Άνοιξε την κασετίνα και άσε την φαντασία σου ελεύθερη. Κράτα γερά τον χάρακα για να μετράς σωστά τις αποστάσεις και σχεδίασε τρίγωνα. Υπολόγισε γωνίες με μοιρογνωμόνιο και σχεδίασε με τον διαβήτη μικρούς και μεγάλους κύκλους. Ο δρόμος για την κορυφή σε περιμένει. Καλωσήρθες στην Γεωμετρία 🧗🏼

Γεωμετρία Α' Γυμνασίου

# Ιδιότητες του ορθογωνίου και πλάγιου παραλληλογράμμου 📐

Έχουμε λοιπόν τις ιδιότητες του ορθογωνίου και του πλάγιου παραλληλογράμμου. 🤔

*   Σε κάθε παραλληλόγραμμο, το σημείο όπου τέμνονται οι διαγώνιοί του είναι το <Tooltip><TooltipTrigger>κέντρο συμμετρίας</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα σημείο γύρω από το οποίο ένα σχήμα μπορεί να περιστραφεί κατά 180 μοίρες και να φαίνεται το ίδιο.</TooltipContent></Tooltip> του. Αυτό σημαίνει ότι αν περιστρέψεις το παραλληλόγραμμο κατά 180 μοίρες γύρω από αυτό το σημείο, θα φαίνεται ακριβώς το ίδιο.🔄
*   Οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου <Tooltip><TooltipTrigger>διχοτομούνται</TooltipTrigger><TooltipContent>Κάθε διαγώνιος κόβει την άλλη στη μέση, δηλαδή περνάει από το μέσον της άλλης.</TooltipContent></Tooltip>. ✂️
*   Οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι ίσες. 📏
*   Οι απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου είναι επίσης ίσες.


# Ιδιότητες του ορθογωνίου 📐

Ένα ορθογώνιο έχει κάποιες ειδικές ιδιότητες: ✨

1. **Άξονες συμμετρίας:** Οι <Tooltip><TooltipTrigger>μεσοκάθετοι</TooltipTrigger><TooltipContent>Ευθείες κάθετες στις πλευρές και περνούν από το μέσο τους.</TooltipContent></Tooltip> των πλευρών του ορθογωνίου είναι άξονες συμμετρίας. Αυτό σημαίνει ότι αν διπλώσεις το ορθογώνιο κατά μήκος αυτών των γραμμών, τα δύο μέρη θα ταιριάξουν απόλυτα. 💯
2. **Διαγώνιοι:** Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες μεταξύ τους. Επίσης, οι διαγώνιοι <Tooltip><TooltipTrigger>διχοτομούνται</TooltipTrigger><TooltipContent>Τέμνονται στο μέσο τους.</TooltipContent></Tooltip>, δηλαδή τέμνονται στο μέσο τους, χωρίζοντας η μία την άλλη σε δύο ίσα μέρη. ➗


# Ιδιότητες του ρόμβου 🔷

Ο ρόμβος είναι ένα σχήμα που έχει κάποιες ειδικές ιδιότητες, εκτός από αυτές που έχει και ένα <Tooltip><TooltipTrigger>παραλληλόγραμμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα τετράπλευρο σχήμα με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών.</TooltipContent></Tooltip>. Ας δούμε ποιες είναι αυτές οι επιπλέον ιδιότητες:

1.  **Άξονες συμμετρίας:** Αν φανταστούμε ότι κόβουμε τον ρόμβο κατά μήκος των διαγωνίων του, τότε οι δύο πλευρές που θα δημιουργηθούν θα είναι ακριβώς ίδιες. Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες που βρίσκονται πάνω στις διαγωνίους είναι άξονες συμμετρίας.

2.  **Κάθετες διαγώνιοι:** Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα, δηλαδή σχηματίζουν γωνία 90 μοιρών. Επίσης, οι διαγώνιοι <Tooltip><TooltipTrigger>διχοτομούνται</TooltipTrigger><TooltipContent>Κάθε διαγώνιος κόβει την άλλη στη μέση.</TooltipContent></Tooltip>, που σημαίνει ότι η κάθε διαγώνιος κόβει την άλλη στη μέση. 📐

3.  **Διχοτόμοι γωνιών:** Οι διαγώνιοι του ρόμβου δεν είναι μόνο κάθετες, αλλά διχοτομούν και τις γωνίες του. Αυτό σημαίνει ότι κάθε διαγώνιος κόβει τη γωνία στην οποία βρίσκεται σε δύο ίσα μέρη. ✂️


# Ιδιότητες του τετραγώνου 🧮

## Το τετράγωνο έχει κάποιες ειδικές ιδιότητες, εκτός από αυτές που έχει και το <Tooltip><TooltipTrigger>παραλληλόγραμμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα τετράπλευρο σχήμα με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών.</TooltipContent></Tooltip>:

*   Οι γραμμές που σχηματίζουν οι διαγώνιοί του, καθώς και οι <Tooltip><TooltipTrigger>μεσοκάθετοι</TooltipTrigger><TooltipContent>Ευθεία κάθετη σε ένα τμήμα που διέρχεται από το μέσο του.</TooltipContent></Tooltip> των πλευρών του, είναι άξονες συμμετρίας. Αυτό σημαίνει ότι αν διπλώσεις το τετράγωνο κατά μήκος αυτών των γραμμών, τα δύο μέρη θα ταιριάξουν απόλυτα.
*   Οι διαγώνιοί του είναι ίσες μεταξύ τους, κάθετες (δηλαδή σχηματίζουν γωνία 90 μοιρών) και διχοτομούνται (δηλαδή κόβονται στη μέση). 📐
*   Οι διαγώνιοί του είναι επίσης <Tooltip><TooltipTrigger>διχοτόμοι</TooltipTrigger><TooltipContent>Ευθεία γραμμή που διαιρεί μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες.</TooltipContent></Tooltip> των γωνιών του. Αυτό σημαίνει ότι κάθε διαγώνιος κόβει τις γωνίες του τετραγώνου σε δύο ίσα μέρη. ✂️


# Ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου 📐

## Ένα ισοσκελές τραπέζιο έχει κάποιες ειδικές ιδιότητες: ✨

1.  **Άξονας συμμετρίας:** Αν φανταστούμε μια γραμμή να περνάει από το μέσο της πάνω και της κάτω βάσης του τραπεζίου, αυτή η γραμμή είναι ένας <Tooltip><TooltipTrigger>άξονας συμμετρίας</TooltipTrigger><TooltipContent>Γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο μέρη που είναι καθρέφτης το ένα του άλλου.</TooltipContent></Tooltip>. Αυτό σημαίνει ότι αν διπλώσουμε το τραπέζιο κατά μήκος αυτής της γραμμής, τα δύο μέρη θα ταιριάξουν απόλυτα. Επίσης, αυτή η γραμμή είναι κάθετη στις βάσεις, δηλαδή σχηματίζει γωνία \(90^\circ\) με αυτές. 📏
2.  **Ίσες γωνίες:** Οι γωνίες που βρίσκονται δίπλα σε κάθε βάση είναι ίσες μεταξύ τους. Δηλαδή, οι δύο γωνίες στην κάτω βάση είναι ίσες και οι δύο γωνίες στην πάνω βάση είναι επίσης ίσες. 💯


# Κέντρο συμμετρίας ρόμβου, ορθογωνίου και τετραγώνου 📐


Για να βρούμε το <Tooltip><TooltipTrigger>κέντρο συμμετρίας</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα σημείο όπου κάθε ευθεία που διέρχεται από αυτό τέμνει το σχήμα σε δύο συμμετρικά μέρη.</TooltipContent></Tooltip> σε έναν ρόμβο, ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο, κάνουμε τα εξής:

(α) **Ρόμβος:** Επειδή ο ρόμβος είναι και <Tooltip><TooltipTrigger>παραλληλόγραμμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα τετράπλευρο με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών.</TooltipContent></Tooltip>, το σημείο όπου τέμνονται οι διαγώνιοί του (το σημείο Ο) είναι το κέντρο συμμετρίας του. 💎

(β) **Ορθογώνιο:** Επειδή το ορθογώνιο είναι επίσης παραλληλόγραμμο, το σημείο όπου τέμνονται οι διαγώνιοί του (το σημείο Ο) είναι το κέντρο συμμετρίας του. 🏢

(γ) **Τετράγωνο:** Επειδή το τετράγωνο είναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το σημείο όπου τέμνονται οι διαγώνιοί του (το σημείο Ο) είναι το κέντρο συμμετρίας του. 🔲


Βασική Θεωρία

# Ιδιότητες Παραλληλογράμμων: Ορθογώνιο, Πλάγιο, Ρόμβος, Τετράγωνο & Ισοσκελές Τραπέζιο 📐

Ας εξερευνήσουμε μαζί τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων και του ισοσκελούς τραπεζίου! Θα δούμε τι τα κάνει μοναδικά και πώς συνδέονται μεταξύ τους. 🤩

## Ιδιότητες Παραλληλογράμμου 

Ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο σχήμα με δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. 🤓 Ας δούμε τις βασικές του ιδιότητες:

*   **Κέντρο συμμετρίας:** Το σημείο τομής των διαγωνίων είναι το κέντρο συμμετρίας. 🔄 Αν περιστρέψεις το παραλληλόγραμμο κατά \(180\) μοίρες γύρω από αυτό το σημείο, θα είναι ακριβώς το ίδιο.
*   **Διαγώνιοι:** Οι διαγώνιοι διχοτομούνται, δηλαδή τέμνονται στο μέσο τους. ✂️
*   **Απέναντι πλευρές:** Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. 📏
*   **Απέναντι γωνίες:** Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. 📐

<Fact title="Γεγονός!">
  Όλα τα παραλληλόγραμμα έχουν αυτές τις ιδιότητες, ανεξάρτητα από το αν είναι ορθογώνια, ρόμβοι ή τετράγωνα!
</Fact>

## Ιδιότητες Ορθογωνίου 

Ένα ορθογώνιο είναι ένα παραλληλόγραμμο με τέσσερις ορθές γωνίες (\(90^\circ\)). 🧮 Πάμε να δούμε τις επιπλέον ιδιότητές του:

1.  **Άξονες συμμετρίας:** Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του είναι άξονες συμμετρίας.
2.  **Διαγώνιοι:** Οι διαγώνιοι είναι ίσες μεταξύ τους και διχοτομούνται. 🤝

## Ιδιότητες Ρόμβου 

Ο ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο με τέσσερις ίσες πλευρές.💎 Ας δούμε τις επιπλέον ιδιότητές του:

1.  **Άξονες συμμετρίας:** Οι διαγώνιοι του είναι άξονες συμμετρίας.
2.  **Κάθετες διαγώνιοι:** Οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται. ➗
3.  **Διχοτόμοι γωνιών:** Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες του. 📐

## Ιδιότητες Τετραγώνου 

Το τετράγωνο είναι ένα παραλληλόγραμμο που συνδυάζει τις ιδιότητες του ορθογωνίου και του ρόμβου: έχει τέσσερις ίσες πλευρές και τέσσερις ορθές γωνίες. 🤩

*   **Άξονες συμμετρίας:** Οι διαγώνιοι και οι μεσοκάθετοι των πλευρών είναι άξονες συμμετρίας.
*   **Διαγώνιοι:** Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες και διχοτομούνται. 🤝
*   **Διχοτόμοι γωνιών:** Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες του. 📐

<Alert title="Προσοχή!">
  Το τετράγωνο είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος!
</Alert>

## Ιδιότητες Ισοσκελούς Τραπεζίου 

Το ισοσκελές τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο με μία μόνο παράλληλη πλευρά (βάσεις) και τις άλλες δύο πλευρές (σκέλη) ίσες. 👍

1.  **Άξονας συμμετρίας:** Η γραμμή που περνά από το μέσο των βάσεων είναι άξονας συμμετρίας και είναι κάθετη στις βάσεις. 🪞
2.  **Ίσες γωνίες:** Οι γωνίες που προσκείμενες σε κάθε βάση είναι ίσες. 📐

## Κέντρο Συμμετρίας σε Ρόμβο, Ορθογώνιο και Τετράγωνο 📍

Όπως αναφέραμε, το κέντρο συμμετρίας σε έναν ρόμβο, ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο είναι το σημείο όπου τέμνονται οι διαγώνιοί τους (το σημείο Ο).

(α) **Ρόμβος:** Το σημείο \(Ο\) είναι το κέντρο συμμετρίας.
(β) **Ορθογώνιο:** Το σημείο \(Ο\) είναι το κέντρο συμμετρίας.
(γ) **Τετράγωνο:** Το σημείο \(Ο\) είναι το κέντρο συμμετρίας.

Ελπίζουμε αυτό το άρθρο να σε βοήθησε να κατανοήσεις καλύτερα τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων και του ισοσκελούς τραπεζίου! 🎉


Γεωμετρία Α' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία

Αναβάθμισε τη συνδρομή σου για να πάρεις πρόσβαση σε όλο το περιεχόμενο!