Κατανόηση των Συναρτήσεων 🔗

Δραστηριότητα 1: Αύξηση Μισθών 💰

Στην καθημερινή ζωή, συχνά ακούμε για αυξήσεις μισθών. Ας υποθέσουμε ότι οι μισθοί αυξάνονται κατά 3%. Τι σημαίνει αυτό; 🤔

Αυτό σημαίνει ότι κάθε εργαζόμενος θα λάβει επιπλέον το 3% του μισθού του. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

• Ένας εργαζόμενος με μισθό 800 ευρώ θα πάρει αύξηση $\frac{3}{100} \cdot 800 = 24$ ευρώ. 🎉
• Ένας άλλος εργαζόμενος με μισθό 1100 ευρώ θα πάρει αύξηση $\frac{3}{100} \cdot 1100 = 33$ ευρώ. 🥳

Γενικά, αν ο μισθός ενός εργαζομένου είναι $x$ ευρώ, η αύξηση $y$ μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο: $y = 0,03 \cdot x$.

Αν γνωρίζουμε τον μισθό $x$, μπορούμε εύκολα να βρούμε την αύξηση $y$. Για παράδειγμα, αν $x = 700$, τότε $y = 0,03 \cdot 700 = 21$ ευρώ.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα σε έναν πίνακα τιμών:

• Αν $x = 700$, τότε $y = 0,03 \cdot 700 = 21$
• Αν $x = 800$, τότε $y = 0,03 \cdot 800 = 24$
• Αν $x = 900$, τότε $y = 0,03 \cdot 900 = 27$
• Αν $x = 1000$, τότε $y = 0,03 \cdot 1000 = 30$
• Αν $x = 1100$, τότε $y = 0,03 \cdot 1100 = 33$

Αυτή η σχέση μεταξύ του μισθού και της αύξησης είναι ένα παράδειγμα συνάρτησης. 💡

Η Έννοια της Συνάρτησης Μέσα από τους Μισθούς 🤝

Μια συνάρτηση είναι ένας τρόπος να συνδέσουμε δύο πράγματα, έτσι ώστε το ένα να εξαρτάται από το άλλο. Στο παράδειγμα με τους μισθούς, έχουμε:

• $x$: ο παλιός μισθός
• $y$: η αύξηση

Η αύξηση $y$ εξαρτάται από τον παλιό μισθό $x$. Η μαθηματική σχέση είναι: $y = 0,03 \cdot x$.

Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή του $x$, υπάρχει μόνο μία τιμή του $y$.

• Αν $x = 700$, τότε $y = 0,03 \cdot 700 = 21$€.
• Αν $x = 800$, τότε $y = 0,03 \cdot 800 = 24$€.

Ας δούμε έναν πίνακα τιμών για να κατανοήσουμε καλύτερα:

Ορισμός Συνάρτησης ✍️

Όταν η τιμή μιας μεταβλητής $y$ εξαρτάται από την τιμή μιας άλλης μεταβλητής $x$, λέμε ότι η $y$ είναι συνάρτηση της $x$. Για κάθε τιμή που δίνουμε στην $x$, η $y$ παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή.

Στο παράδειγμά μας, η αύξηση $y$ εξαρτάται από τον μισθό $x$. Η σχέση είναι $y = 0,03 \cdot x$.

Έτσι, ορίζουμε τη συνάρτηση $y = 0,03 \cdot x$, όπου η αύξηση $y$ είναι συνάρτηση του μισθού $x$.

Πίνακας Τιμών Συνάρτησης 📊

Ένας πίνακας τιμών δείχνει πώς συνδέονται οι τιμές των μεταβλητών $x$ και $y$. Είναι πολύ χρήσιμος όταν έχουμε μια συνάρτηση.

Για τη συνάρτηση $y = 0,03x$, διαλέγουμε διάφορες τιμές για το $x$ και υπολογίζουμε την αντίστοιχη τιμή του $y$.

• Αν $x = 700$, τότε $y = 0,03 \cdot 700 = 21$.
• Αν $x = 800$, τότε $y = 0,03 \cdot 800 = 24$.
• Αν $x = 900$, τότε $y = 0,03 \cdot 900 = 27$.
• Αν $x = 1000$, τότε $y = 0,03 \cdot 1000 = 30$.
• Αν $x = 1100$, τότε $y = 0,03 \cdot 1100 = 33$.

Αυτά τα ζεύγη τιμών $x$ και $y$ παρουσιάζονται σε έναν πίνακα τιμών.

Εφαρμογή 1: Συμπλήρωση Πίνακα Τιμών 📝

Ας δούμε πώς να συμπληρώσουμε έναν πίνακα τιμών για τη συνάρτηση $y = 2x + 3$.

Έχουμε τις τιμές του $x$: -2, -1, 0, 1 και 2. Πρέπει να βρούμε την τιμή του $y$ για κάθε $x$.

• Όταν $x = -2$, τότε $y = 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$.
• Όταν $x = -1$, τότε $y = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.
• Όταν $x = 0$, τότε $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.
• Όταν $x = 1$, τότε $y = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$.
• Όταν $x = 2$, τότε $y = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.

Έτσι, συμπληρώνουμε τον πίνακα με τις αντίστοιχες τιμές του $y$.

Εφαρμογή 2: Παραγωγή Ελαιολάδου 🥫

Ένας παραγωγός ελαιολάδου παίρνει $0,2$ κιλά λάδι από κάθε κιλό ελιάς.

• α) Αν έχει $500$ κιλά ελιές, θα πάρει $0,2 \cdot 500 = 100$ κιλά λάδι.
• β) Η σχέση μεταξύ της ποσότητας λαδιού $y$ και της ποσότητας ελιών $x$ είναι $y = 0,2x$.
• γ) Αν θέλει να πάρει $250$ κιλά λάδι, πρέπει να έχει $x = \frac{250}{0,2} = 1250$ κιλά ελιές.