Δεκαδικοί Αριθμοί: Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση και Δυνάμεις 🧮

Ας εξερευνήσουμε τον κόσμο των δεκαδικών αριθμών! Θα μάθουμε πώς να τους προσθέτουμε, να τους αφαιρούμε, να τους πολλαπλασιάζουμε, να τους διαιρούμε και να υπολογίζουμε τις δυνάμεις τους. Ετοιμαστείτε για ένα μαθηματικό ταξίδι! 🚀

Πρόσθεση και Αφαίρεση Δεκαδικών Αριθμών ➕➖

Η πρόσθεση και η αφαίρεση δεκαδικών αριθμών είναι σαν να προσθέτουμε και να αφαιρούμε φυσικούς αριθμούς. Το μυστικό είναι να βεβαιωθούμε ότι τα ψηφία με την ίδια αξία θέσης είναι τοποθετημένα το ένα κάτω από το άλλο. 🔑

Πολλαπλασιασμός Δεκαδικών Αριθμών ✖️

Ο πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών γίνεται όπως και ο πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών. Αφού κάνουμε την πράξη, μετράμε πόσα ψηφία υπάρχουν συνολικά στα δεκαδικά μέρη των αριθμών που πολλαπλασιάζουμε. Στη συνέχεια, τοποθετούμε την υποδιαστολή στο αποτέλεσμα, μετρώντας από τα δεξιά προς τα αριστερά τόσες θέσεις όσα είναι τα ψηφία που μετρήσαμε. 🔢

Για παράδειγμα, αν πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς $15,82$ και $2,3$:

1. Ο αριθμός $15,82$ έχει 2 δεκαδικά ψηφία και ο αριθμός $2,3$ έχει 1 δεκαδικό ψηφίο. Άρα, συνολικά έχουμε $2 + 1 = 3$ δεκαδικά ψηφία.
2. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό $1582 \cdot 23 = 36386$.
3. Στο αποτέλεσμα $36386$, μετράμε 3 θέσεις από τα δεξιά προς τα αριστερά και τοποθετούμε την υποδιαστολή. Έτσι, το αποτέλεσμα είναι $36,386$.

Διαίρεση Δεκαδικού Αριθμού με Δεκαδικό Αριθμό ➗

Όταν διαιρούμε έναν δεκαδικό αριθμό με έναν άλλο δεκαδικό αριθμό, κάνουμε τη διαίρεση όπως στην ευκλείδεια διαίρεση. Για να το κάνουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς (τον διαιρέτη και τον διαιρετέο) με μια κατάλληλη δύναμη του 10 $(10, 100, 1000, ...)$. Αυτό το κάνουμε για να μετατρέψουμε τον διαιρέτη σε έναν φυσικό αριθμό.

Όταν τελειώσει το ακέραιο μέρος του διαιρετέου, και πρέπει να συνεχίσουμε τη διαίρεση, "κατεβάζουμε" το πρώτο δεκαδικό ψηφίο από τον διαιρετέο. Τότε, βάζουμε μια υποδιαστολή στο πηλίκο.

Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση με 0,1, 0,01, 0,001, 10, 100, 1000 💯

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με $0,1$, $0,01$, $0,001$, ή όταν διαιρούμε έναν δεκαδικό αριθμό με $10$, $100$, $1000$, μετακινούμε την υποδιαστολή του αριθμού προς τα αριστερά μία, δύο, τρεις θέσεις, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα:

• $258 \cdot 0,1 = 25,8$ ή $258 : 10 = 25,8$
• $8,45 \cdot 0,01 = 0,0845$ ή $8,45 : 100 = 0,0845$
• $12,45 \cdot 0,001 = 0,01245$ ή $12,45 : 1000 = 0,01245$

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν δεκαδικό αριθμό με $10$, $100$, $1000$, μετακινούμε την υποδιαστολή του αριθμού προς τα δεξιά μία, δύο, τρεις θέσεις, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα:

• $28,34 \cdot 10 = 283,4$
• $38,0945 \cdot 100 = 3809,45$
• $1,3245 \cdot 1000 = 1324,5$
• $0,009 \cdot 1000 = 9$

Δυνάμεις με Βάση Δεκαδικό Αριθμό ⬆️

Στους δεκαδικούς αριθμούς, οι πράξεις δεν είναι δύσκολες. Το μόνο που χρειάζεται είναι να προσέχουμε πού βρίσκεται η υποδιαστολή.

Πρόσθεση και Αφαίρεση:

Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε δεκαδικούς αριθμούς, κάνουμε ακριβώς ό,τι κάνουμε και με τους φυσικούς αριθμούς. Βάζουμε τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον, φροντίζοντας οι υποδιαστολές να είναι στην ίδια στήλη.

Παράδειγμα πρόσθεσης:

$86,907 + 132,76 = 219,667$

Παράδειγμα αφαίρεσης:

$54,452 - 15,905 = 38,547$

Πολλαπλασιασμός:

Και ο πολλαπλασιασμός δεκαδικών γίνεται όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Στο αποτέλεσμα, βάζουμε την υποδιαστολή μετρώντας τόσα ψηφία από το τέλος προς την αρχή, όσα είναι συνολικά τα δεκαδικά ψηφία και στους δύο αριθμούς που πολλαπλασιάζουμε.

Παράδειγμα πολλαπλασιασμού:

$15,82 \times 2,3 = 36,386$ (Το 15,82 έχει 2 δεκαδικά ψηφία και το 2,3 έχει 1, άρα το αποτέλεσμα έχει 3 δεκαδικά ψηφία).

Διαίρεση:

Η διαίρεση δεκαδικού αριθμού με δεκαδικό αριθμό γίνεται όπως και η κανονική διαίρεση. Για να κάνουμε πιο εύκολα τη διαίρεση, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς (διαιρέτη και διαιρετέο) με το 10 ή το 100 ή το 1000, ανάλογα, για να γίνει ο διαιρέτης φυσικός αριθμός. Όταν τελειώσουν τα ψηφία πριν την υποδιαστολή στον αριθμό που διαιρούμε, βάζουμε υποδιαστολή στο αποτέλεσμα και συνεχίζουμε τη διαίρεση προσθέτοντας μηδενικά.

Παράδειγμα διαίρεσης:

$534,28 : 3,178$ γίνεται $534280 : 3178 = 168,1$ (Πολλαπλασιάσαμε και τους δύο αριθμούς με το 1000 για να μην έχουμε δεκαδικούς).

Πολλαπλασιασμός με 0,1, 0,01, 0,001...:

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με 0,1, 0,01, 0,001..., η υποδιαστολή μετακινείται προς τα αριστερά μία, δύο, τρεις θέσεις αντίστοιχα.

Παράδειγμα:

$258 \cdot 0,1 = 25,8$

Διαίρεση με 10, 100, 1000...:

Όταν διαιρούμε έναν αριθμό με 10, 100, 1000..., η υποδιαστολή μετακινείται προς τα αριστερά μία, δύο, τρεις θέσεις αντίστοιχα.

Παράδειγμα:

$8,45 : 100 = 0,0845$

Πολλαπλασιασμός με 10, 100, 1000...:

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με 10, 100, 1000..., η υποδιαστολή μετακινείται προς τα δεξιά μία, δύο, τρεις θέσεις αντίστοιχα.

Παράδειγμα:

$28,34 \cdot 10 = 283,4$

Ιδιότητες Δυνάμεων Δεκαδικών Αριθμών 🔢⬆️

Οι δυνάμεις των δεκαδικών αριθμών συμπεριφέρονται όπως οι δυνάμεις των φυσικών αριθμών.

Για να βρεις πόσα δεκαδικά ψηφία θα έχει το αποτέλεσμα μιας δύναμης δεκαδικού αριθμού, πολλαπλασιάζεις τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων της βάσης με τον εκθέτη της δύναμης.

Για παράδειγμα:

• Στο $(2,5)^2 = 2,5^2 = 6,25$, το 2,5 έχει ένα δεκαδικό ψηφίο και ο εκθέτης είναι 2, άρα το αποτέλεσμα (6,25) έχει $1 \times 2 = 2$ δεκαδικά ψηφία.
• Στο $(1,25)^2 = 1,25^2 = 1,5625$, το 1,25 έχει δύο δεκαδικά ψηφία και ο εκθέτης είναι 2, άρα το αποτέλεσμα (1,5625) έχει $2 \times 2 = 4$ δεκαδικά ψηφία.
• Στο $(0,115)^2 = 0,115^2 = 0,013225$, το 0,115 έχει τρία δεκαδικά ψηφία και ο εκθέτης είναι 2, άρα το αποτέλεσμα (0,013225) έχει $3 \times 2 = 6$ δεκαδικά ψηφία.
• Στο $(1,5)^3 = 1,5^3 = 3,375$, το 1,5 έχει ένα δεκαδικό ψηφίο και ο εκθέτης είναι 3, άρα το αποτέλεσμα (3,375) έχει $1 \times 3 = 3$ δεκαδικά ψηφία.
• Στο $(0,15)^3 = 0,15^3 = 0,003375$, το 0,15 έχει δύο δεκαδικά ψηφία και ο εκθέτης είναι 3, άρα το αποτέλεσμα (0,003375) έχει $2 \times 3 = 6$ δεκαδικά ψηφία.
• Στο $(0,5)^4 = 0,5^4 = 0,0625$, το 0,5 έχει ένα δεκαδικό ψηφίο και ο εκθέτης είναι 4, άρα το αποτέλεσμα (0,0625) έχει $1 \times 4 = 4$ δεκαδικά ψηφία.
• Στο $(0,15)^4 = 0,15^4 = 0,00050625$, το 0,15 έχει δύο δεκαδικά ψηφία και ο εκθέτης είναι 4, άρα το αποτέλεσμα (0,00050625) έχει $2 \times 4 = 8$ δεκαδικά ψηφία.