Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε: Φυσικοί Αριθμοί 🧮

Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούμε κάθε μέρα για να μετράμε πράγματα! Ξεκινάνε από το $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, και συνεχίζονται για πάντα! 🤩

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο (αυτόν που έρχεται αμέσως μετά) και έναν προηγούμενο (αυτόν που έρχεται αμέσως πριν). 🤔 Όμως, ο αριθμός 0 είναι ξεχωριστός, γιατί δεν έχει προηγούμενο, μόνο επόμενο, τον αριθμό 1. ☝️

Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο ομάδες: τους άρτιους (ή ζυγούς) και τους περιττούς (ή μονούς). Οι άρτιοι αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν ακριβώς με το 2, ενώ οι περιττοί δεν μπορούν. ➗

Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης μας επιτρέπει να φτιάχνουμε άπειρους φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας μόνο δέκα ψηφία: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. 😲 Αυτό συμβαίνει επειδή η αξία κάθε ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση που βρίσκεται στον αριθμό (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, κ.λπ.). 💯

Για να συγκρίνουμε αριθμούς, χρησιμοποιούμε σύμβολα:

• Το σύμβολο = σημαίνει "ίσος με". ⚖️
• Το σύμβολο < σημαίνει "μικρότερος από". 🤏
• Το σύμβολο > σημαίνει "μεγαλύτερος από". 👆

Μπορούμε πάντα να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς και να τους βάλουμε σε σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο. Για παράδειγμα, $0 < 1 < 2 < 3 < ... < 10 < 11 < 12 < ... < 297 < ... < 1000 < ...$. Αυτό σημαίνει ότι ο 0 είναι μικρότερος από τον 1, ο 1 είναι μικρότερος από τον 2, και ούτω καθεξής. 🤓

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε: Στρογγυλοποίηση 🔄

Η στρογγυλοποίηση είναι όταν αλλάζουμε έναν αριθμό με έναν άλλο που είναι κοντά του, αλλά λίγο μικρότερος ή μεγαλύτερος. 🤔

Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό, κάνουμε τα εξής:

1. Βρίσκουμε σε ποια θέση (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ.) θέλουμε να κάνουμε τη στρογγυλοποίηση. 📍
2. Κοιτάμε το ψηφίο που είναι αμέσως μικρότερο από αυτή τη θέση. 👀
3. Αν το ψηφίο αυτό είναι μικρότερο από το 5 (δηλαδή 0, 1, 2, 3 ή 4), τότε αυτό το ψηφίο και όλα τα ψηφία που είναι σε μικρότερες θέσεις γίνονται μηδέν. ⬇️
4. Αν το ψηφίο αυτό είναι 5 ή μεγαλύτερο (δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), τότε αυτό το ψηφίο και όλα τα ψηφία που είναι σε μικρότερες θέσεις γίνονται μηδέν, και το ψηφίο στη θέση που στρογγυλοποιούμε αυξάνεται κατά 1. ⬆️

Παράδειγμα - Εφαρμογή: Στρογγυλοποίηση ✍️

Ας δούμε πώς να στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 9.573.842 σε διαφορετικές τάξεις:

(α) Στρογγυλοποίηση στις εκατοντάδες:

• Πρώτα, βρίσκουμε την τάξη στρογγυλοποίησης, που είναι οι εκατοντάδες. 🎯
• Κοιτάμε το ψηφίο που βρίσκεται ακριβώς πριν από τις εκατοντάδες, δηλαδή στη θέση των δεκάδων. Στον αριθμό 9.573.842, αυτό είναι το 4. 🔍
• Επειδή το 4 είναι μικρότερο από το 5, αφήνουμε το 8 (στη θέση των εκατοντάδων) όπως είναι και αντικαθιστούμε όλα τα ψηφία δεξιά του 8 με μηδενικά. ➡️
• Έτσι, ο αριθμός 9.573.842 στρογγυλοποιείται σε 9.573.800. ✅

(β) Στρογγυλοποίηση στις χιλιάδες:

• Η τάξη στρογγυλοποίησης είναι οι χιλιάδες. 🎯
• Το ψηφίο πριν από τις χιλιάδες (το 3) είναι το 8. 🔍
• Επειδή το 8 είναι μεγαλύτερο από το 5, αυξάνουμε το 3 (στη θέση των χιλιάδων) κατά 1, οπότε γίνεται 4, και αντικαθιστούμε όλα τα ψηφία δεξιά του 4 με μηδενικά. ⬆️
• Έτσι, ο αριθμός 9.573.842 στρογγυλοποιείται σε 9.574.000. ✅

(γ) Στρογγυλοποίηση στα εκατομμύρια:

• Η τάξη στρογγυλοποίησης είναι τα εκατομμύρια. 🎯
• Το ψηφίο πριν από τα εκατομμύρια (το 9) είναι το 5. 🔍
• Επειδή το 5 είναι ίσο με το 5, αυξάνουμε το 9 (στη θέση των εκατομμυρίων) κατά 1, οπότε γίνεται 10, και αντικαθιστούμε όλα τα ψηφία δεξιά του 10 με μηδενικά. ⬆️
• Έτσι, ο αριθμός 9.573.842 στρογγυλοποιείται σε 10.000.000. ✅

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε: Ιδιότητες της πρόσθεσης και αφαίρεσης ➕➖

Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι πράξεις που κάνουμε με τους αριθμούς. ➕➖

• Πρόσθεση με το μηδέν: Όταν προσθέτουμε έναν αριθμό με το μηδέν, το αποτέλεσμα είναι πάντα ο ίδιος ο αριθμός.

• Αντιμεταθετική ιδιότητα: Όταν προσθέτουμε δύο αριθμούς, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά τους και το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Για παράδειγμα, $α + β = β + α$.

• Προσεταιριστική ιδιότητα: Όταν προσθέτουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, μπορούμε να βάλουμε παρενθέσεις για να δείξουμε ποια πρόσθεση θα κάνουμε πρώτα. Το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο, ανεξάρτητα από το πού θα βάλουμε τις παρενθέσεις. Για παράδειγμα, $(α + β) + γ = α + (β + γ)$.

• Αφαίρεση: Η αφαίρεση είναι η πράξη όπου βρίσκουμε τη διαφορά μεταξύ δύο αριθμών. Έχουμε τον αριθμό $Μ$ (μειωτέος) και τον αριθμό $Α$ (αφαιρετέος). Η διαφορά $Δ$ είναι ο αριθμός που, όταν προστεθεί στον $Α$, μας δίνει τον $Μ$. Δηλαδή, $Μ = Α + Δ$. Για να μπορέσουμε να κάνουμε αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς, ο αριθμός $Α$ που αφαιρούμε πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό $Μ$ από τον οποίο αφαιρούμε. Αν ο $Α$ είναι μεγαλύτερος από τον $Μ$, τότε δεν μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς. Η διαφορά $Δ$ βρίσκεται κάνοντας την πράξη $Δ = Μ - Α$.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε: Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ✖️

Ο πολλαπλασιασμός έχει κάποιες ιδιότητες που μας βοηθούν να κάνουμε πιο εύκολα τις πράξεις. Ας τις δούμε μία-μία: 😉

• Ουδέτερο στοιχείο: Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό $α$ με το 1, το αποτέλεσμα είναι πάντα ο ίδιος ο αριθμός $α$. Αυτό ισχύει και αν αλλάξουμε τη σειρά τους:

  $α · 1 = 1 · α = α$

• Αντιμεταθετική ιδιότητα: Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των αριθμών που πολλαπλασιάζουμε χωρίς να αλλάξει το αποτέλεσμα. Αν έχουμε δύο αριθμούς $α$ και $β$, τότε:

  $α · β = β · α$

• Προσεταιριστική ιδιότητα: Όταν πολλαπλασιάζουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, δεν έχει σημασία ποιο ζευγάρι θα πολλαπλασιάσουμε πρώτο. Αν έχουμε τρεις αριθμούς $α$, $β$ και $γ$, τότε:

  $(α · β) · γ = α · (β · γ)$

• Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση: Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό $α$ με ένα άθροισμα $(β + γ)$, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον $α$ με κάθε αριθμό μέσα στην παρένθεση ξεχωριστά και μετά να προσθέσουμε τα αποτελέσματα:

  $α · (β + γ) = α · β + α · γ$

• Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την αφαίρεση: Όμοια με την πρόσθεση, όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό $α$ με μια διαφορά $(β - γ)$, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον $α$ με κάθε αριθμό μέσα στην παρένθεση ξεχωριστά και μετά να αφαιρέσουμε τα αποτελέσματα:

  $α · (β - γ) = α · β - α · γ$

• Ουδέτερο στοιχείο: Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό $α$ με το 0, το αποτέλεσμα είναι πάντα 0:

  $α · 0 = 0 · α = 0$

Παράδειγμα - Εφαρμογή: Πολλαπλασιασμός με 10, 100, 1000 🚀

Για να υπολογίσουμε γινόμενα όπως:

• $35 · 10$
• $421 · 100$
• $5 · 1.000$
• $27 · 10.000$

Η λύση είναι απλή:

• $35 · 10 = 350$
• $421 · 100 = 42.100$
• $5 · 1.000 = 5.000$
• $27 · 10.000 = 270.000$

Τι παρατηρούμε; 🤔

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με το 10, το 100, το 1.000, κ.λπ., απλώς γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει ο αριθμός 10, 100, 1.000, κ.λπ. 💡

Για παράδειγμα:

• Το 10 έχει ένα μηδενικό, οπότε το $35$ γίνεται $350$.
• Το 100 έχει δύο μηδενικά, οπότε το $421$ γίνεται $42.100$.
• Το 1.000 έχει τρία μηδενικά, οπότε το $5$ γίνεται $5.000$.
• Το 10.000 έχει τέσσερα μηδενικά, οπότε το $27$ γίνεται $270.000$.

Παράδειγμα - Εφαρμογή: Εκτέλεση πράξεων 💪

Αυτό το παράδειγμα δείχνει πώς να κάνεις πράξεις χρησιμοποιώντας κάποιες έξυπνες ιδιότητες των αριθμών. Ας δούμε πώς λύνονται οι πράξεις:

(α) $89 \cdot 7 + 89 \cdot 3$
Εδώ, παρατηρούμε ότι ο αριθμός 89 πολλαπλασιάζεται και με το 7 και με το 3. Μπορούμε να το γράψουμε αλλιώς: $89 \cdot (7 + 3)$. Πρώτα προσθέτουμε το 7 και το 3, που κάνει 10. Έτσι, έχουμε $89 \cdot 10$, που είναι 890.

(β) $23 \cdot 49 + 77 \cdot 49$
Παρόμοια, εδώ ο αριθμός 49 πολλαπλασιάζεται και με το 23 και με το 77. Μπορούμε να το γράψουμε: $(23 + 77) \cdot 49$. Πρώτα προσθέτουμε το 23 και το 77, που κάνει 100. Έτσι, έχουμε $100 \cdot 49$, που είναι 4900.

(γ) $76 \cdot 13 - 76 \cdot 3$
Εδώ έχουμε μια αφαίρεση. Ο αριθμός 76 πολλαπλασιάζεται με το 13 και αφαιρείται το γινόμενο του 76 με το 3. Μπορούμε να το γράψουμε: $76 \cdot (13 - 3)$. Πρώτα αφαιρούμε το 3 από το 13, που κάνει 10. Έτσι, έχουμε $76 \cdot 10$, που είναι 760.

(δ) $284 \cdot 99$
Εδώ, πολλαπλασιάζουμε το 284 με το 99. Μπορούμε να σκεφτούμε ότι το 99 είναι σαν να λέμε $100 - 1$. Έτσι, γράφουμε: $284 \cdot (100 - 1)$. Αυτό είναι το ίδιο με το $284 \cdot 100 - 284 \cdot 1$. Το $284 \cdot 100$ είναι 28400, και το $284 \cdot 1$ είναι 284. Αφαιρούμε το 284 από το 28400, και παίρνουμε 28116.