Πρόσθεση Ρητών Αριθμών ➕

Μέχρι τώρα ήξερες να προσθέτεις μόνο θετικούς αριθμούς. Τι γίνεται όμως όταν
μπαίνει στη μέση και ένας αρνητικός; Π.χ. αν χρωστάς 5 ευρώ και μετά δανειστείς
άλλα 3, πόσα χρωστάς συνολικά; Κι αν χρωστάς 5 ευρώ αλλά κάποιος σου δώσει 8;
Σε αυτή την ενότητα θα μάθεις τους ακριβείς κανόνες που σου λένε τι θα κάνεις
σε κάθε τέτοια περίπτωση, χωρίς να χρειάζεται να μαντεύεις.

Μια γρήγορη υπενθύμιση πριν ξεκινήσουμε 🔁

Οι ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίζεις: θετικοί, αρνητικοί, ακέραιοι, κλάσματα, δεκαδικοί — και το μηδέν. Κάθε ρητός αριθμός έχει δύο χαρακτηριστικά:

• Πρόσημο: θετικό (+) ή αρνητικό (−). Το μηδέν δεν έχει πρόσημο.
• Απόλυτη τιμή: η απόσταση του αριθμού από το μηδέν, χωρίς να μας ενδιαφέρει η κατεύθυνση.

Για παράδειγμα, ο αριθμός −5 έχει πρόσημο αρνητικό και απόλυτη τιμή 5, δηλαδή $|-5|=5$. Ο αριθμός +5 έχει πρόσημο θετικό και απόλυτη τιμή επίσης 5, δηλαδή $|+5|=5$. Θυμήσου αυτή τη λέξη — απόλυτη τιμή — γιατί θα την ξαναχρησιμοποιήσουμε συνέχεια παρακάτω.

Δύο αριθμοί μπορούν να σχετίζονται ως εξής, ανάλογα με το πρόσημό τους:

• Ομόσημοι — έχουν το ίδιο πρόσημο. Π.χ. τα +2 και +5 είναι ομόσημοι (και οι δύο θετικοί)· τα −4 και −9 είναι επίσης ομόσημοι (και οι δύο αρνητικοί).
• Ετερόσημοι — έχουν διαφορετικό πρόσημο. Π.χ. τα −3 και +7 είναι ετερόσημοι.

Αυτή η διάκριση είναι το κλειδί όλης της ενότητας: ο κανόνας πρόσθεσης που θα χρησιμοποιήσεις εξαρτάται αποκλειστικά από το αν οι δύο αριθμοί είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι. Δεν υπάρχει τρίτη περίπτωση.

Πρόσθεση ομόσημων ρητών αριθμών 🧮

Όταν οι δύο αριθμοί που προσθέτεις έχουν το ίδιο πρόσημο, δουλεύεις σε δύο βήματα:

1. Προσθέτεις τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή αγνοείς προσωρινά τα πρόσημα και προσθέτεις σαν να ήταν και οι δύο θετικοί).
2. Στο αποτέλεσμα βάζεις το κοινό τους πρόσημο.

Σκέψου το διαισθητικά με χρέη: αν χρωστάς 4 ευρώ και δανειστείς άλλα 9, το συνολικό σου χρέος είναι 13 ευρώ — τα χρέη «μαζεύονται». Το ίδιο συμβαίνει και με τα κέρδη: αν κερδίσεις 2 ευρώ και μετά άλλα 5, έχεις κερδίσει συνολικά 7.

Παράδειγμα 1 — δύο θετικοί:

Και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί, οπότε προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους (2 και 5) και το αποτέλεσμα παίρνει πρόσημο θετικό.

Παράδειγμα 2 — δύο αρνητικοί:

Και οι δύο αριθμοί είναι αρνητικοί, οπότε προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους (4 και 9) και το αποτέλεσμα παίρνει πρόσημο αρνητικό.

Πρόσθεση ετερόσημων ρητών αριθμών ⚖️

Όταν οι δύο αριθμοί έχουν διαφορετικό πρόσημο (ο ένας θετικός, ο άλλος αρνητικός), η λογική αλλάζει: τώρα οι δύο αριθμοί «τραβούν» προς αντίθετες κατευθύνσεις, οπότε δεν τους προσθέτουμε — τους συγκρίνουμε.

1. Βρίσκεις την απόλυτη τιμή του κάθε αριθμού.
2. Αφαιρείς τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη.
3. Στο αποτέλεσμα βάζεις το πρόσημο του αριθμού που είχε τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Ξαναγύρνα στο παράδειγμα με τα χρήματα: αν χρωστάς 3 ευρώ (−3) αλλά κάποιος σου δώσει 7 ευρώ (+7), τότε αφού πληρώσεις το χρέος σου περισσεύουν $7-3=4$ ευρώ — άρα καταλήγεις με +4. Το +7 «νικάει» το −3 επειδή έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, γι' αυτό και το τελικό αποτέλεσμα είναι θετικό.

Παράδειγμα 1:

Οι απόλυτες τιμές είναι $|-3|=3$ και $|+7|=7$. Το $+7$ έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, άρα το αποτέλεσμα παίρνει πρόσημο θετικό.

Παράδειγμα 2:

Οι απόλυτες τιμές είναι $|-8|=8$ και $|+1|=1$. Το $-8$ έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, άρα το αποτέλεσμα παίρνει πρόσημο αρνητικό.

Ειδική περίπτωση: πρόσθεση με το μηδέν

Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικό ούτε αρνητικό, οπότε δεν μπαίνει στην κατηγορία «ομόσημοι» ή «ετερόσημοι». Όταν προσθέτεις το μηδέν σε οποιονδήποτε ρητό αριθμό, το αποτέλεσμα είναι πάντα ο ίδιος ο αριθμός:

Θα δούμε αυτή την ιδιότητα πιο αναλυτικά παρακάτω.

Ένα ενδιάμεσο βήμα: τι γίνεται με τρεις ή περισσότερους αριθμούς; ➕➕

Στην πράξη, δεν προσθέτεις πάντα μόνο δύο αριθμούς. Όταν έχεις άθροισμα με τρεις ή περισσότερους ρητούς αριθμούς, δουλεύεις δύο δύο, από αριστερά προς τα δεξιά (ή ομαδοποιώντας βολικά — θα δούμε παρακάτω γιατί επιτρέπεται αυτό).

Παράδειγμα:

Πρώτα προσθέτουμε τους δύο πρώτους όρους, που είναι ετερόσημοι:

Μετά προσθέτουμε το αποτέλεσμα με τον τρίτο όρο, που είναι επίσης ετερόσημοι:

Άρα $(-6) + (+2) + (-5) = -9$.

Ιδιότητες της πρόσθεσης ρητών αριθμών ✨

Οι παρακάτω ιδιότητες δεν είναι απλώς «κανόνες προς αποστήθιση» — είναι εργαλεία που σου επιτρέπουν να κάνεις πράξεις πιο γρήγορα και πιο εύκολα, επιλέγοντας τη σειρά που σου βολεύει.

Αντιμεταθετική ιδιότητα 🔄

Η σειρά με την οποία προσθέτεις δύο ρητούς αριθμούς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς $α$ και $β$:

Παράδειγμα:

Και οι δύο εκφράσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, ανεξάρτητα από τη σειρά.

Προσεταιριστική ιδιότητα 🤝

Όταν προσθέτεις τρεις ή περισσότερους ρητούς αριθμούς, ο τρόπος που τους ομαδοποιείς με παρενθέσεις δεν αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα. Για οποιουσδήποτε ρητούς αριθμούς $α$, $β$ και $γ$:

Παράδειγμα:

Ας το επαληθεύσουμε: αριστερά, $(-2)+(+7)=+5$ και μετά $(+5)+(-1)=+4$. Δεξιά, $(+7)+(-1)=+6$ και μετά $(-2)+(+6)=+4$. Και οι δύο δρόμοι καταλήγουν στο +4.

Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης — το μηδέν 0️⃣

Το μηδέν λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, γιατί προσθέτοντάς το σε οποιονδήποτε ρητό αριθμό, ο αριθμός παραμένει ίδιος. Για οποιονδήποτε ρητό αριθμό $α$:

Παράδειγμα:

Αντίθετοι αριθμοί ↔️

Δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι όταν το άθροισμά τους είναι μηδέν. Ο αντίθετος ενός αριθμού $α$ συμβολίζεται $-α$. Για οποιονδήποτε ρητό αριθμό $α$:

Παράδειγμα:

Άρα ο αντίθετος του $-12$ είναι ο $+12$, και αντίστροφα.

Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν πάντα την ίδια απόλυτη τιμή — δηλαδή βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το μηδέν πάνω στην αριθμητική γραμμή, αλλά προς αντίθετες κατευθύνσεις. Για παράδειγμα, τα +4 και −4 είναι αντίθετοι, αφού απέχουν εξίσου 4 μονάδες από το μηδέν, ένας προς κάθε πλευρά.

Σύνοψη των βημάτων που ακολουθείς 📝

Όποτε βλέπεις μια πρόσθεση δύο ρητών αριθμών, ρώτησε τον εαυτό σου πρώτα: «Έχουν το ίδιο πρόσημο ή διαφορετικό;»

Ακολουθώντας πάντα αυτή την ερώτηση πρώτα, δεν θα μπερδέψεις ποτέ τους δύο κανόνες.