Διαίρεση Ρητών Αριθμών ➗

Ξέρεις ήδη να διαιρείς φυσικούς αριθμούς, όπως $20 : 4 = 5$ . Τώρα οι αριθμοί μπορούν να έχουν και πρόσημο, θετικό ή αρνητικό, και μπορεί να είναι και κλάσματα ή δεκαδικοί. Η διαίρεση ρητών αριθμών χρειάζεται δύο πράγματα: να βρεις το πρόσημο του αποτελέσματος και να βρεις το μέγεθός του. Αυτή η δεξιότητα σου χρειάζεται παντού· από το να μοιράσεις δίκαια ένα χρέος μέχρι να λύσεις μια εξίσωση.

Τι σημαίνει να διαιρείς δύο ρητούς αριθμούς

Η διαίρεση $\alpha : \beta$ (διαβάζεται « $\alpha$ διά $\beta$ ») ψάχνει τον αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με το $\beta$ , δίνει το $\alpha$ . Ο $\alpha$ λέγεται διαιρετέος, ο $\beta$ λέγεται διαιρέτης και το αποτέλεσμα λέγεται πηλίκο.

Όταν δουλεύουμε με ρητούς αριθμούς, κάθε αριθμός εκτός από το πρόσημό του έχει και ένα μέγεθος, την απόλυτη τιμή του. Για να διαιρέσεις δύο ρητούς αριθμούς κάνεις δύο ξεχωριστά βήματα:

Βρίσκεις το πρόσημο του πηλίκου, κοιτάζοντας τα πρόσημα του διαιρετέου και του διαιρέτη.
Βρίσκεις το μέγεθος του πηλίκου, διαιρώντας τις απόλυτες τιμές των δύο αριθμών.

Αυτά τα δύο βήματα είναι ακριβώς η ίδια λογική που χρησιμοποιείς και στον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών — δεν είναι κάτι καινούριο, απλώς εφαρμόζεται τώρα στη διαίρεση.

Ο κανόνας των προσήμων στη διαίρεση

Το πρόσημο του πηλίκου εξαρτάται αποκλειστικά από το αν οι δύο αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο ή όχι.

Ομόσημοι αριθμοί → θετικό πηλίκο

Όταν ο διαιρετέος και ο διαιρέτης είναι ομόσημοι — δηλαδή είτε και οι δύο θετικοί (+ : +) είτε και οι δύο αρνητικοί (- : -) — το πηλίκο είναι πάντα θετικό.

Για να βρεις την τιμή του, διαιρείς απλώς τις απόλυτες τιμές τους:

(+12) : (+2) = +(12 : 2) = +6

(-30) : (-5) = +(30 : 5) = +6

Παρατήρησε ότι και οι δύο διαιρέσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, $+6$ , παρόλο που η πρώτη έχει δύο θετικούς αριθμούς και η δεύτερη δύο αρνητικούς. Αυτό που μετράει είναι ότι είναι ομόσημοι.

Ετερόσημοι αριθμοί → αρνητικό πηλίκο

Όταν ο διαιρετέος και ο διαιρέτης είναι ετερόσημοι — δηλαδή ο ένας θετικός και ο άλλος αρνητικός (+ : - ή - : +) — το πηλίκο είναι πάντα αρνητικό.

(-45) : (+5) = -(45 : 5) = -9

(+2{,}1) : (-7) = -(2{,}1 : 7) = -0{,}3

Και εδώ, η σειρά δεν έχει σημασία για το πρόσημο· αρκεί ένας από τους δύο να είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός.

Το πιο συνηθισμένο λάθος

Πολλοί μαθητές μπερδεύουν το πρόσημο του πηλίκου με τα πρόσημα που «βλέπουν» πρώτα, χωρίς να προσέξουν αν είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι. Πριν κάνεις οποιαδήποτε πράξη με αριθμούς, ρώτησε τον εαυτό σου: «Έχουν το ίδιο πρόσημο ή διαφορετικό;». Μόνο αυτό αποφασίζει αν το πηλίκο θα είναι $+$ ή $-$ . Το ίδιο ακριβώς ρωτάς και στον πολλαπλασιασμό.

Πηλίκο και γινόμενο, ίδιοι κανόνες

Ο κανόνας των προσήμων στη διαίρεση είναι πανομοιότυπος με αυτόν του πολλαπλασιασμού: ομόσημοι δίνουν $+$ , ετερόσημοι δίνουν $-$ . Αν θυμάσαι τον έναν κανόνα, τον ξέρεις και τον άλλον!

Η διαίρεση ως πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο

Υπάρχει ένας πολύ χρήσιμος τρόπος να βλέπεις κάθε διαίρεση: σαν πολλαπλασιασμό. Κάθε αριθμός $\beta$ (εκτός από το μηδέν) έχει έναν αντίστροφο, δηλαδή τον αριθμό $\frac{1}{\beta}$ . Το χαρακτηριστικό του αντίστροφου είναι ότι, όταν τον πολλαπλασιάσεις με τον αρχικό αριθμό, το αποτέλεσμα είναι πάντα 1.

Η διαίρεση ενός αριθμού $\alpha$ με έναν αριθμό $\beta$ (με $\beta \neq 0$ ) ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του $\alpha$ επί τον αντίστροφο του $\beta$ :

\frac{\alpha}{\beta} = \alpha \cdot \frac{1}{\beta}, \quad \beta \neq 0

Δες πώς λειτουργεί σε ένα παράδειγμα:

(-5) : (+2) = (-5) \cdot \left(+\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2}

Ο κανόνας προσήμων ισχύει και εδώ κανονικά: το $-5$ και το $+2$ είναι ετερόσημοι, άρα το αποτέλεσμα βγαίνει αρνητικό, $-\frac{5}{2}$ .

Αυτή η ιδέα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν διαιρείς κλάσματα. Για να διαιρέσεις με ένα κλάσμα, το αναποδογυρίζεις (βρίσκεις τον αντίστροφό του) και πολλαπλασιάζεις:

\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

Ο αντίστροφος του $\frac{4}{5}$ είναι το $\frac{5}{4}$ — απλώς αντάλλαξες αριθμητή και παρονομαστή.

Πρόσημα μέσα σε κλάσματα

Ένα κλάσμα είναι στην ουσία μια διαίρεση, αφού $\frac{\alpha}{\beta} = \alpha : \beta$ . Γι' αυτό, ο κανόνας των προσήμων ισχύει και μέσα στα κλάσματα. Τρεις χρήσιμες ισοδυναμίες:

\frac{-\alpha}{\beta} = \frac{\alpha}{-\beta} = -\frac{\alpha}{\beta}

\frac{-\alpha}{-\beta} = \frac{\alpha}{\beta}

Δηλαδή: αν ακριβώς ένας από τους δύο όρους του κλάσματος (αριθμητής ή παρονομαστής) είναι αρνητικός, όλο το κλάσμα είναι αρνητικό. Αν είναι και οι δύο αρνητικοί, το «μείον» και στους δύο ακυρώνεται και το κλάσμα γίνεται θετικό.

Παραδείγματα με αριθμούς:

\frac{-20}{4} = -\frac{20}{4} = -5

\frac{15}{-3} = -\frac{15}{3} = -5

\frac{-15}{-3} = \frac{15}{3} = 5

Αυτό σε βοηθά να απλοποιείς κλάσματα με πρόσημα πριν καν κάνεις τη διαίρεση: βρίσκεις πρώτα το τελικό πρόσημο, και μετά δουλεύεις μόνο με θετικούς αριθμούς.

Σύνθετα κλάσματα

Μερικές φορές συναντάς ένα κλάσμα μέσα σε άλλο κλάσμα. Αυτό λέγεται σύνθετο κλάσμα. Για παράδειγμα:

\frac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{7}}

Εδώ ο αριθμητής είναι το κλάσμα $\frac{3}{4}$ και ο παρονομαστής είναι το κλάσμα $\frac{5}{7}$ . Για να το μετατρέψεις σε απλό κλάσμα, θυμήσου ότι η οριζόντια γραμμή ενός κλάσματος σημαίνει πάντα διαίρεση. Άρα διαιρείς τον αριθμητή με τον παρονομαστή, χρησιμοποιώντας ό,τι έμαθες πιο πάνω για τη διαίρεση κλασμάτων (πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο):

\frac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{7}} = \frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20}

Γενικά, για οποιουσδήποτε αριθμούς $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ με $\beta \neq 0$ , $\gamma \neq 0$ , $\delta \neq 0$ :

\frac{\dfrac{\alpha}{\beta}}{\dfrac{\gamma}{\delta}} = \frac{\alpha}{\beta} : \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\delta}{\gamma} = \frac{\alpha \cdot \delta}{\beta \cdot \gamma}

Η συνταγή είναι πάντα ίδια: «κλάσμα διά κλάσμα» γίνεται «πάνω κλάσμα επί τον αντίστροφο του κάτω κλάσματος».

Ειδικές περιπτώσεις διαίρεσης

Υπάρχουν μερικές διαιρέσεις που αξίζει να τις αναγνωρίζεις αμέσως, χωρίς υπολογισμούς.

Διαίρεση με το 1. Κάθε αριθμός διαιρεμένος με το 1 δίνει τον ίδιο τον αριθμό, αφού το 1 δεν αλλάζει κανένα μέγεθος:

\alpha : 1 = \alpha

Π.χ. $(-8) : 1 = -8$ .

Διαίρεση αριθμού με τον εαυτό του. Κάθε αριθμός (εκτός από το 0) διαιρεμένος με τον εαυτό του δίνει πάντα 1:

\alpha : \alpha = 1, \quad \alpha \neq 0

Π.χ. $(-7) : (-7) = 1$ . Ο κανόνας προσήμων το επιβεβαιώνει: ένας αριθμός με τον εαυτό του είναι πάντα ομόσημος, άρα το πηλίκο είναι θετικό, και το μέγεθος είναι πάντα 1.

Διαίρεση του 0. Το 0 διαιρεμένο με οποιονδήποτε αριθμό διάφορο του 0 δίνει πάντα 0:

0 : \alpha = 0, \quad \alpha \neq 0

Π.χ. $0 : (-4) = 0$ . Σκέψου το ως μοίρασμα: αν έχεις 0 ευρώ και τα μοιράσεις σε όσα άτομα θες, καθένας παίρνει 0 ευρώ.

Γιατί απαγορεύεται η διαίρεση με το 0

Δεν επιτρέπεται ποτέ να διαιρέσεις με το 0 — ούτε το 0 να διαιρεθεί με το 0. Θυμήσου ότι η διαίρεση $\alpha : \beta$ ψάχνει έναν αριθμό που, πολλαπλασιασμένος με το $\beta$ , δίνει το $\alpha$ . Αν $\beta = 0$ , τότε οποιοσδήποτε αριθμός επί 0 κάνει πάντα 0, ποτέ δεν μπορεί να βγει κάτι διαφορετικό από 0. Άρα, αν $\alpha \neq 0$ , δεν υπάρχει κανένας αριθμός που να λύνει το πρόβλημα — η διαίρεση είναι αδύνατη. Γι' αυτό λέμε ότι η διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται.

Η επιμεριστική ιδιότητα στη διαίρεση

Η διαίρεση ρητών αριθμών έχει μια χρήσιμη ιδιότητα σε σχέση με την πρόσθεση και την αφαίρεση, παρόμοια με αυτήν του πολλαπλασιασμού. Αν $\alpha, \beta, \gamma$ είναι ρητοί αριθμοί με $\alpha \neq 0$ , τότε:

(\beta + \gamma) : \alpha = \beta : \alpha + \gamma : \alpha

(\beta - \gamma) : \alpha = \beta : \alpha - \gamma : \alpha

Δηλαδή, όταν το άθροισμα ή η διαφορά δύο αριθμών διαιρείται με έναν τρίτο αριθμό, μπορείς να διαιρέσεις κάθε όρο ξεχωριστά και μετά να προσθέσεις ή να αφαιρέσεις τα πηλίκα. Δες το σε ένα παράδειγμα:

[(-4) + (+6)] : (-2) = (-4) : (-2) + (+6) : (-2) = (+2) + (-3) = -1

Μπορείς να το επαληθεύσεις κάνοντας πρώτα την πράξη μέσα στην αγκύλη: $(-4) + (+6) = +2$ , και μετά $(+2) : (-2) = -1$ . Και οι δύο δρόμοι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, $-1$ .

Προσοχή στη φορά της διαίρεσης

Η επιμεριστική ιδιότητα ισχύει μόνο όταν ο διαιρέτης (ο αριθμός με τον οποίο διαιρούμε) είναι ο ίδιος για όλους τους όρους, δηλαδή στη μορφή $(\beta + \gamma) : \alpha$ . ΔΕΝ ισχύει αν αντιστρέψεις τη φορά, δηλαδή για $\alpha : (\beta + \gamma)$ . Για παράδειγμα, $12 : (2 + 4) = 12 : 6 = 2$ , ενώ $12 : 2 + 12 : 4 = 6 + 3 = 9$ — εντελώς διαφορετικό αποτέλεσμα. Πρόσεξε λοιπόν ποιος αριθμός είναι ο διαιρέτης πριν εφαρμόσεις την ιδιότητα.

Λυμένα παραδείγματα βήμα-βήμα

Παράδειγμα 1: Υπολόγισε $(-36) : (+9)$ .

Βήμα 1 — πρόσημα: το $-36$ είναι αρνητικό, το $+9$ είναι θετικό. Είναι ετερόσημοι, άρα το πηλίκο θα είναι αρνητικό.
Βήμα 2 — μέγεθος: $36 : 9 = 4$ .
Αποτέλεσμα: $(-36) : (+9) = -4$ .

Παράδειγμα 2: Υπολόγισε $\left(-\frac{2}{3}\right) : \left(-\frac{4}{9}\right)$ .

Βήμα 1 — πρόσημα: και οι δύο αρνητικοί, άρα ομόσημοι. Το πηλίκο θα είναι θετικό.
Βήμα 2 — μετατροπή σε πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο: $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$ .
Βήμα 3 — πολλαπλασιασμός: $\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ .
Αποτέλεσμα: $\left(-\frac{2}{3}\right) : \left(-\frac{4}{9}\right) = +\frac{3}{2}$ .

Παράδειγμα 3: Υπολόγισε $[(-9) - (+3)] : (-3)$ με δύο τρόπους, για να δεις την επιμεριστική ιδιότητα.

Τρόπος Α (κατευθείαν): $(-9) - (+3) = -12$ , άρα $(-12) : (-3) = +4$ .
Τρόπος Β (επιμεριστική ιδιότητα): $(-9) : (-3) - (+3) : (-3) = (+3) - (-1) = +3 + 1 = +4$ .
Και οι δύο τρόποι δίνουν $+4$ — η ιδιότητα δουλεύει σωστά επειδή ο διαιρέτης $-3$ είναι ίδιος και στους δύο όρους.

Ανακεφαλαίωση

Για να λύσεις σωστά μια διαίρεση ρητών αριθμών, ακολούθησε πάντα αυτή τη σειρά σκέψης:

Έλεγξε αν οι δύο αριθμοί είναι ομόσημοι (πηλίκο θετικό) ή ετερόσημοι (πηλίκο αρνητικό).
Διαίρεσε τις απόλυτες τιμές τους, ή —αν έχεις κλάσματα— πολλαπλασίασε με τον αντίστροφο του διαιρέτη.
Θυμήσου ότι το μηδέν ποτέ δεν μπορεί να είναι διαιρέτης.
Αν βλέπεις άθροισμα ή διαφορά διαιρεμένα με τον ίδιο αριθμό, μπορείς να χρησιμοποιήσεις την επιμεριστική ιδιότητα για να απλοποιήσεις τους υπολογισμούς.