Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε: Ευκλείδεια Διαίρεση ➗

Όταν έχουμε δύο αριθμούς, τον $Δ$ και τον $δ$, μπορούμε να βρούμε δύο άλλους αριθμούς, το $π$ και το $υ$, έτσι ώστε να ισχύει η σχέση:

$Δ = δ \cdot π + υ$ 🤓

Ας δούμε τι σημαίνουν αυτοί οι αριθμοί:

• $Δ$: Διαιρετέος 🎯
• $δ$: Διαιρέτης ➗
• $π$: Πηλίκο 💡
• $υ$: Υπόλοιπο ➕

Αυτή η διαίρεση ονομάζεται Ευκλείδεια Διαίρεση. 🏛️

Αν το υπόλοιπο $υ$ είναι 0, τότε έχουμε μια Τέλεια Διαίρεση:

$Δ = δ \cdot π$ ✅

Στους φυσικούς αριθμούς, η τέλεια διαίρεση είναι το αντίθετο του πολλαπλασιασμού. Αν $Δ = δ \cdot π$, τότε $Δ : δ = π$ ή $Δ : π = δ$. 🔄

Ας δούμε μερικές ακόμα σημαντικές περιπτώσεις:

• Όταν ο διαιρετέος $Δ$ και ο διαιρέτης $δ$ είναι ίσοι, τότε το πηλίκο $π$ είναι 1. 🥇
• Όταν ο διαιρέτης $δ$ είναι 1, τότε το πηλίκο $π$ είναι ίσο με τον διαιρετέο $Δ$. 💯
• Όταν ο διαιρετέος $Δ$ είναι 0, τότε το πηλίκο $π$ είναι 0. 😶‍🌫️

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Αναγνώριση Ευκλείδειας Διαίρεσης 👀

Παράδειγμα

Θέλουμε να δούμε ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι Ευκλείδειες διαιρέσεις:

(α) $120 = 28 \cdot 4 + 8$
(β) $1.345 = 59 \cdot 21 + 106$
(γ) $374 = 8 \cdot 46 + 6$

Για να το λύσουμε αυτό, κοιτάμε το υπόλοιπο $υ$ σε κάθε ισότητα και το συγκρίνουμε με τον διαιρέτη $δ$. 🤔

(α) $120 = 28 \cdot 4 + 8$

• Υπόλοιπο: $υ = 8$
• Διαιρέτης: $δ = 28$

Επειδή $8 < 28$, αυτή είναι Ευκλείδεια διαίρεση! 🎉

(β) $1.345 = 59 \cdot 21 + 106$

• Υπόλοιπο: $υ = 106$
• Διαιρέτης: $δ = 59$

Επειδή $106 > 59$, αυτή δεν είναι Ευκλείδεια διαίρεση! ❌

(γ) $374 = 8 \cdot 46 + 6$

• Υπόλοιπο: $υ = 6$
• Διαιρέτης: $δ = 8$

Επειδή $6 < 8$, αυτή είναι Ευκλείδεια διαίρεση! ✅

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: Αποθήκευση φωτογραφιών 📸

Παράδειγμα

Έχουμε μια φωτογραφική μηχανή που μπορεί να αποθηκεύσει 11 φωτογραφίες σε μια κάρτα μνήμης.

(α) Αν θέλουμε να αποθηκεύσουμε 5 άλμπουμ με 36 φωτογραφίες το καθένα, πόσες κάρτες μνήμης θα χρειαστούμε;
(β) Στην τελευταία κάρτα μνήμης, πόσος χώρος θα μείνει για επιπλέον φωτογραφίες;

Λύση:

(α) Πρώτα, βρίσκουμε πόσες φωτογραφίες έχουμε συνολικά:

$5 \cdot 36 = 180$ φωτογραφίες 🖼️

Τώρα, διαιρούμε τον συνολικό αριθμό φωτογραφιών με τον αριθμό φωτογραφιών που χωράει κάθε κάρτα μνήμης:

$180 : 11$

Κάνοντας την Ευκλείδεια διαίρεση, έχουμε:

$180 = 11 \cdot 16 + 4$

Αυτό σημαίνει ότι χρειαζόμαστε 16 κάρτες μνήμης για να αποθηκεύσουμε 176 φωτογραφίες, και μας μένουν 4 φωτογραφίες. Επομένως, χρειαζόμαστε μία επιπλέον κάρτα μνήμης για να αποθηκεύσουμε και αυτές τις 4 φωτογραφίες.

Άρα, συνολικά χρειαζόμαστε $16 + 1 = 17$ κάρτες μνήμης. 💾💾💾

(β) Στην τελευταία κάρτα μνήμης θα αποθηκεύσουμε τις 4 φωτογραφίες που περίσσεψαν. Επειδή κάθε κάρτα μνήμης χωράει 11 φωτογραφίες, θα μείνει χώρος για:

$11 - 4 = 7$ φωτογραφίες. 🥳