Κριτήρια Διαιρετότητας 🔍

Φαντάσου ότι έχεις τον αριθμό 4.578 και θέλεις να μάθεις αν διαιρείται ακριβώς με το 3. Θα έκανες όλη τη διαίρεση με το χέρι; Δεν χρειάζεται! Υπάρχουν έξυπνα «κόλπα» που σε αφήνουν να απαντήσεις μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, κοιτάζοντας μόνο κάποια ψηφία του αριθμού. Αυτά τα κόλπα λέγονται κριτήρια διαιρετότητας και σε αυτή την ενότητα θα τα μάθεις όλα, ένα-ένα.

Τι σημαίνει «διαιρείται ακριβώς»

Όταν λέμε ότι ένας αριθμός $β$ διαιρείται με έναν αριθμό $α$ , εννοούμε ότι η διαίρεση $β:α$ έχει υπόλοιπο μηδέν. Δηλαδή ο $β$ χωρίζεται σε ίσα κομμάτια, χωρίς να περισσεύει τίποτα.

Για παράδειγμα, το 12 διαιρείται με το 3, γιατί $12 : 3 = 4$ με υπόλοιπο 0. Λέμε επίσης ότι το 3 είναι διαιρέτης του 12, ή ότι το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3.

Αντίθετα, το 13 δεν διαιρείται με το 3, γιατί $13 : 3 = 4$ με υπόλοιπο 1. Το υπόλοιπο δεν είναι μηδέν, άρα η διαίρεση δεν είναι ακριβής.

Ένα κριτήριο διαιρετότητας είναι ένας κανόνας που μας λέει αν ένας αριθμός διαιρείται με έναν συγκεκριμένο αριθμό, κοιτάζοντας μόνο κάποια ψηφία του — χωρίς να κάνουμε καμία πράξη διαίρεσης.

Γιατί δουλεύουν αυτά τα κόλπα;

Τα κριτήρια διαιρετότητας δεν είναι τυχαία κόλπα — βασίζονται στον τρόπο που είναι φτιαγμένο το δεκαδικό μας σύστημα αρίθμησης, όπου κάθε θέση ενός ψηφίου αξίζει 10 φορές παραπάνω από την επόμενη (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες...). Παρακάτω θα δεις γιατί ακριβώς λειτουργούν.

Η βασική ιδέα πίσω από κάθε κριτήριο

Κάθε φορά που θέλουμε να ελέγξουμε αν ο $α$ διαιρεί τον $β$ , μπορούμε να «σπάσουμε» τον $β$ σε ένα άθροισμα δύο κομματιών:

β = (\text{ένα κομμάτι που σίγουρα είναι πολλαπλάσιο του } α) + κ

Το πρώτο κομμάτι είναι πάντα πολλαπλάσιο του $α$ — αυτό το φροντίζουμε εμείς όταν σπάμε τον αριθμό. Το $κ$ είναι το υπόλοιπο κομμάτι. Τότε ισχύει ο εξής κανόνας:

Αν το $κ$ είναι πολλαπλάσιο του $α$ , τότε ολόκληρος ο $β$ είναι πολλαπλάσιο του $α$ — άρα ο $α$ διαιρεί τον $β$ .
Αν το $κ$ δεν είναι πολλαπλάσιο του $α$ , τότε ούτε ο $β$ είναι πολλαπλάσιο του $α$ — ο $α$ δεν διαιρεί τον $β$ .

Αυτό συμβαίνει γιατί άθροισμα δύο πολλαπλασίων του $α$ είναι πάντα πολλαπλάσιο του $α$ , ενώ πολλαπλάσιο του $α$ συν κάτι που δεν είναι πολλαπλάσιο του $α$ δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο του $α$ . Αυτή η ιδέα είναι το «κλειδί» που κρύβεται πίσω από όλα τα κριτήρια που θα δεις παρακάτω. Κάθε κριτήριο απλώς διαλέγει έξυπνα ποιο κομμάτι του αριθμού θα είναι το «σίγουρο πολλαπλάσιο» και ποιο θα μείνει ως το $κ$ που πρέπει να ελέγξουμε.

Πριν προχωρήσουμε, χρειαζόμαστε έναν τρόπο να περιγράφουμε έναν αριθμό μέσα από τα ψηφία του. Όταν γράφουμε έναν αριθμό ως $\overline{αβγδ}$ (με τη γραμμή από πάνω), εννοούμε τον αριθμό που έχει ψηφία $α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ , με τη σειρά που είναι γραμμένα — όχι το γινόμενο $α \cdot β \cdot γ \cdot δ$ . Για παράδειγμα, ο $\overline{αβγδ}$ αναλύεται σε αξίες θέσης ως εξής:

\overline{αβγδ} = α \cdot 1000 + β \cdot 100 + γ \cdot 10 + δ

Αυτός ο συμβολισμός θα μας φανεί πολύ χρήσιμος για να εξηγήσουμε γιατί δουλεύει κάθε κριτήριο.

Διαιρετότητα με το 10

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10 αν και μόνο αν το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0.

Γιατί ισχύει αυτό; Κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως «όλα τα ψηφία εκτός από το τελευταίο» επί 10, συν το τελευταίο ψηφίο. Για παράδειγμα, το 23.450 γράφεται:

23450 = 2345 \cdot 10 + 0

Το κομμάτι $2345 \cdot 10$ είναι σίγουρα πολλαπλάσιο του 10 (αφού πολλαπλασιάζεται επί 10). Άρα το μόνο που μας νοιάζει είναι το $κ$ , δηλαδή το τελευταίο ψηφίο. Αν το τελευταίο ψηφίο είναι 0, τότε $κ = 0$ , που είναι πολλαπλάσιο του 10 (το 0 είναι πολλαπλάσιο κάθε αριθμού), οπότε όλος ο αριθμός διαιρείται με το 10.

Παράδειγμα: Το 23.450 διαιρείται με το 10, γιατί τελειώνει σε 0. Το 23.455 όμως δεν διαιρείται με το 10, γιατί τελειώνει σε 5.

Και το 100, και το 1000;

Με την ίδια λογική, ένας αριθμός διαιρείται με το 100 αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι 00, και διαιρείται με το 1000 αν τα τρία τελευταία ψηφία του είναι 000. Όσα περισσότερα μηδενικά στο τέλος, με τόσο μεγαλύτερη δύναμη του 10 διαιρείται ο αριθμός.

Διαιρετότητα με το 2

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 αν και μόνο αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8. Έναν τέτοιο αριθμό τον λέμε άρτιο. Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται με το 2 (τελειώνει σε 1, 3, 5, 7 ή 9), τον λέμε περιττό.

Γιατί ισχύει αυτό; Ξαναγράφουμε τον αριθμό όπως πριν: όλα τα ψηφία εκτός από το τελευταίο επί 10, συν το τελευταίο ψηφίο. Παίρνουμε ως παράδειγμα το 58.468:

58468 = 5846 \cdot 10 + 8

Το 10 είναι πολλαπλάσιο του 2 (αφού $10 = 2 \cdot 5$ ), άρα το $5846 \cdot 10$ είναι σίγουρα πολλαπλάσιο του 2, όποιο κι αν είναι το 5846. Μένει να ελέγξουμε μόνο το τελευταίο ψηφίο, το 8. Επειδή το 8 είναι πολλαπλάσιο του 2, όλος ο αριθμός διαιρείται με το 2.

Παράδειγμα: Το 58.468 διαιρείται με το 2, γιατί τελειώνει σε 8. Το 58.467 δεν διαιρείται με το 2, γιατί τελειώνει σε 7.

Διαιρετότητα με το 5

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5 αν και μόνο αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.

Γιατί ισχύει αυτό; Ακριβώς η ίδια λογική με πριν, αφού το 10 είναι πολλαπλάσιο και του 5 ( $10 = 5 \cdot 2$ ). Παίρνουμε το 68.465:

68465 = 6846 \cdot 10 + 5

Το $6846 \cdot 10$ είναι σίγουρα πολλαπλάσιο του 5. Μένει να δούμε το τελευταίο ψηφίο, το 5, που είναι πολλαπλάσιο του 5. Άρα ο αριθμός διαιρείται με το 5.

Παράδειγμα: Το 68.465 διαιρείται με το 5, γιατί τελειώνει σε 5. Το 68.462 δεν διαιρείται με το 5, γιατί τελειώνει σε 2 (ούτε 0 ούτε 5).

Πρόσεξε: 0 ή 5, όχι μόνο 5!

Πολλοί μαθητές θυμούνται μόνο ότι «πρέπει να τελειώνει σε 5» και ξεχνούν το 0. Ένας αριθμός σαν το 340 διαιρείται κανονικά με το 5 ( $340 : 5 = 68$ ), αν και τελειώνει σε 0, όχι σε 5. Θυμήσου: 0 ή 5, ποτέ μόνο το ένα από τα δύο.

Διαιρετότητα με το 4

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 4 αν και μόνο αν ο αριθμός των δύο τελευταίων ψηφίων του διαιρείται με το 4.

Εδώ η λογική είναι λίγο διαφορετική, γιατί το 10 δεν είναι πολλαπλάσιο του 4. Αυτή τη φορά χωρίζουμε τον αριθμό σε «όλα τα ψηφία εκτός από τα δύο τελευταία» επί 100, συν τα δύο τελευταία ψηφία — γιατί το 100 είναι πολλαπλάσιο του 4 ( $100 = 4 \cdot 25$ ).

Παράδειγμα: Ελέγχουμε το 5.416.

5416 = 54 \cdot 100 + 16

Το $54 \cdot 100$ είναι σίγουρα πολλαπλάσιο του 4, αφού το 100 είναι πολλαπλάσιο του 4. Μένει να ελέγξουμε μόνο το $κ = 16$ , δηλαδή τον αριθμό που σχηματίζουν τα δύο τελευταία ψηφία. Επειδή $16 : 4 = 4$ , το 16 διαιρείται με το 4, άρα και ολόκληρος ο αριθμός 5.416 διαιρείται με το 4.

Δεύτερο παράδειγμα: Το 7.230 — τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν το 30. Το 30 δεν διαιρείται με το 4 ( $30 : 4 = 7$ με υπόλοιπο 2), άρα ούτε το 7.230 διαιρείται με το 4.

Διαιρετότητα με το 25

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 25 αν και μόνο αν ο αριθμός των δύο τελευταίων ψηφίων του διαιρείται με το 25 (δηλαδή τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν 00, 25, 50 ή 75).

Η λογική είναι ίδια με το κριτήριο του 4, γιατί το 100 είναι πολλαπλάσιο και του 25 ( $100 = 25 \cdot 4$ ).

Παράδειγμα: Ελέγχουμε το 98.475.

98475 = 984 \cdot 100 + 75

Το $984 \cdot 100$ είναι πολλαπλάσιο του 25. Μένει το $κ = 75$ , και επειδή $75 : 25 = 3$ , το 75 διαιρείται με το 25. Άρα και το 98.475 διαιρείται με το 25.

Δεύτερο παράδειγμα: Το 3.640 — τα δύο τελευταία ψηφία είναι 40. Το 40 δεν διαιρείται με το 25, άρα ούτε το 3.640 διαιρείται με το 25.

Διαιρετότητα με το 3

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

Αυτό το κριτήριο δεν κοιτάζει μόνο το τελευταίο ψηφίο — κοιτάζει όλα τα ψηφία, γιατί το 3 δεν έχει σχέση με τις δυνάμεις του 10 όπως το 2, το 5 ή το 4.

Γιατί ισχύει αυτό; Κάθε δύναμη του 10 (δηλαδή 10, 100, 1000, ...) είναι πάντα ένα πολλαπλάσιο του 9 συν 1 ( $10 = 9+1$ , $100 = 99+1$ , $1000=999+1$ ). Και το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3. Ας δούμε το 8.478:

8478 = 8 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 8

Αντικαθιστούμε κάθε δύναμη του 10:

8478 = 8 \cdot (999+1) + 4 \cdot (99+1) + 7 \cdot (9+1) + 8

Ανοίγουμε τις παρενθέσεις και ξαναομαδοποιούμε:

8478 = (8 \cdot 999 + 4 \cdot 99 + 7 \cdot 9) + (8+4+7+8)

Το πρώτο κομμάτι, $(8 \cdot 999 + 4 \cdot 99 + 7 \cdot 9)$ , είναι πολλαπλάσιο του 9, άρα και του 3 (αφού $999, 99, 9$ είναι όλα πολλαπλάσια του 3). Το δεύτερο κομμάτι είναι ακριβώς το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού: $8+4+7+8 = 27$ .

Άρα ο έλεγχος «διαιρείται ο 8.478 με το 3;» ισοδυναμεί με τον έλεγχο «διαιρείται το 27 με το 3;». Και $27 : 3 = 9$ , οπότε ναι, το 8.478 διαιρείται με το 3.

Παράδειγμα: Πάρε το 4.578. Το άθροισμα των ψηφίων είναι $4+5+7+8 = 24$ . Το 24 διαιρείται με το 3 ( $24 : 3 = 8$ ), άρα και το 4.578 διαιρείται με το 3.

Αντιπαράδειγμα: Πάρε το 2.581. Το άθροισμα των ψηφίων είναι $2+5+8+1=16$ . Το 16 δεν διαιρείται με το 3, άρα ούτε το 2.581 διαιρείται με το 3.

Διαιρετότητα με το 9

Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Το κριτήριο αυτό προκύπτει με ακριβώς την ίδια απόδειξη όπως πριν, αφού κάθε δύναμη του 10 είναι πολλαπλάσιο του 9 συν 1. Χρησιμοποιώντας πάλι το 8.478:

8478 = (8 \cdot 999 + 4 \cdot 99 + 7 \cdot 9) + 27

Το πρώτο κομμάτι είναι πολλαπλάσιο του 9. Άρα ο 8.478 διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν το 27 διαιρείται με το 9. Και όντως $27 : 9 = 3$ , άρα το 8.478 διαιρείται με το 9.

Παράδειγμα: Πάρε το 3.699. Το άθροισμα των ψηφίων είναι $3+6+9+9 = 27$ , που διαιρείται με το 9 ( $27:9=3$ ). Άρα το 3.699 διαιρείται με το 9.

Αντιπαράδειγμα: Πάρε το 4.578. Το άθροισμα των ψηφίων είναι $4+5+7+8=24$ . Το 24 δεν διαιρείται με το 9 ( $24:9=2$ με υπόλοιπο 6), άρα το 4.578 δεν διαιρείται με το 9 — παρόλο που, όπως είδαμε, διαιρείται με το 3!

Προσοχή: το 3 και το 9 δεν είναι το ίδιο κριτήριο!

Πολλοί μαθητές μπερδεύουν τα δύο κριτήρια επειδή μοιάζουν πολύ — και τα δύο κοιτάζουν το άθροισμα των ψηφίων. Η διαφορά είναι με τι συγκρίνεις αυτό το άθροισμα: για το 3, ελέγχεις αν διαιρείται με το 3· για το 9, ελέγχεις αν διαιρείται με το 9. Ένας αριθμός μπορεί να διαιρείται με το 3 χωρίς να διαιρείται με το 9, όπως το 4.578 παραπάνω (άθροισμα 24: διαιρείται με το 3, όχι με το 9).

Πώς συνδέονται τα κριτήρια του 3 και του 9

Κάθε πολλαπλάσιο του 9 είναι και πολλαπλάσιο του 3

Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 9, τότε σίγουρα διαιρείται και με το 3. Αυτό συμβαίνει γιατί το ίδιο το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3 ( $9 = 3 \cdot 3$ ), οπότε ό,τι χωρίζεται ακριβώς σε ομάδες των 9, χωρίζεται αυτόματα και σε ομάδες των 3 (απλώς τριπλάσιες σε πλήθος). Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει: ένας αριθμός μπορεί να διαιρείται με το 3 χωρίς να διαιρείται με το 9 — όπως είδες παραπάνω με το 4.578.

Πώς δουλεύεις με περισσότερα από ένα κριτήρια μαζί

Πολλές φορές θα σου ζητηθεί να ελέγξεις με ποιους αριθμούς διαιρείται ένας αριθμός, χρησιμοποιώντας πολλά κριτήρια μαζί. Η στρατηγική είναι απλή: ελέγχεις κάθε κριτήριο ξεχωριστά, το ένα μετά το άλλο.

Παράδειγμα: Ελέγξε με ποιους από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 διαιρείται το 4.500.

Με το 10; Τελευταίο ψηφίο 0 → ναι.
Με το 2; Τελευταίο ψηφίο 0 → ναι.
Με το 5; Τελευταίο ψηφίο 0 → ναι.
Με το 4; Τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν το 00, που διαιρείται με το 4 → ναι.
Με το 25; Τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν το 00, που διαιρείται με το 25 → ναι.
Με το 3; Άθροισμα ψηφίων $4+5+0+0=9$ , που διαιρείται με το 3 → ναι.
Με το 9; Το ίδιο άθροισμα, 9, διαιρείται με το 9 → ναι.

Άρα το 4.500 διαιρείται με όλους αυτούς τους αριθμούς! Παρατήρησε πως κάθε κριτήριο εξετάστηκε ανεξάρτητα, χωρίς να χρειαστεί καμία διαίρεση με το χέρι.

Συνηθισμένα λάθη που πρέπει να αποφύγεις

Τα πιο συχνά λάθη στα κριτήρια διαιρετότητας

Λάθος ψηφία στο κριτήριο του 4 και του 25: Πολλοί κοιτάζουν μόνο το τελευταίο ψηφίο αντί για τα δύο τελευταία. Το 6.312 δεν τελειώνει σε ψηφίο πολλαπλάσιο του 4, αλλά τα δύο τελευταία ψηφία του (12) διαιρούνται με το 4, άρα το 6.312 διαιρείται με το 4.
Μπέρδεμα αθροίσματος ψηφίων με τον ίδιο τον αριθμό: Στα κριτήρια του 3 και του 9, ελέγχουμε αν διαιρείται το άθροισμα των ψηφίων, όχι ο αρχικός αριθμός απευθείας.
Ξέχασμα του 0 στο κριτήριο του 5: Το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι 0 ή 5, όχι μόνο 5.
Σύγχυση 3 και 9: Το ότι διαιρείται με το 3 δεν σημαίνει ότι διαιρείται και με το 9 — πρέπει να ελέγχεις ξεχωριστά.

Σύνοψη των κριτηρίων

Διαιρέτης	Τι ελέγχουμε	Παράδειγμα
10	Το τελευταίο ψηφίο είναι 0	23.450
2	Το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8	58.468
5	Το τελευταίο ψηφίο είναι 0 ή 5	68.465
4	Τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 4	5.416 (16)
25	Τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 25	98.475 (75)
3	Το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 3	8.478 (27)
9	Το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 9	8.478 (27)

Με αυτά τα εφτά κριτήρια μπορείς να ελέγξεις τη διαιρετότητα ενός αριθμού με το 2, το 3, το 4, το 5, το 9, το 10 και το 25, χωρίς να κάνεις ούτε μία διαίρεση με το χέρι — μόνο κοιτάζοντας τα ψηφία του!