Αλγεβρικές Παραστάσεις ➕➖✖️➗

Μέχρι τώρα δούλευες με συγκεκριμένους αριθμούς: $3$ , $15$ , $200$ . Αλλά πολλές φορές στη ζωή μια ποσότητα δεν είναι σταθερή· αλλάζει. Η ηλικία σου, η απόσταση που διανύεις, το κόστος κάποιων προϊόντων -όλα αυτά μεταβάλλονται. Τα μαθηματικά έχουν έναν τρόπο να περιγράφουν τέτοιες ποσότητες χωρίς να ξέρουν την ακριβή τιμή τους: χρησιμοποιούν γράμματα. Αυτό είναι η αρχή της άλγεβρας.

Τι είναι μεταβλητή

Μια μεταβλητή είναι ένα γράμμα που χρησιμοποιούμε στη θέση ενός αριθμού που δεν είναι σταθερός ή που δεν γνωρίζουμε ακόμα. Συνήθως χρησιμοποιούμε τα γράμματα $x$ , $y$ , $α$ , $β$ , αλλά μπορεί να είναι οποιοδήποτε γράμμα.

Σκέψου ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα 100 χιλιόμετρα την ώρα. Η απόσταση που θα διανύσει εξαρτάται από το πόσες ώρες θα κινείται. Αν ονομάσουμε $t$ τον χρόνο σε ώρες και $S$ την απόσταση σε χιλιόμετρα, τότε

S = 100t

Εδώ τα $S$ και $t$ είναι μεταβλητές: όσο αλλάζει ο χρόνος $t$ , αλλάζει και η απόσταση $S$ . Αν το αυτοκίνητο κινηθεί για $2$ ώρες, τότε $S = 100 \cdot 2 = 200$ χιλιόμετρα. Αν κινηθεί για $3$ ώρες, τότε $S = 100 \cdot 3 = 300$ χιλιόμετρα. Το γράμμα $t$ «κρατά τη θέση» για όποιον αριθμό βάλουμε.

Γιατί χρησιμοποιούμε γράμματα;

Ένα γράμμα μάς επιτρέπει να περιγράψουμε μια σχέση μια φορά, για όλες τις πιθανές τιμές. Αντί να γράφουμε ξεχωριστά «αν ο χρόνος είναι 1 ώρα, η απόσταση είναι 100 χλμ», «αν είναι 2 ώρες, είναι 200 χλμ» και ούτω καθεξής, γράφουμε μία φορά $S = 100t$ και καλύπτει κάθε περίπτωση.

Μεταβλητές σε σύνολα αριθμών

Οι μεταβλητές δεν χρησιμοποιούνται μόνο σε σχέσεις σαν την παραπάνω· μας βοηθούν επίσης να περιγράψουμε σύντομα ένα ολόκληρο σύνολο αριθμών.

Ας πάρουμε το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: $A = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$ . Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου προκύπτει αν πάρουμε έναν φυσικό αριθμό και τον πολλαπλασιάσουμε επί $2$ . Δηλαδή, αν $x$ είναι ένας φυσικός αριθμός ( $x \in \mathbb{N}$ ), τότε το $2x$ είναι πάντα άρτιος. Έτσι μπορούμε να γράψουμε το ίδιο σύνολο πιο σύντομα:

A = \{2x \mid x \in \mathbb{N}\}

Αυτό διαβάζεται: «το σύνολο των αριθμών $2x$ , όπου $x$ είναι φυσικός αριθμός». Η μεταβλητή $x$ «τρέχει» πάνω σε όλους τους φυσικούς αριθμούς ( $0, 1, 2, 3, \dots$ ) και κάθε φορά παράγει ένα διαφορετικό στοιχείο του συνόλου $A$ : για $x=1$ παίρνουμε $2$ , για $x=2$ παίρνουμε $4$ , για $x=3$ παίρνουμε $6$ , και ούτω καθεξής.

Αριθμητική παράσταση

Πριν μιλήσουμε για αλγεβρικές παραστάσεις, ας θυμηθούμε τι είναι μια αριθμητική παράσταση. Είναι μια έκφραση που περιέχει μόνο συγκεκριμένους αριθμούς και πράξεις ανάμεσά τους, χωρίς κανένα γράμμα. Για παράδειγμα:

2 + 8 \div 4

Αυτή η παράσταση έχει μία και μοναδική τιμή, την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε: $2 + 8 \div 4 = 2 + 2 = 4$ . Δεν υπάρχει καμία μεταβλητή -όλα τα στοιχεία είναι γνωστοί αριθμοί.

Τι είναι αλγεβρική παράσταση

Μια αλγεβρική παράσταση μοιάζει με την αριθμητική παράσταση, με τη διαφορά ότι περιέχει τουλάχιστον μία μεταβλητή. Δηλαδή, συνδυάζει αριθμούς, γράμματα και πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση).

Παραδείγματα αλγεβρικών παραστάσεων

$3x - 1$ : παράσταση με μία μεταβλητή, το $x$
$2α + 5β$ : παράσταση με δύο μεταβλητές, τα $α$ και $β$
$x^2 + 2x$ : παράσταση με τη μεταβλητή $x$ , όπου εμφανίζεται και δύναμή της

Η διαφορά ανάμεσα σε μια αριθμητική και μια αλγεβρική παράσταση είναι απλή: η αριθμητική έχει μόνο αριθμούς, ενώ η αλγεβρική έχει και τουλάχιστον μία μεταβλητή. Επειδή η τιμή της μεταβλητής μπορεί να αλλάζει, και η τιμή ολόκληρης της αλγεβρικής παράστασης αλλάζει μαζί της. Για παράδειγμα, στην παράσταση $3x - 1$ :

αν $x = 2$ , τότε $3x - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$
αν $x = 5$ , τότε $3x - 1 = 3 \cdot 5 - 1 = 15 - 1 = 14$

Πώς γράφουμε τον πολλαπλασιασμό σε μια αλγεβρική παράσταση

Στην άλγεβρα υπάρχει μια σύμβαση που απλοποιεί τη γραφή: όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με μια μεταβλητή, ή μια μεταβλητή με άλλη μεταβλητή, συνήθως παραλείπουμε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού ( $\cdot$ ).

Πρόσεξε τον πολλαπλασιασμό!

Το σύμβολο του πολλαπλασιασμού παραλείπεται μόνο ανάμεσα σε αριθμό και μεταβλητή, ή ανάμεσα σε μεταβλητές. ΔΕΝ παραλείπεται ποτέ ανάμεσα σε δύο αριθμούς -εκεί είναι υποχρεωτικό, αλλιώς θα μπερδεύαμε το $3 \cdot 4$ με τον αριθμό $34$ !

Δες τα εξής παραδείγματα:

Αντί για $3 \cdot x$ , γράφουμε $3x$
Αντί για $7 \cdot x \cdot y$ , γράφουμε $7xy$
Αντί για $α \cdot β$ , γράφουμε $αβ$

Ο αριθμός που γράφεται μπροστά από τη μεταβλητή (π.χ. το $3$ στο $3x$ ) λέγεται συντελεστής της μεταβλητής. Στο $3x$ , ο συντελεστής είναι το $3$ . Αν μια μεταβλητή εμφανίζεται μόνη της, όπως το $x$ , εννοείται ότι ο συντελεστής της είναι το $1$ (δηλαδή $x = 1x$ ).

Οι τρεις βασικές ιδιότητες των πράξεων

Για να μπορούμε να απλοποιούμε αλγεβρικές παραστάσεις, χρειαζόμαστε κάποιους «κανόνες παιχνιδιού» που μας λένε τι επιτρέπεται να κάνουμε. Αυτοί οι κανόνες ισχύουν πάντα, είτε δουλεύουμε με αριθμούς είτε με μεταβλητές.

Αντιμεταθετική ιδιότητα

Η αντιμεταθετική ιδιότητα μας λέει ότι σε μια πρόσθεση ή σε έναν πολλαπλασιασμό, η σειρά με την οποία γράφουμε τους όρους δεν έχει σημασία:

a + b = b + a \qquad \text{και} \qquad a \cdot b = b \cdot a

Για παράδειγμα, $3 + 5 = 5 + 3 = 8$ και $4 \cdot 6 = 6 \cdot 4 = 24$ . Το ίδιο ισχύει και με μεταβλητές: $x + 3 = 3 + x$ .

Προσεταιριστική ιδιότητα

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας λέει ότι όταν προσθέτουμε (ή πολλαπλασιάζουμε) τρεις ή περισσότερους όρους, μπορούμε να αλλάξουμε το πώς τους ομαδοποιούμε με παρενθέσεις, χωρίς να αλλάξει το τελικό αποτέλεσμα:

(a + b) + c = a + (b + c) \qquad \text{και} \qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Για παράδειγμα, $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ και $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ : το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, όποια παρένθεση κι αν υπολογίσουμε πρώτα.

Επιμεριστική ιδιότητα

Η επιμεριστική ιδιότητα είναι η πιο σημαντική από τις τρεις για την απλοποίηση παραστάσεων. Μας λέει ότι μπορούμε να «μοιράσουμε» έναν πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο μιας πρόσθεσης ή αφαίρεσης:

a(b + c) = ab + ac \qquad \text{και} \qquad a(b - c) = ab - ac

Για παράδειγμα, $3(4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27$ . Μπορούμε να το επαληθεύσουμε: $3(4+5) = 3 \cdot 9 = 27$ . Και οι δύο τρόποι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα.

Γιατί λέγεται «επιμεριστική»

Η λέξη «επιμεριστική» έρχεται από το «επιμερίζω», δηλαδή «μοιράζω σε μέρη». Ακριβώς αυτό κάνει η ιδιότητα: μοιράζει τον πολλαπλασιασμό σε κάθε όρο μέσα στην παρένθεση.

Απλοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

Όταν μια αλγεβρική παράσταση έχει πολλούς όρους, θέλουμε συχνά να τη γράψουμε σε πιο απλή, πιο σύντομη μορφή. Αυτό λέγεται απλοποίηση και γίνεται εφαρμόζοντας τις τρεις ιδιότητες παραπάνω. Ένα βασικό εργαλείο της απλοποίησης είναι η ομαδοποίηση όμοιων όρων: όροι με την ίδια μεταβλητή μπορούν να «μαζευτούν» σε έναν.

Παράδειγμα 1: πρόσθεση σταθερών όρων με προσεταιριστική ιδιότητα

Απλοποίησε την παράσταση $(a + 2) + 7$ .

Βήμα 1. Χρησιμοποιούμε την προσεταιριστική ιδιότητα για να αλλάξουμε την ομαδοποίηση:

(a + 2) + 7 = a + (2 + 7)

Βήμα 2. Υπολογίζουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση:

a + (2 + 7) = a + 9

Η απλοποιημένη μορφή είναι $a + 9$ .

Παράδειγμα 2: ομαδοποίηση όμοιων όρων

Απλοποίησε την παράσταση $5x + 3x + 2x$ .

Βήμα 1. Και οι τρεις όροι έχουν την ίδια μεταβλητή $x$ , άρα είναι όμοιοι όροι. Χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα «ανάποδα», βγάζοντας το $x$ κοινό παράγοντα:

5x + 3x + 2x = (5 + 3 + 2)x

Βήμα 2. Υπολογίζουμε το άθροισμα των συντελεστών:

(5 + 3 + 2)x = 10x

Η απλοποιημένη μορφή είναι $10x$ .

Παράδειγμα 3: επιμεριστική, αντιμεταθετική και ομαδοποίηση μαζί

Απλοποίησε την παράσταση $4(y + 2) - 3y$ .

Βήμα 1. Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα στην παρένθεση:

4(y + 2) - 3y = 4y + 4 \cdot 2 - 3y = 4y + 8 - 3y

Βήμα 2. Χρησιμοποιούμε την αντιμεταθετική ιδιότητα για να φέρουμε κοντά τους όμοιους όρους (αυτούς με $y$ ):

4y + 8 - 3y = 4y - 3y + 8

Βήμα 3. Ομαδοποιούμε τους όμοιους όρους και υπολογίζουμε:

4y - 3y + 8 = (4 - 3)y + 8 = 1y + 8 = y + 8

Η απλοποιημένη μορφή είναι $y + 8$ .

Ο πιο συχνός τρόπος να κάνεις λάθος

Μόνο όμοιοι όροι μπορούν να ομαδοποιηθούν σε έναν! Το $x$ και το $x^2$ ΔΕΝ είναι όμοιοι όροι, γιατί το ένα έχει τη μεταβλητή στην πρώτη δύναμη και το άλλο στη δεύτερη. Άρα $x + x^2$ ΔΕΝ κάνει $x^3$ ούτε $2x^2$ · παραμένει $x + x^2$ , αφού δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο. Το ίδιο ισχύει αν έχεις διαφορετικές μεταβλητές: το $3x$ και το $3y$ δεν ομαδοποιούνται σε $3xy$ ούτε σε $6x$ -παραμένουν $3x + 3y$ .

Ανακεφαλαίωση της διαδικασίας

Όταν θέλεις να απλοποιήσεις μια αλγεβρική παράσταση, ακολούθησε αυτή τη σειρά σκέψης:

Αν υπάρχουν παρενθέσεις με πρόσθεση ή αφαίρεση μέσα, εφάρμοσε την επιμεριστική ιδιότητα για να «ανοίξεις» την παρένθεση.
Χρησιμοποίησε την αντιμεταθετική ιδιότητα για να φέρεις κοντά τους όμοιους όρους.
Ομαδοποίησε τους όμοιους όρους, προσθέτοντας ή αφαιρώντας τους συντελεστές τους.
Έλεγξε ότι δεν έμειναν άλλοι όμοιοι όροι προς ομαδοποίηση.

Η άλγεβρα είναι παντού

Η χρήση γραμμάτων για ποσότητες που αλλάζουν δεν είναι μόνο σχολική άσκηση: μηχανικοί, προγραμματιστές και επιστήμονες χρησιμοποιούν αλγεβρικές παραστάσεις καθημερινά για να περιγράψουν κανόνες που ισχύουν για πολλές διαφορετικές τιμές ταυτόχρονα, όπως το πώς αλλάζει η ταχύτητα ενός αντικειμένου ή το κόστος μιας παραγγελίας ανάλογα με την ποσότητα.