Συστήματα Αρίθμησης 🔢

Κάθε φορά που γράφεις έναν αριθμό, χρησιμοποιείς έναν κώδικα: λίγα σύμβολα (τα ψηφία 0-9) που, ανάλογα με τη θέση τους, μπορούν να παραστήσουν οποιονδήποτε αριθμό, όσο μεγάλος κι αν είναι. Αυτός ο κώδικας λέγεται σύστημα αρίθμησης. Στη ζωή σου χρησιμοποιείς το δεκαδικό σύστημα χωρίς να το σκέφτεσαι, όμως οι υπολογιστές, τα κινητά και τα ρολόγια «σκέφτονται» αριθμούς με έναν εντελώς διαφορετικό κώδικα, το δυαδικό σύστημα. Σε αυτή την ενότητα θα δεις πώς λειτουργεί ο κώδικας που ήδη ξέρεις, θα γνωρίσεις τον κώδικα των υπολογιστών, και θα μάθεις πώς μεταφράζεις αριθμούς από τον έναν κώδικα στον άλλο.

Τι είναι ένα σύστημα αρίθμησης 🧩

Ένα σύστημα αρίθμησης απαντά σε δύο ερωτήσεις: πόσα διαφορετικά σύμβολα (ψηφία) επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε, και τι σημαίνει κάθε σύμβολο ανάλογα με τη θέση του μέσα στον αριθμό.

Δεν είναι όλα τα συστήματα αρίθμησης ίδια. Σκέψου τους ρωμαϊκούς αριθμούς: το $V$ σημαίνει πάντα 5 και το $X$ σημαίνει πάντα 10, όπου κι αν τα γράψεις μέσα σε έναν αριθμό. Το $XV$ είναι 15 (10+5) και το $VX$ δεν έχει καν νόημα. Σε ένα τέτοιο σύστημα η θέση δεν αλλάζει την αξία του συμβόλου· μόνο το ίδιο το σύμβολο μετράει.

Το δεκαδικό και το δυαδικό σύστημα, αντίθετα, είναι θεσιακά συστήματα. Το ίδιο ψηφίο, π.χ. το 2, σημαίνει άλλο πράγμα αν βρίσκεται στην αρχή ή στο τέλος ενός αριθμού. Στο 200 το 2 αξίζει διακόσια, ενώ στο 2 απλά αξίζει δύο. Αυτή η ιδέα -η θέση δίνει αξία- είναι το κλειδί για να καταλάβεις οτιδήποτε ακολουθεί.

Το δεκαδικό σύστημα: αυτό που ήδη ξέρεις 🔟

Το σύστημα που χρησιμοποιείς καθημερινά λέγεται δεκαδικό επειδή στηρίζεται στον αριθμό 10: έχει ακριβώς 10 ψηφία (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) και κάθε θέση αξίζει 10 φορές περισσότερο από την προηγούμενή της. Ο αριθμός 10 λέγεται βάση του συστήματος.

Ξεκινώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά, οι θέσεις ενός δεκαδικού αριθμού αντιστοιχούν σε δυνάμεις του 10:

Θύμησέ το: οποιοσδήποτε αριθμός υψωμένος στη δύναμη 0 ισούται με 1, γι' αυτό η θέση των μονάδων αξίζει $10^0=1$.

Παίρνουμε τον αριθμό 2304 και τον αναλύουμε γράφοντάς τον ως άθροισμα:

Το 2 βρίσκεται στη θέση των χιλιάδων, το 3 στις εκατοντάδες, το 0 στις δεκάδες (δεν υπάρχει καμία δεκάδα, γι' αυτό γράφουμε 0 -χωρίς αυτό το μηδέν, ο αριθμός θα διαβαζόταν λάθος) και το 4 στις μονάδες. Αυτή η γραφή λέγεται αναπτυγμένη μορφή του αριθμού.

Το δυαδικό σύστημα: ο κώδικας των υπολογιστών 💻

Ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα μπορεί εύκολα να αναγνωρίσει μόνο δύο καταστάσεις: ρεύμα ή όχι ρεύμα, διακόπτης ανοιχτός ή κλειστός. Γι' αυτό οι υπολογιστές δεν χρησιμοποιούν το δεκαδικό σύστημα, αλλά το δυαδικό: ένα θεσιακό σύστημα με βάση το 2, που έχει μόνο δύο ψηφία, το 0 και το 1. Κάθε ψηφίο δυαδικού αριθμού λέγεται και bit.

Η λογική είναι ακριβώς ίδια με το δεκαδικό - απλά αλλάζει η βάση. Οι θέσεις τώρα αξίζουν δυνάμεις του 2:

Επειδή τώρα δουλεύουμε με δύο συστήματα ταυτόχρονα, χρειαζόμαστε τον δείκτη της βάσης για να μην μπερδευόμαστε: γράφουμε $1011_{(2)}$ για να δηλώσουμε ότι το 1011 είναι δυαδικός αριθμός, και όχι ο δεκαδικός αριθμός χίλια έντεκα.

Ας αναλύσουμε το $1011_{(2)}$ με τον ίδιο τρόπο που αναλύσαμε το 2304 πιο πάνω:

Υπολογίζοντας κάθε γινόμενο:

Άρα ο δυαδικός αριθμός $1011_{(2)}$ παριστάνει τον ίδιο αριθμό με τον δεκαδικό $11_{(10)}$. Δύο διαφορετικές γραφές, ίδια ποσότητα -όπως το «δέκα» και το «10» λένε το ίδιο πράγμα με διαφορετικό τρόπο.

Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό 🔄

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δυνάμεων του 2, όπου κάθε δύναμη χρησιμοποιείται το πολύ μία φορά. Αυτή η ιδιότητα είναι που μας επιτρέπει να μετατρέπουμε οποιονδήποτε δεκαδικό αριθμό σε δυαδικό.

Μέθοδος: αφαίρεση διαδοχικών δυνάμεων του 2. Σε κάθε βήμα, βρίσκουμε τη μεγαλύτερη δύναμη του 2 που δεν ξεπερνά τον αριθμό που μας απομένει, την αφαιρούμε, και συνεχίζουμε με το υπόλοιπο μέχρι να φτάσουμε στο 0.

Παράδειγμα 1: μετατροπή του 11 σε δυαδικό.

Βήμα 1: Ψάχνουμε τη μεγαλύτερη δύναμη του 2 που δεν ξεπερνά το 11. Οι δυνάμεις του 2 είναι 1, 2, 4, 8, 16... Το 8 δεν ξεπερνά το 11, αλλά το 16 ναι. Άρα διαλέγουμε το $2^3=8$.

Βήμα 2: Δουλεύουμε τώρα με το υπόλοιπο 3. Η μεγαλύτερη δύναμη του 2 που δεν το ξεπερνά είναι $2^1=2$.

Βήμα 3: Το υπόλοιπο είναι 1, που είναι ακριβώς $2^0=1$.

Συγκεντρώνοντας:

Πρόσεξε το $0\cdot2^2$: δεν χρησιμοποιήσαμε καθόλου το $2^2=4$, γι' αυτό βάζουμε ψηφίο 0 σε εκείνη τη θέση -όπως ακριβώς βάζαμε 0 στις δεκάδες όταν δεν υπήρχε καμία δεκάδα στο δεκαδικό σύστημα. Διαβάζοντας τους συντελεστές από την πιο μεγάλη δύναμη προς την πιο μικρή, παίρνουμε το δυαδικό ψηφίο-ψηφίο:

Παράδειγμα 2: μετατροπή του 333 σε δυαδικό (μεγαλύτερος αριθμός, ίδια μέθοδος).

• Η μεγαλύτερη δύναμη του 2 που δεν υπερβαίνει το 333 είναι $2^8=256$: $333 = 256+77$
• Για το 77, η μεγαλύτερη δύναμη του 2 που δεν το υπερβαίνει είναι $2^6=64$: $77 = 64+13$
• Για το 13, η μεγαλύτερη δύναμη του 2 που δεν το υπερβαίνει είναι $2^3=8$: $13 = 8+5$
• Για το 5, η μεγαλύτερη δύναμη του 2 που δεν το υπερβαίνει είναι $2^2=4$: $5 = 4+1$
• Για το 1, φτάσαμε ήδη σε δύναμη του 2: $2^0=1$

Συνδυάζοντας όλα τα βήματα:

Τώρα γράφουμε το δυαδικό ψηφίο σε κάθε θέση από $2^8$ μέχρι $2^0$: βάζουμε 1 στις θέσεις που χρησιμοποιήσαμε (8, 6, 3, 2, 0) και 0 σε όλες τις υπόλοιπες ανάμεσά τους (7, 5, 4, 1):

Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό 🔁

Η αντίστροφη πορεία είναι πιο απλή: γράφουμε τον δυαδικό αριθμό στην αναπτυγμένη του μορφή, πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο με την αντίστοιχη δύναμη του 2, και προσθέτουμε όλα τα γινόμενα.

Παράδειγμα: μετατροπή του $1011_{(2)}$ σε δεκαδικό.

Βήμα 1 - αναπτυγμένη μορφή, εντοπίζοντας τη δύναμη του 2 κάθε θέσης ξεκινώντας από τα δεξιά (θέση 0):

Βήμα 2 - υπολογίζουμε κάθε δύναμη:

Βήμα 3 - προσθέτουμε:

Άρα $1011_{(2)} = 11_{(10)}$, ακριβώς ο αριθμός από τον οποίο ξεκινήσαμε στην προηγούμενη μετατροπή -κάτι λογικό, αφού οι δύο μετατροπές είναι αντίστροφες η μία της άλλης.

Δεύτερο παράδειγμα, για εξάσκηση: το $10110_{(2)}$.

Μετρώντας τις θέσεις από τα δεξιά (0, 1, 2, 3, 4):

Άρα $10110_{(2)} = 22_{(10)}$.

Πώς να ελέγχεις τη δουλειά σου ✅

Υπάρχει ένας απλός τρόπος να ελέγξεις αν μια μετατροπή είναι σωστή: μετέτρεψε το αποτέλεσμα πίσω στο αρχικό σύστημα και δες αν βγαίνει ο ίδιος αριθμός.

• Αν μετέτρεψες δεκαδικό σε δυαδικό, ξαναμετέτρεψε το δυαδικό αποτέλεσμα σε δεκαδικό (όπως στην ενότητα προηγούμενη) και έλεγξε ότι σου βγαίνει ο αρχικός δεκαδικός αριθμός.
• Αν μετέτρεψες δυαδικό σε δεκαδικό, ξαναμετέτρεψε το δεκαδικό αποτέλεσμα σε δυαδικό και έλεγξε ότι σου βγαίνει ο αρχικός δυαδικός αριθμός.

Αυτός ο έλεγχος «πάει-γύρισε» δουλεύει επειδή κάθε αριθμός έχει ΜΙΑ και μοναδική γραφή σε κάθε βάση -δεν υπάρχουν δύο διαφορετικοί δυαδικοί αριθμοί που να αντιστοιχούν στο ίδιο δεκαδικό, ούτε το αντίστροφο.