Άσκηση 1

Να βρεις έναν αριθμό που έχει τέσσερα ίδια ψηφία και διαιρείται με το 9.

Απάντηση

Αν y είναι ένα από τα ψηφία τότε ο αριθμός έχει τη μορφή: yyyy.

Αφού ο αριθμός διαιρείται με το 9, θα πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του (y+y+y+y) δηλαδή το 4y να είναι πολλαπλάσιο του 9.

Aυτό συμβαίνει μόνο αν y = 9.

O ζητούμενος αριθμός είναι ο 9999.

Άσκηση 2

Πόσοι μαθητές είναι τα ⁷⁄₁₀ των μαθητών ενός σχολείου αν τα ²⁄₈ των μαθητών αυτού του σχολείου είναι 60 μαθητές.

Απάντηση

Έστω x το πλήθος των μαθητών του σχολείου. Αφού τα ²⁄₈ των μαθητών είναι 60 μαθητές τότε έχουμε:

²⁄₈ × x = 60 άρα x = 60 : ²⁄₈ = 60 × ⁸⁄₂ = 240.

Συνεπώς το σχολείο έχει 240 μαθητές.

Οπότε τα ⁷⁄₁₀ των μαθητών είναι ⁷⁄₁₀ × 240 = ¹⁶⁸⁰⁄₁₀ = 168 μαθητές.

Άσκηση 3

Να βρεις τρεις διαδοχικούς φυσικούς που έχουν άθροισμα 1533.

Απάντηση

Αν x είναι ο πιο μικρός από τους τρεις τότε οι δύο επόμενοι θα είναι οι x + 1 και x + 2.

Άρα έχουμε: x + x + 1 + x + 2 = 1533 άρα 3x + 3 = 1533

3x = 1533-3

3x = 1530

x = 1530 : 3

x = 510

Συνεπώς οι τρεις αριθμοί θα είναι οι: 510, 511 και 512.

Άσκηση 4

Βρες το ψηφίο που λείπει από τον αριθμό 75...3 ώστε αυτός να διαιρείται με το 9.

Απάντηση

Ονομάζουμε ω το ψηφίο που λείπει. Θα πρέπει να ισχύει:

7 + 5 + ω + 3 = πολλαπλάσιο του 9 δηλαδή:

ω + 15 = πολλαπλάσιο του 9

Συνεπώς ω = 3.

Άσκηση 5

Σε ένα διαγώνισμα κάθε μαθητής πρέπει να απαντήσει σε 100 ερωτήσεις . Θα πάρει 3 μονάδες για κάθε σωστή απάντηση και μόνο 1 για κάθε λανθασμένη. Ένας μαθητής πήρε συνολικά 220 μονάδες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά ;

Απάντηση

Αν x είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων τότε 100 - x είναι το πλήθος των λανθασμένων (διότι όλες οι ερωτήσεις είναι 100).

Η βαθμολογία σε αυτή την περίπτωση ισούται με 3x + 100 - x .

Επειδή ο μαθητής πήρε 220 μονάδες έχουμε 3x + 100 - x = 220 άρα

2x + 100= 220

2x = 220- 100

2x =120 οπότε

x = 120 : 2

x = 60

Άρα απάντησε σωστά σε 60 ερωτήσεις και λάθος σε 40.

Άσκηση 6

Η ηλικία ενός πατέρα είναι τετραπλάσια από την ηλικία του γιου του. Οι δύο ηλικίες μαζί συμπληρώνουν μισό αιώνα. Πόσο χρονών είναι ο καθένας;

Απάντηση

Έστω Π η ηλικία του πατέρα και Γ η ηλικία του γιου.

Πρέπει: Π = 4 ‧ Γ (1) (αφού είναι τετραπλάσια από την ηλικία του γιου του).

και Π + Γ = 50 (2) (αφού μαζί συμπληρώνουν μισό αιώνα).

Η σχέση (2) λόγω της (1) θα γίνει: 4 Γ + Γ = 50 δηλαδή 5Γ = 50.

Συνεπώς Γ=10.

Ο γιος έχει ηλικία 10 ετών. Άρα ο πατέρας έχει ηλικία 40 ετών.

Άσκηση 7

Τρία αδέλφια μοιράζονται εξίσου μια κληρονομιά που είναι ένα χωράφι και ένα διαμέρισμα. Ο πρώτος παίρνει το χωράφι. Ο δεύτερος παίρνει το διαμέρισμα αλλά δίνει στον πρώτο 600 € και στον τρίτο 15.000€. Ποια ήταν η αξία του χωραφιού και ποια του διαμερίσματος ;

Απάντηση

Έστω x η αξία του χωραφιού και δ η αξία του διαμερίσματος.

Ο πρώτος αδελφός πήρε μερίδιο ίσο με 600 + x.

Ο δεύτερος πήρε δ – 600–15.000.

Ο τρίτος αδερφός πήρε 15.000.

Επειδή τα μερίδια ήταν ίσα θα έχουμε:

600 + x = 15.000 (Λόγω του πρώτου και του τρίτου αδερφού.)

x = 14.400

Επιπλέον έχουμε:

δ – 600 - 15.000 = 15.000 (Λόγω του δεύτερου και του τρίτου αδερφού.)

δ = 15.000 +15.000 + 600

δ = 30.600

Δηλαδή το χωράφι άξιζε 14.400 € και το διαμέρισμα 30.600 €.

Άσκηση 8

Σε κάθε μία από τις παρακάτω πράξεις (α) και (β) τα γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία . Αντικατάστησε τα γράμματα Α , Β , Γ , και Δ με τα κατάλληλα ψηφία.

(α) ΑΒ + 47 = 73

(β) ΓΔ - 8 = Δ5

Απάντηση

(α) ΑΒ = 73 – 47 = 26

(β) ΓΔ = Δ5 + 8

ΓΔ = (Δ + 1) 3

Πρέπει: Γ = Δ + 1 και Δ = 3

Οπότε Γ=4.

Άσκηση 9

Από μία ποσότητα κρασιού αφαιρέσουμε 18lt . Η υπόλοιπη ποσότητα χωράει σε δοχεία των 7 lt. Αν γνωρίζεις ότι η αρχική ποσότητα είναι μικρότερη των 100 lt και μεγαλύτερη των 90 lt , πόσα lt είναι η αρχική ποσότητα του κρασιού ; Πόσα δοχεία θα χρησιμοποιήσουμε ;

Απάντηση

Έστω κ η αρχική ποσότητα του κρασιού.

Ο αριθμός κ – 18 είναι πολλαπλάσιος του 7 (δεδομένου ότι χωράει σε δοχεία των 7 lt).

Άρα κ = πολλαπλάσιος του 7 + 18.

Γνωρίζουμε επίσης ότι: 90 < κ < 100.

Άρα: 90 < πολλαπλάσιος του 7 + 18 < 100

90 – 18 < πολλαπλάσιος του 7 < 100 – 18

72 < πολλαπλάσιος του 7 < 82

Ο μοναδικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιος του 7 μεταξύ του 72 και του 82 είναι το 77.

Συνεπώς κ – 18 = 77, οπότε κ = 77 + 18 = 95.

Ο αριθμός των δοχείων που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ίσος με 77 : 7 = 11.

Άσκηση 10

Ένας παραγωγός έφτιαξε 100 lt ξύδι και θέλει να το συσκευάσει σε μπουκάλια που χωράνε 0,75 lt . Να βρεις:

(α) Πόσα μπουκάλια θα χρειαστεί.

(β) Πόσα lt θα του περισσέψουν.

Απάντηση

(α) Διαιρώντας το 100 με το 0,75 έχουμε ως πηλικό τον αριθμό 133. Άρα θα χρειαστεί 133 μπουκάλια.

(β) Πολλαπλασιάζοντας το 133 με το 0,75 έχουμε ως γινόμενο τον αριθμό 99,75. Έπειτα αφαιρώντας το 99,75 από το 100 μας μένει ως διαφορά το 0,25. Άρα θα περισσέψουν 0,25 lt.

Άσκηση 11

Δύο συνεργεία καθαρισμού ακτών καθαρίζουν μία μεγάλη παραλία μήκους 18 ³⁄₄ km. Το πρώτο συνεργείο καθαρίζει 3¹⁄₂km και το δεύτερο 2 ³⁄₄km κάθε μέρα. Τα δύο συνεργεία εργάζονται στα δύο άκρα της παραλίας έως ότου συναντηθούν. Σε πόσες ημέρες θα έχουν ολοκληρώσει τον καθαρισμό της παραλίας;

Απάντηση

Το πρώτο συνεργείο καθαρίζει 3¹⁄₂ = 3 +¹⁄₂ = ⁷⁄₂ km την ημέρα.

Το δεύτερο καθαρίζει 2³⁄₄ = 2 +³⁄₄ = ¹¹⁄₄ km την ημέρα.

Έστω ότι ο καθαρισμός διαρκέσει x μέρες.

Το πρώτο συνεργείο θα έχει καθαρίσει συνολικά: ^7x⁄₂ km.

Το δεύτερο συνεργείο θα έχει καθαρίσει συνολικά: ^11x⁄₄ km.

Καταλήγουμε λοιπόν στην εξίσωση:

\\frac{7x}{2} + \\frac{11x}{4} = 18\\frac{3}{4}

\\frac{14x}{4} + \\frac{11x}{4} = \\frac{75}{4}

\\frac{25x}{4} = \frac{75}{4}

25x = 75

x=3

Ο καθαρισμός θα διαρκέσει 3 ημέρες.

Άσκηση 12

Ένα κατάστημα προσφέρει τους υπολογιστές με έκπτωση 20%. Ο Γιώργος πήγε με τον πατέρα του και αγόρασε έναν υπολογιστή και ένα κινητό τηλέφωνο αξίας 230 € και πλήρωσαν συνολικά 1.070€. Ποια ήταν η αρχική αξία του υπολογιστή;

Απάντηση

Έστω x η αρχική τιμή του υπολογιστή.

Η τελική τιμή του υπολογιστή (μετά την έκπτωση) θα είναι:

x - x‧20%= x - x ‧ ²⁰⁄₁₀₀= x - 0,2 ‧x = 0,8 ‧ x.

Άρα πρέπει: 0,8 ‧ x = 1.070 - 230

0,8 ‧ x = 840

x = 840 : 0,8

x = 1.050

Ο υπολογιστής είχε αρχική τιμή 1050 €.

Άσκηση 13

Αυτή τη χρονιά η ηλικία ενός ανθρώπου είναι πολλαπλάσιο του 7 και την επόμενη χρονιά είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν γνωρίζουμε ότι δεν είναι αιωνόβιος, ποια είναι η ηλικία του;

Απάντηση

Αν x είναι η ηλικία του ατόμου, τότε επειδή είναι πολλαπλάσια του 7 θα ισχύει:

x = 7‧κ (1) , (όπου κ φυσικός αριθμός)

Πρέπει 7κ < 100 (αφού δεν είναι αιωνόβιος)

Μετά από 1 χρόνο η ηλικία του θα ισούται με x + 1.

Αφού αυτή είναι πολλαπλάσιο του 9 , έχουμε x + 1= 9λ (2) , (όπου λ φυσικός)

Πρέπει 9λ < 100 (αφού δεν είναι αιωνόβιος)

Η (2) λόγω της (1) γίνεται 7κ + 1= 9λ

Άρα ο αριθμός 7κ + 1 είναι πολλαπλάσιο του 9 μικρότερο του 100.

Αυτό συμβαίνει μονάχα για κ = 5 ή κ = 14.

Άρα σήμερα η ηλικία του ανθρώπου είναι x = 7‧ 5 = 35 και σε ένα χρόνο θα είναι 36 , ή θα είναι x = 7‧ 14 = 98 και σε ένα χρόνο θα είναι 99.