Μέτρηση και Είδη Γωνιών 📐

Μέτρηση Γωνιών 📏

Για να μετρήσουμε τις γωνίες, χρησιμοποιούμε ένα όργανο που λέγεται μοιρογνωμόνιο. 🤓 Ο αριθμός που βρίσκουμε όταν μετράμε μια γωνία λέγεται μέτρο της γωνίας.

Η μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε για τις γωνίες είναι η μοίρα, και τη γράφουμε έτσι: $1°$. 🥳

Επίσης, $1°$ (μία μοίρα) μπορεί να χωριστεί σε 60 πρώτα λεπτά ($60΄$), και $1΄$ (ένα πρώτο λεπτό) μπορεί να χωριστεί σε 60 δεύτερα λεπτά ($60΄΄$). 🤯

Αυτό σημαίνει ότι κάθε γωνία έχει ένα μοναδικό μέτρο, το οποίο εξαρτάται μόνο από το πόσο "ανοιχτές" είναι οι πλευρές της. Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο, τότε είναι ίσες.

Τέλος, για να συμβολίσουμε μια γωνία και το μέτρο της, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο ^. ✍️

Σύγκριση Γωνιών 🧐

Παράδειγμα 1: Σύγκριση δύο γωνιών με διαφανές χαρτί 📄

Για να συγκρίνουμε δύο γωνίες, όπως η γωνία $ΑΟΒ$ και η γωνία $ΛΚΝ$, χρησιμοποιούμε ένα διαφανές χαρτί.

1. Σχεδιάζουμε ή αντιγράφουμε τη γωνία $ΑΟΒ$ πάνω στο διαφανές χαρτί.
2. Τοποθετούμε το διαφανές χαρτί με τη γωνία $ΑΟΒ$ πάνω στη γωνία $ΛΚΝ$. Βάζουμε το σημείο Ο (της γωνίας $ΑΟΒ$) πάνω στο σημείο Κ (της γωνίας $ΛΚΝ$), και την πλευρά ΟΑ (της γωνίας $ΑΟΒ$) πάνω στην πλευρά ΚΛ (της γωνίας $ΛΚΝ$).

Τότε, μία από τις τρεις παρακάτω περιπτώσεις θα συμβεί:

1. Η πλευρά KB του διαφανούς χαρτιού θα συμπέσει με την πλευρά ΚΝ. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία $ΑΟΒ$ είναι ίση με τη γωνία $ΛΚΝ$, δηλαδή $A\hat{O}B = \Lambda\hat{K}N$.
2. Η πλευρά KB του διαφανούς χαρτιού θα βρίσκεται "μέσα" στη γωνία $ΛΚΝ$. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία $ΑΟΒ$ είναι μικρότερη από τη γωνία $ΛΚΝ$, δηλαδή $A\hat{O}B < \Lambda\hat{K}N$.
3. Η πλευρά KB του διαφανούς χαρτιού θα βρίσκεται "έξω" από τη γωνία $ΛΚΝ$. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία $ΑΟΒ$ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία $ΛΚΝ$, δηλαδή $A\hat{O}B > \Lambda\hat{K}N$.

Παράδειγμα 2: Σύγκριση γωνιών σε ισοσκελές τρίγωνο 📐

Στο παράδειγμα 2, θέλουμε να δούμε αν οι γωνίες που βρίσκονται δίπλα στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Στο τρίγωνο που βλέπουμε, η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΑΓ ($AB = AΓ$).

Για να συγκρίνουμε τις γωνίες Β και Γ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα διαφανές χαρτί.

Αυτό που ανακαλύπτουμε είναι ότι οι γωνίες που βρίσκονται δίπλα στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι πάντα ίσες.

Διχοτόμος Γωνίας ✂️

Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι μια ημιευθεία που χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες. Ας δούμε πώς μπορούμε να την κατασκευάσουμε!

Παράδειγμα 3: Κατασκευή διχοτόμου γωνίας με δίπλωση χαρτιού

1. Σχεδιάζουμε τη γωνία σε ένα κομμάτι χαρτί.
2. Διπλώνουμε το χαρτί έτσι ώστε η γραμμή που θα δημιουργηθεί από το δίπλωμα (η τσάκιση) να περνάει από την κορυφή της γωνίας.
3. Πρέπει επίσης, όταν διπλώνουμε, η μία πλευρά της γωνίας να "πέσει" ακριβώς πάνω στην άλλη πλευρά.
4. Η γραμμή που δημιουργήθηκε από το δίπλωμα (η τσάκιση) είναι η διχοτόμος της γωνίας. Αυτό συμβαίνει επειδή η γραμμή αυτή χωρίζει τη γωνία σε δύο μικρότερες γωνίες που είναι ακριβώς ίδιες μεταξύ τους, αφού με το δίπλωμα οι δύο πλευρές της γωνίας συνέπεσαν.

Είδη Γωνιών 🌈

Ας δούμε τα διάφορα είδη γωνιών που υπάρχουν!

1. Ορθή γωνία: Είναι η γωνία που έχει μέτρο $90°$. Οι πλευρές της ορθής γωνίας είναι κάθετες ημιευθείες. 📐
2. Οξεία γωνία: Είναι κάθε γωνία που έχει μέτρο μικρότερο από $90°$. ☀️
3. Αμβλεία γωνία: Είναι κάθε γωνία που έχει μέτρο μεγαλύτερο από $90°$ και μικρότερο από $180°$. 🌙
4. Ευθεία γωνία: Είναι η γωνία που έχει μέτρο $180°$. Οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες. ↔️
5. Μη κυρτή γωνία: Είναι κάθε γωνία που έχει μέτρο μεγαλύτερο από $180°$ και μικρότερο από $360°$. ↩️
6. Μηδενική γωνία: Είναι η γωνία που έχει μέτρο $0°$. ⏺️
7. Πλήρης γωνία: Είναι η γωνία που έχει μέτρο $360°$. 🔄

Καθετότητα ⟂

Όταν δύο ευθείες τέμνονται και σχηματίζουν γωνίες που είναι ορθές (δηλαδή 90 μοίρες), τότε λέμε ότι οι ευθείες είναι κάθετες.

Για να δείξουμε ότι δύο ευθείες, για παράδειγμα οι ευθείες ε1 και ε2, είναι κάθετες μεταξύ τους, χρησιμοποιούμε ένα ειδικό σύμβολο. Το σύμβολο αυτό είναι το "⊥". Έτσι, γράφουμε: $ε_1 ⊥ ε_2$. Αυτό το διαβάζουμε ως "η ε1 είναι κάθετη στην ε2".

Επίσης, αν έχουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα ή δύο ημιευθείες που βρίσκονται πάνω σε δύο κάθετες ευθείες, τότε τα ονομάζουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ή κάθετες ημιευθείες.

Παράδειγμα 1: Διαπίστωση καθετότητας με δίπλωση χαρτιού 📃

Έχουμε δύο γραμμές, την $ε_1$ και την $ε_2$, που τέμνονται και θέλουμε να δούμε αν είναι κάθετες.

Για να το κάνουμε αυτό, σχεδιάζουμε τις δύο γραμμές σε ένα χαρτί. Μετά, διπλώνουμε το χαρτί κατά μήκος της γραμμής $ε_2$.

Έχουμε δύο περιπτώσεις:

• Περίπτωση 1: Αν διπλώσουμε το χαρτί και οι δύο πλευρές της γραμμής $ε_1$ (οι ημιευθείες ΑΔ και ΑΕ) δεν ταιριάζουν απόλυτα, τότε οι γραμμές $ε_1$ και $ε_2$ δεν είναι κάθετες.
• Περίπτωση 2: Αν διπλώσουμε το χαρτί και οι δύο πλευρές της γραμμής $ε_1$ (οι ημιευθείες ΑΔ και ΑΕ) ταιριάζουν απόλυτα, τότε οι γραμμές $ε_1$ και $ε_2$ είναι κάθετες. Αυτό το συμβολίζουμε γράφοντας $ε_1 ⊥ ε_2$.