Εισαγωγή στην Αντίστροφη Αναλογία και την Υπερβολή 🔄

Ας ξεκινήσουμε με μια βασική έννοια από τη Φυσική. Η ταχύτητα $υ$ ενός σώματος που κινείται δίνεται από τη σχέση:

Ταχύτητα = $\frac{Διάστημα}{Χρόνος}$ ή $υ = \frac{s}{t}$. 🚗💨

Δραστηριότητα 1: Ποδηλατώντας Ανάμεσα σε Δύο Πόλεις 🚴‍♀️

Έστω ότι η απόσταση $s$ μεταξύ δύο πόλεων είναι 60 χιλιόμετρα. Αν με $t$ συμβολίσουμε τον χρόνο (σε ώρες) που χρειάζεται ένας ποδηλάτης για να διανύσει αυτή την απόσταση, τότε:

α) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

Τι είναι το γινόμενο $υ \cdot t$;

β) Γιατί η ταχύτητα $υ$ και ο χρόνος $t$ είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά;

γ) Σχεδιάστε ένα γράφημα που δείχνει τη σχέση μεταξύ της ταχύτητας $υ$ και του χρόνου $t$.

Λύση:

α) Συμπληρώνοντας τον πίνακα, βρίσκουμε την ταχύτητα $υ$ για κάθε χρόνο $t$:

Το γινόμενο $υ \cdot t$ είναι πάντα 60, που είναι η απόσταση $s$. Δηλαδή, $υ \cdot t = 60$.

β) Η ταχύτητα $υ$ και ο χρόνος $t$ είναι αντιστρόφως ανάλογα, επειδή όταν ο χρόνος αυξάνεται, η ταχύτητα μειώνεται και αντίστροφα. Αν διπλασιάσεις τον χρόνο, η ταχύτητα θα μειωθεί στο μισό. Το γινόμενό τους παραμένει σταθερό.

γ) Για να κάνεις το γράφημα, χρησιμοποιείς τις τιμές του χρόνου $t$ και της ταχύτητας $υ$ από τον πίνακα. Θα δεις ότι καθώς ο χρόνος αυξάνεται, η ταχύτητα μειώνεται, και η γραμμή που σχηματίζεται είναι μια καμπύλη.

Ορισμός Αντιστρόφως Ανάλογων Ποσών ⚖️

Όταν έχουμε δύο ποσά, τα $x$ και $y$, και αυτά είναι αντιστρόφως ανάλογα, αυτό σημαίνει ότι αν πολλαπλασιάσουμε τις αντίστοιχες τιμές τους, το αποτέλεσμα είναι πάντα το ίδιο, είναι σταθερό.

Αν το σταθερό αποτέλεσμα που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των $x$ και $y$ είναι ένας αριθμός που τον ονομάζουμε $α$ και είναι διαφορετικός από το μηδέν ($α \neq 0$), τότε μπορούμε να γράψουμε το $y$ χρησιμοποιώντας ένα μαθηματικό τύπο που εξαρτάται από το $x$. Αυτός ο τύπος είναι:

$y = \frac{α}{x}$

Δραστηριότητα 2: Εξερευνώντας τη Συνάρτηση $y = \frac{3}{x}$ 🔎

Έχουμε τη συνάρτηση $y = \frac{3}{x}$, όπου το $x$ δεν μπορεί να είναι 0.

Μέρος α):

Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Λύση α):

Συμπληρώνοντας τον πίνακα, βρίσκουμε τις τιμές του $y$ για κάθε $x$:

Σχεδιάζοντας τα σημεία αυτά σε ένα σύστημα συντεταγμένων, θα δεις ότι σχηματίζουν δύο γραμμές. Η μία γραμμή βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και η άλλη στο τρίτο τεταρτημόριο.

Μέρος β):

Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = -\frac{3}{x}$, όπου πάλι το $x$ δεν μπορεί να είναι 0.

Λύση β):

Σχηματίζουμε έναν πίνακα τιμών όπως πριν:

Αυτά τα σημεία σχηματίζουν δύο γραμμές, μία στο δεύτερο τεταρτημόριο και μία στο τέταρτο τεταρτημόριο.

Γενικά:

Οι γραφικές παραστάσεις που σχεδιάσαμε ονομάζονται υπερβολές. Μια υπερβολή αποτελείται από δύο γραμμές, που ονομάζονται κλάδοι της υπερβολής.

Η γενική μορφή της συνάρτησης είναι $y = \frac{α}{x}$, όπου το $α$ δεν είναι 0.

• Αν το $α$ είναι μεγαλύτερο από 0, οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
• Αν το $α$ είναι μικρότερο από 0, οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.

Και στις δύο περιπτώσεις, η υπερβολή έχει:

• Κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων (το σημείο 0,0).
• Άξονες συμμετρίας τις ευθείες $y = x$ και $y = -x$.

Γραφική Παράσταση Υπερβολής 📈

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = \frac{α}{x}$, όπου το $α$ δεν είναι 0, ονομάζεται υπερβολή. Μια υπερβολή αποτελείται από δύο κομμάτια που λέγονται κλάδοι.

Αυτοί οι κλάδοι βρίσκονται:

• Στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο του γραφήματος, όταν το $α$ είναι μεγαλύτερο από το 0 (δηλαδή $α > 0$).
• Στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο του γραφήματος, όταν το $α$ είναι μικρότερο από το 0 (δηλαδή $α < 0$).

Και στις δύο περιπτώσεις, η γραφική παράσταση της υπερβολής έχει:

• Κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων (το σημείο 0,0).
• Άξονες συμμετρίας τις ευθείες $y = x$ και $y = -x$. Αυτές οι ευθείες είναι οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι άξονες.