Καρτεσιανές Συντεταγμένες: Ένας Χάρτης για τα Μαθηματικά 🗺️📍

Στα μαθηματικά, όπως και στη ζωή, χρειαζόμαστε τρόπους να περιγράψουμε πού βρίσκονται τα πράγματα. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι ένας φανταστικός τρόπος να το κάνουμε αυτό! Ας ξεκινήσουμε με μια απλή δραστηριότητα.

Δραστηριότητα 1: Χάρτης Πόλης και Συντεταγμένες 🏙️

Φανταστείτε έναν χάρτη μιας πόλης. Έχουμε δύο μεγάλους δρόμους, τη Λεωφόρο Ευτυχίας και τη Λεωφόρο Ευημερίας. Στο κέντρο της πόλης, όπου συναντιούνται αυτοί οι δύο δρόμοι, βρίσκεται η πλατεία Ομόνοια.

Για να φτάσουμε στο Δημαρχείο από την Ομόνοια, πηγαίνουμε τρία τετράγωνα δεξιά στη Λεωφόρο Ευτυχίας και ένα τετράγωνο πάνω, παράλληλα στη Λεωφόρο Ευημερίας. Μπορούμε να πούμε ότι το Δημαρχείο είναι στο σημείο (3, 1).

Αν θέλουμε να πάμε στην Εκκλησία, πηγαίνουμε τρία τετράγωνα αριστερά στη Λεωφόρο Ευτυχίας και ένα τετράγωνο πάνω, παράλληλα στη Λεωφόρο Ευημερίας. Η Εκκλησία είναι στο σημείο (-3, 1).

Μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες και άλλων σημείων:

• Μνημείο Ηρώων: (1, 3) 🏆
• Εμπορικό Κέντρο: (-1, 2) 🛍️
• Μουσείο: (-2, -3) 🏛️
• Σχολείο: (0, -2) 🏫
• Ερείπια Αρχαίου Ναού: (2, -4) 🏺
• Μεσαiωνικό Κάστρο: (3, -1) 🏰

Αυτή η δραστηριότητα μας δείχνει ότι μπορούμε να βρούμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου στην πόλη χρησιμοποιώντας δύο βασικούς δρόμους, τις Λεωφόρους Ευτυχίας και Ευημερίας.

Προσδιορισμός Σημείου M με Συντεταγμένες 🎯

Για να βρούμε τη θέση ενός σημείου $M$ σε ένα επίπεδο:

1. Σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες, τον $x'x$ και τον $y'y$. Το σημείο όπου τέμνονται ονομάζεται αρχή, $O$.
2. Από το σημείο $M$, φέρνουμε μια γραμμή παράλληλη προς τον άξονα $y'y$. Αυτή τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $A$.
3. Από το σημείο $M$, φέρνουμε μια γραμμή παράλληλη προς τον άξονα $x'x$. Αυτή τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $B$.

Έτσι, το σημείο $M$ αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι αριθμών, π.χ. $(3, 2)$. Γράφουμε $M(3, 2)$. Το 3 είναι η τετμημένη και το 2 είναι η τεταγμένη του $M$.

Τετμημένη και Τεταγμένη Σημείου 🔢

• Τετμημένη: Ο πρώτος αριθμός στις συντεταγμένες ενός σημείου (η $x$ συντεταγμένη).
• Τεταγμένη: Ο δεύτερος αριθμός στις συντεταγμένες ενός σημείου (η $y$ συντεταγμένη).

Για παράδειγμα, στο σημείο $M(3, 2)$, η τετμημένη είναι $3$ και η τεταγμένη είναι $2$.

Σύστημα Ορθογωνίων Αξόνων ➕

Όταν οι άξονες $x'x$ και $y'y$ είναι κάθετοι μεταξύ τους, έχουμε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων.

Τα Τέσσερα Τεταρτημόρια 🧭

Οι δύο άξονες, καθώς τέμνονται, χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα μέρη. Κάθε ένα από αυτά λέγεται τεταρτημόριο. Τα αριθμούμε από το 1ο ως το 4ο, ξεκινώντας πάνω δεξιά και προχωρώντας αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται ένα σημείο το καταλαβαίνουμε από τα πρόσημα των συντεταγμένων του:

Σημεία πάνω στους άξονες 📍

Υπάρχουν σημεία που δεν ανήκουν σε κανένα τεταρτημόριο: αυτά που βρίσκονται πάνω στους ίδιους τους άξονες.

• Αν η τετμημένη είναι 0, το σημείο βρίσκεται πάνω στον άξονα $y'y$. Για παράδειγμα το $(0, 5)$ και το $(0, -3)$.
• Αν η τεταγμένη είναι 0, το σημείο βρίσκεται πάνω στον άξονα $x'x$. Για παράδειγμα το $(7, 0)$.
• Αν είναι και τα δύο 0, το σημείο είναι η αρχή των αξόνων $O(0, 0)$.

Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 📈

Έχουμε μια συνάρτηση $y = \frac{1}{2} x^2$.

α) Συμπληρώνουμε έναν πίνακα τιμών βάζοντας διάφορες τιμές για το $x$ και βρίσκοντας τις αντίστοιχες τιμές του $y$.

β) Σχεδιάζουμε τα ζευγάρια $(x, y)$ σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

γ) Ενώνουμε τα σημεία με μια γραμμή.

δ) Επαναλαμβάνουμε τα βήματα με έναν άλλο πίνακα τιμών.

ε) Αν χρησιμοποιήσουμε ακόμα περισσότερα ζευγάρια $x$ και $y$, η γραμμή γίνεται πιο ομαλή.

Για παράδειγμα, όταν $x = -4$, τότε $y = \frac{1}{2} (-4)^2 = 8$.