Καταστατική Εξίσωση Ιδανικού Αερίου 🌬️

Η συμπεριφορά των αερίων είναι πιο απλή και ομοιόμορφη από τη συμπεριφορά των υγρών και των στερεών. Σε αντίθεση με τις υγρές και στερεές ουσίες, ορισμένες βασικές ιδιότητες των αερίων είναι ανεξάρτητες από τη χημική τους φύση και μπορούν να περιγραφούν με συγκεκριμένους νόμους.

Οι Τρεις Βασικοί Νόμοι των Αερίων

Νόμος του Boyle

Ο νόμος του Boyle περιγράφει τη σχέση όγκου και πίεσης:

Νόμος Boyle

Ο όγκος $V$ που καταλαμβάνει ένα αέριο είναι αντιστρόφως ανάλογος της πίεσης $P$ που έχει, με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός mol $n$ και η θερμοκρασία $T$ του αερίου παραμένουν σταθερά:

PV = \text{σταθερό, όταν } n, T \text{ σταθερά}

Ο πατέρας της πειραματικής χημείας

Ο Robert Boyle (1627-1691) ήταν Ιρλανδός χημικός και φιλόσοφος, το 14ο παιδί μιας εύπορης οικογένειας. Το βιβλίο του «Ο Σκεπτικιστής Χημικός» έθεσε τις βάσεις για τη μετάβαση από την αλχημεία στη σύγχρονη χημεία.

Νόμος του Charles

Ο νόμος του Charles περιγράφει τη σχέση όγκου και θερμοκρασίας:

Νόμος Charles

Ο όγκος $V$ που καταλαμβάνει ένα αέριο είναι ανάλογος της απόλυτης θερμοκρασίας $T$ , με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός mol $n$ και η πίεση $P$ παραμένουν σταθερά:

V \propto T, \text{ όταν } n, P \text{ σταθερά}

Ο χημικός που πέταξε ψηλά

Ο Jacques Charles (1746-1823) ήταν Γάλλος χημικός, γνωστός για τα πειράματά του με αερόστατα. Ένα χρόνο μετά την ανακάλυψη του αερόστατου από τους αδελφούς Montgolfier, κατασκεύασε το δικό του αερόστατο χρησιμοποιώντας υδρογόνο αντί για θερμό αέρα — υδρογόνο που παρήγαγε ο ίδιος αντιδρώντας 250 kg οξέος με 500 kg σιδήρου.

Νόμος Gay-Lussac

Ο νόμος Gay-Lussac περιγράφει τη σχέση πίεσης και θερμοκρασίας:

Νόμος Gay-Lussac

Η πίεση $P$ που ασκεί ένα αέριο είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας $T$ , όταν ο αριθμός mol $n$ και ο όγκος $V$ παραμένουν σταθερά:

P \propto T, \text{ όταν } n, V \text{ σταθερά}

Η πίεση που ασκεί ένα αέριο είναι αποτέλεσμα των συγκρούσεων των μορίων του στα τοιχώματα του δοχείου.

Πειράματα σε 7000 μέτρα ύψος

Ο Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) ήταν Γάλλος χημικός και φυσικός που ανέβηκε με αερόστατο μέχρι τα 7000 m για τις ανάγκες των πειραμάτων του. Κατείχε ταυτόχρονα δύο καθηγητικές έδρες, της χημείας και της φυσικής, στο πανεπιστήμιο της Σορβόννης.

Η Καταστατική Εξίσωση των Ιδανικών Αερίων

Συνδυάζοντας τους τρεις νόμους:

Boyle: $V \propto \dfrac{1}{P}$
Charles: $V \propto T$
Avogadro: $V \propto n$

καταλήγουμε στην αναλογία $V \propto \dfrac{1}{P} \cdot T \cdot n$ . Εισάγοντας μια σταθερά αναλογίας $R$ , η αναλογία μετατρέπεται σε εξίσωση:

V = R \cdot \frac{1}{P} \cdot T \cdot n

Η σταθερά $R$ ονομάζεται παγκόσμια σταθερά των αερίων. Η σχέση αυτή γράφεται συνήθως στη μορφή:

PV = nRT

και ονομάζεται καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων. Η καταστατική εξίσωση εμπεριέχει και τους τρεις νόμους (Boyle, Charles, Avogadro) και περιγράφει πλήρως τη συμπεριφορά (κατάσταση) ενός αερίου — γι' αυτό ονομάζεται «καταστατική».

Η τιμή της $R$ μπορεί να υπολογιστεί παίρνοντας ως βάση 1 mol αερίου σε συνθήκες STP ( $P = 1$ atm, $V = 22,4$ L, $T = 273$ K):

R = \frac{PV}{nT} = \frac{1 \text{ atm} \times 22,4 \text{ L}}{1 \text{ mol} \times 273 \text{ K}} \approx 0,082 \ \frac{\text{atm} \cdot \text{L}}{\text{mol} \cdot \text{K}}

Η τιμή του R στο S.I.

Στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων, η σταθερά των αερίων εκφράζεται και ως $R = 8,314 \ J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ , όταν η πίεση και ο όγκος εκφράζονται σε μονάδες S.I. (Pa και $m^3$ αντίστοιχα).

Τα αέρια που υπακούουν στην καταστατική εξίσωση, για οποιαδήποτε τιμή πίεσης και θερμοκρασίας, ονομάζονται ιδανικά ή τέλεια αέρια.

Πότε ένα αέριο συμπεριφέρεται ιδανικά

Τα περισσότερα αέρια, σε συνθήκες χαμηλής πίεσης και υψηλής θερμοκρασίας, προσεγγίζουν την ιδανική συμπεριφορά και υπακούουν στους νόμους των αερίων. Αποκλίσεις παρατηρούνται σε χαμηλές θερμοκρασίες και υψηλές πιέσεις, δηλαδή κοντά σε συνθήκες υγροποίησης.

Παράδειγμα 4.8

Σε δοχείο όγκου 15 L και θερμοκρασίας 27 °C, εισάγονται 4 mol αερίου Α. Να υπολογιστεί η πίεση που ασκεί το αέριο στο δοχείο.

Λύση. Μετατρέπουμε πρώτα τη θερμοκρασία σε Kelvin:

T = \theta + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ K}

Από την καταστατική εξίσωση $PV = nRT$ , λύνουμε ως προς $P$ :

P = \frac{nRT}{V} = \frac{4 \times 0,082 \times 300}{15} \approx 6,56 \text{ atm}

Η Καταστατική Εξίσωση για Αέρια Μίγματα

Ιδανικά συμπεριφέρονται επίσης τα περισσότερα μίγματα αερίων, κάτω από ορισμένες συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας. Έτσι, η καταστατική εξίσωση γράφεται και για αέρια μίγματα:

PV = n_{ολ}RT

όπου:

$n_{ολ}$ είναι ο συνολικός αριθμός mol του αερίου μίγματος,
$V$ είναι ο όγκος που καταλαμβάνει το αέριο μίγμα,
$P$ είναι η ολική πίεση των αερίων του μίγματος.

Πυκνότητα και Καταστατική Εξίσωση

Στην καταστατική εξίσωση μπορεί να εισαχθεί η πυκνότητα του αερίου $\rho$ . Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός mol ισούται με:

n = \frac{m}{M_r}

όπου $m$ η μάζα του αερίου. Αντικαθιστώντας στην καταστατική εξίσωση:

PV = \frac{m}{M_r}RT

Αναδιατάσσοντας και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της πυκνότητας $\rho = \dfrac{m}{V}$ :

P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M_r} = \rho \cdot \frac{RT}{M_r}

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ο τύπος της πυκνότητας ενός αερίου:

\rho = \frac{P \cdot M_r}{RT}

Η σχέση αυτή επιτρέπει να υπολογίσουμε την πυκνότητα ενός αερίου γνωρίζοντας την πίεση, τη θερμοκρασία και τη μοριακή του μάζα, ή αντίστροφα, να υπολογίσουμε τη σχετική μοριακή μάζα ενός αερίου γνωρίζοντας την πυκνότητά του.

Παράδειγμα 4.9

Πόση είναι η πυκνότητα του οξυγόνου ( $O_2$ ) σε πίεση 8 atm και θερμοκρασία 273 °C; Δίνεται $A_r(O) = 16$ .

Λύση. Μετατρέπουμε τη θερμοκρασία σε Kelvin:

T = 273 + 273 = 546 \text{ K}

Υπολογίζουμε τη μοριακή μάζα: $M_r(O_2) = 2 \times 16 = 32$ .

Εφαρμόζουμε τον τύπο της πυκνότητας:

\rho = \frac{P \cdot M_r}{RT} = \frac{8 \times 32}{0,082 \times 546} \approx 5,72 \text{ g/L}

Προσοχή στη θερμοκρασία

Η καταστατική εξίσωση και ο τύπος της πυκνότητας απαιτούν πάντα απόλυτη θερμοκρασία σε Kelvin, όχι θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου. Ένα από τα πιο συχνά λάθη είναι να αντικαθιστούμε απευθείας την τιμή σε °C στους τύπους.