Σχέσεις Συνόλων 🔗

Φαντάσου δύο σύνολα: το σύνολο με τους φίλους σου και το σύνολο με τα παιδιά της τάξης σου. Μπορεί όλοι οι φίλοι σου να είναι μέσα στην τάξη, ή μπορεί δύο διαφορετικές λίστες να βγαίνουν τελικά ίδιες. Τα μαθηματικά έχουν συγκεκριμένους τρόπους να περιγράφουν πώς «κουμπώνουν» δύο σύνολα μεταξύ τους. Σε αυτή την ενότητα θα μάθεις πότε δύο σύνολα είναι ίσα, πότε το ένα «χωράει» μέσα στο άλλο, και πώς γράφουμε όλα αυτά με σύμβολα.

Πότε δύο σύνολα είναι ίσα 👯

Δύο σύνολα είναι ίσα όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία — ούτε ένα παραπάνω, ούτε ένα λιγότερο. Δεν έχει σημασία με ποια σειρά γράφουμε τα στοιχεία, ούτε αν κάποιο στοιχείο εμφανίζεται γραμμένο δύο φορές· αυτό που μετράει είναι ποια στοιχεία περιέχει το σύνολο.

Αν το σύνολο $Α$ είναι ίσο με το σύνολο $Β$, γράφουμε:

Αν τα δύο σύνολα δεν έχουν τα ίδια στοιχεία, τότε είναι άνισα, και γράφουμε:

Για να ελέγξεις αν δύο σύνολα είναι ίσα, ρωτάς: «Κάθε στοιχείο του πρώτου υπάρχει και στο δεύτερο; Και κάθε στοιχείο του δεύτερου υπάρχει και στο πρώτο;» Αν και οι δύο απαντήσεις είναι ναι, τα σύνολα είναι ίσα.

Παράδειγμα 1. Έστω $Α = \{2, 4, 6\}$ και $Β = \{6, 2, 4\}$. Αν και τα στοιχεία είναι γραμμένα σε διαφορετική σειρά, το $Α$ και το $Β$ περιέχουν ακριβώς τους ίδιους αριθμούς: το 2, το 4 και το 6. Άρα $Α = Β$.

Παράδειγμα 2. Έστω $Γ$ το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «ΝΟΤΑ» και $Δ$ το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «ΤΟΝΑ». Τότε $Γ = \{Ν, Ο, Τ, Α\}$ και $Δ = \{Τ, Ο, Ν, Α\}$. Τα δύο σύνολα έχουν ακριβώς τα ίδια τέσσερα γράμματα, απλώς σε άλλη σειρά. Άρα $Γ = Δ$.

Παράδειγμα 3. Έστω $Ε = \{1, 2, 3\}$ και $Ζ = \{1, 2, 3, 4\}$. Το $Ζ$ έχει ένα στοιχείο, το 4, που δεν το έχει το $Ε$. Άρα τα σύνολα δεν είναι ίσα: $Ε \neq Ζ$.

Το ένα σύνολο μέσα στο άλλο: η έννοια του υποσυνόλου 🌳

Πολλές φορές ένα σύνολο «χωράει ολόκληρο» μέσα σε ένα άλλο. Σκέψου το σύνολο με τα ζώα που έχεις σπίτι σου και το σύνολο με όλα τα θηλαστικά. Αν όλα τα ζώα σου είναι θηλαστικά, τότε το πρώτο σύνολο «κρύβεται» μέσα στο δεύτερο.

Λέμε ότι το σύνολο $Β$ είναι υποσύνολο του συνόλου $Α$, όταν κάθε στοιχείο του $Β$ είναι ταυτόχρονα και στοιχείο του $Α$. Το συμβολίζουμε ως:

και το διαβάζουμε «το $Β$ είναι υποσύνολο του $Α$» ή «το $Β$ περιέχεται στο $Α$». Όταν αυτό ισχύει, λέμε επίσης ότι το $Α$ είναι υπερσύνολο του $Β$.

Πώς ελέγχεις αν το $Β$ είναι υποσύνολο του $Α$: πάρε ένα-ένα τα στοιχεία του $Β$ και έλεγξε αν το καθένα βρίσκεται και στο $Α$. Αν όλα περάσουν αυτόν τον έλεγχο, τότε $Β \subseteq Α$. Αν έστω και ένα στοιχείο του $Β$ λείπει από το $Α$, τότε το $Β$ δεν είναι υποσύνολο του $Α$, και γράφουμε:

Παράδειγμα 4. Έστω $Α = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ και $Β = \{2, 4, 6\}$. Ελέγχουμε τα στοιχεία του $Β$ ένα-ένα: το 2 ανήκει στο $Α$; Ναι. Το 4; Ναι. Το 6; Ναι. Αφού όλα τα στοιχεία του $Β$ βρίσκονται μέσα στο $Α$, συμπεραίνουμε ότι $Β \subseteq Α$.

Παράδειγμα 5. Έστω $Γ = \{1, 2, 3\}$ και $Δ = \{2, 3, 5\}$. Το στοιχείο 5 του $Δ$ δεν ανήκει στο $Γ$. Άρα $Δ \not\subseteq Γ$ — φτάνει ένα στοιχείο να «λείπει» από το άλλο σύνολο για να χαλάσει η σχέση.

Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του

Πρόσεξε κάτι σημαντικό: όταν λέμε ότι «κάθε στοιχείο του $Β$ ανήκει και στο $Α$», αυτό δεν αποκλείει την περίπτωση τα δύο σύνολα να είναι ίσα. Αν $Α = Β$, τότε προφανώς κάθε στοιχείο του $Β$ ανήκει στο $Α$ — αφού είναι το ίδιο σύνολο! Άρα κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του:

Παράδειγμα 6. Το σύνολο $Α = \{κόκκινο, πράσινο\}$ είναι υποσύνολο του εαυτού του, αφού και το «κόκκινο» και το «πράσινο» ανήκουν φυσικά στο $Α$.

Το κενό σύνολο ως υποσύνολο 🕳️

Θυμήσου το κενό σύνολο, το σύνολο χωρίς κανένα στοιχείο, που το συμβολίζουμε $\varnothing$ ή $\{\}$. Μια ιδιαίτερη — αλλά πολύ λογική, αν το σκεφτείς — περίπτωση είναι ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου:

για οποιοδήποτε σύνολο $Α$. Γιατί ισχύει αυτό; Θυμήσου τον ορισμό: το $Β$ είναι υποσύνολο του $Α$ όταν κάθε στοιχείο του $Β$ ανήκει στο $Α$. Αν το $Β$ είναι το κενό σύνολο, δεν υπάρχει κανένα στοιχείο του $Β$ που να μπορεί να «χαλάσει» αυτόν τον κανόνα — δεν έχει κανένα στοιχείο για να ελέγξουμε! Έτσι, ο κανόνας ισχύει αυτόματα, χωρίς καμία εξαίρεση.

Παράδειγμα 7. Για το σύνολο $Α = \{α, β, γ\}$, ισχύει $\varnothing \subseteq Α$, αλλά και για το σύνολο $Β = \{5, 10, 15, 20, ...\}$ ισχύει το ίδιο, $\varnothing \subseteq Β$. Δεν έχει σημασία τι περιέχει το $Α$ — το κενό σύνολο είναι πάντα υποσύνολό του.

Γνήσιο υποσύνολο: όταν το ένα είναι «αυστηρά» μικρότερο ✂️

Είδαμε ότι $Β \subseteq Α$ επιτρέπει και την περίπτωση $Α = Β$. Πολλές φορές όμως μας ενδιαφέρει να ξεχωρίσουμε την περίπτωση όπου το $Β$ είναι μέσα στο $Α$, αλλά το $Α$ έχει κι άλλα στοιχεία που δεν τα έχει το $Β$ — δηλαδή τα δύο σύνολα σίγουρα δεν είναι ίσα.

Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το $Β$ είναι γνήσιο υποσύνολο του $Α$, και το γράφουμε:

Η διαφορά με το $\subseteq$ είναι λεπτή αλλά σημαντική:

• $Β \subseteq Α$ σημαίνει «το $Β$ είναι υποσύνολο του $Α$, και μπορεί να είναι και ίσο με αυτό».
• $Β \subset Α$ σημαίνει «το $Β$ είναι υποσύνολο του $Α$, αλλά σίγουρα όχι ίσο με αυτό» — το $Α$ έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο παραπάνω.

Παράδειγμα 8. Έστω $Α = \{1, 2, 3, 4\}$ και $Β = \{1, 2\}$. Κάθε στοιχείο του $Β$ ανήκει στο $Α$ (άρα $Β \subseteq Α$), αλλά το $Α$ έχει και τα στοιχεία 3 και 4 που δεν τα έχει το $Β$. Αφού τα σύνολα δεν είναι ίσα, μπορούμε να πούμε ότι το $Β$ είναι γνήσιο υποσύνολο του $Α$: $Β \subset Α$.

Παράδειγμα 9. Έστω $Γ = \{κόκκινο, μπλε\}$ και $Δ = \{μπλε, κόκκινο\}$. Εδώ $Γ = Δ$ (ίδια στοιχεία, άλλη σειρά). Άρα ισχύει $Γ \subseteq Δ$, αλλά δεν ισχύει $Γ \subset Δ$, αφού τα δύο σύνολα είναι ίσα και όχι «αυστηρά» διαφορετικά.

Πώς αποφασίζεις ποια σχέση ισχύει: βήμα προς βήμα 🧭

Όταν σου δίνουν δύο σύνολα και σου ζητούν να βρεις τη σχέση τους, ακολούθησε αυτά τα βήματα:

1. Έλεγξε αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Αν ναι, τα σύνολα είναι ίσα ($Α = Β$) και η εξέταση σταματά εδώ.
2. Αν δεν είναι ίσα, έλεγξε αν όλα τα στοιχεία του ενός βρίσκονται μέσα στο άλλο. Πάρε το μικρότερο (φαινομενικά) σύνολο και έλεγξε στοιχείο-στοιχείο αν ανήκει στο μεγαλύτερο.
3. Αν όλα τα στοιχεία περνάνε τον έλεγχο, έχεις γνήσιο υποσύνολο ($\subset$), αφού ήδη ξέρεις από το βήμα 1 ότι δεν είναι ίσα.
4. Αν έστω ένα στοιχείο δεν βρίσκεται στο άλλο σύνολο, δεν υπάρχει καμία σχέση υποσυνόλου ανάμεσά τους ($\not\subseteq$ και προς τις δύο κατευθύνσεις).

Παράδειγμα 10 (πλήρης εφαρμογή). Έστω $Α = \{2, 3, 5, 7\}$ (πρώτοι αριθμοί μικρότεροι του 10) και $Β = \{3, 7\}$.

• Βήμα 1: Έχουν ίδια στοιχεία; Όχι — το $Α$ έχει το 2 και το 5, που δεν τα έχει το $Β$.
• Βήμα 2: Είναι το $Β$ μέσα στο $Α$; Το 3 ανήκει στο $Α$· το 7 ανήκει στο $Α$. Ναι, όλα τα στοιχεία του $Β$ βρίσκονται στο $Α$.
• Βήμα 3: Αφού δεν είναι ίσα και το $Β$ χωράει ολόκληρο στο $Α$, έχουμε γνήσιο υποσύνολο: $Β \subset Α$.

Παράδειγμα 11 (καμία σχέση). Έστω $Γ = \{1, 2, 3\}$ και $Δ = \{3, 4, 5\}$. Το $Γ$ έχει το στοιχείο 1, που δεν ανήκει στο $Δ$· άρα $Γ \not\subseteq Δ$. Το $Δ$ έχει το στοιχείο 4, που δεν ανήκει στο $Γ$· άρα $Δ \not\subseteq Γ$. Παρόλο που μοιράζονται το κοινό στοιχείο 3, δεν υπάρχει σχέση υποσυνόλου προς καμία κατεύθυνση.

Ίσα σύνολα και υποσύνολα: η σύνδεση ανάμεσά τους 🔄

Υπάρχει ένας ωραίος τρόπος να δεις τη σχέση της ισότητας μέσα από τα υποσύνολα: δύο σύνολα $Α$ και $Β$ είναι ίσα ακριβώς όταν το καθένα είναι υποσύνολο του άλλου. Δηλαδή:

Αυτό βγάζει νόημα: αν κάθε στοιχείο του $Α$ βρίσκεται στο $Β$, και ταυτόχρονα κάθε στοιχείο του $Β$ βρίσκεται στο $Α$, τότε τα δύο σύνολα δεν μπορεί παρά να περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία — άρα είναι ίσα.

Παράδειγμα 12. Έστω $Α = \{α, β\}$ και $Β = \{β, α\}$. Κάθε στοιχείο του $Α$ (το α, το β) βρίσκεται στο $Β$, άρα $Α \subseteq Β$. Και κάθε στοιχείο του $Β$ βρίσκεται στο $Α$, άρα $Β \subseteq Α$. Αφού ισχύουν και τα δύο, συμπεραίνουμε $Α = Β$ — πράγμα που άλλωστε ήδη ξέραμε, αφού είναι τα ίδια δύο γράμματα.

Σύνοψη των συμβόλων 📋

Με αυτά τα εργαλεία μπορείς πλέον να συγκρίνεις οποιαδήποτε δύο σύνολα: πρώτα ελέγχεις αν είναι ίσα, μετά αν το ένα χωράει μέσα στο άλλο, και τέλος αποφασίζεις αν πρόκειται για απλό ή για γνήσιο υποσύνολο.