: πράγματι, $\frac{7}{40} = 0,175$ .

Γιατί ακριβώς το 2 και το 5;

Το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε είναι το δεκαδικό, δηλαδή βασίζεται στο 10. Επειδή $10 = 2 \cdot 5$ , κάθε κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής «χωράει» μόνο σε δυνάμεις του 2 και του 5 μπορεί να μετατραπεί σε ισοδύναμο κλάσμα με παρονομαστή μια δύναμη του 10 (όπως 10, 100, 1000...), και ένα τέτοιο κλάσμα γράφεται πάντα ως δεκαδικός με τέλος. Αν στον παρονομαστή υπάρχει κι άλλος πρώτος αριθμός, αυτό δεν είναι δυνατό, και η διαίρεση αναγκαστικά «κολλάει» σε έναν κύκλο υπολοίπων που επαναλαμβάνεται για πάντα. 💡

Πρόσεξε: το κλάσμα πρέπει να είναι ΑΝΑΓΩΓΟ πρώτα

Ο κανόνας λειτουργεί ΜΟΝΟ πάνω σε ανάγωγο κλάσμα. Αν εφαρμόσεις τον κανόνα σε κλάσμα που δεν έχεις απλοποιήσει, μπορεί να βγάλεις λάθος συμπέρασμα. Για παράδειγμα, το $\frac{15}{48}$ φαίνεται να έχει «κακό» παρονομαστή ( $48 = 2^4 \cdot 3$ ), όμως αν το απλοποιήσεις πρώτα βρίσκεις $\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$ , με παρονομαστή $16 = 2^4$ -άρα τελικά δίνει πεπερασμένο δεκαδικό ( $0,3125$ ). Πάντα απλοποίησε πρώτα, μετά κοίτα τον παρονομαστή. ⚠️

Ανακεφαλαίωση με ένα ακόμη παράδειγμα 📝

Ας δούμε ολοκληρωμένα το $\frac{3}{25}$ :

Το κλάσμα είναι ανάγωγο.
$25 = 5^2$ , δηλαδή μόνο ο παράγοντας 5.
Άρα περιμένουμε πεπερασμένο δεκαδικό, και πράγματι $\frac{3}{25} = 0,12$ .

Και το $\frac{1}{7}$ :

Το κλάσμα είναι ανάγωγο.
Ο παρονομαστής 7 είναι πρώτος αριθμός διαφορετικός από το 2 και το 5.
Άρα περιμένουμε περιοδικό δεκαδικό, και πράγματι $\frac{1}{7} = 0,\overline{142857}$ , με περίοδο 6 ψηφίων.

Βλέπεις λοιπόν ότι η περίοδος δεν έχει πάντα το ίδιο μήκος -μπορεί να είναι 1 ψηφίο, 2 ψηφία, ή και περισσότερα, ανάλογα με τον παρονομαστή. Το σημαντικό είναι ότι, όποιο κι αν είναι το μήκος της, το μοτίβο συνεχίζεται αναλλοίωτο για πάντα.

Συνοψίζοντας όλη την ενότητα: κάθε ρητός αριθμός δίνει δεκαδικό είτε πεπερασμένο είτε περιοδικό. Έναν περιοδικό τον αναγνωρίζεις από το επαναλαμβανόμενο τμήμα του, τον γράφεις σύντομα με την παύλα περιοδικότητας, τον κατατάσσεις σε απλό ή μικτό ανάλογα με το πού ξεκινά η επανάληψη, και μπορείς να προβλέψεις το είδος του δεκαδικού κοιτάζοντας μόνο τους πρώτους παράγοντες του (ανάγωγου) παρονομαστή του.