Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων - Εισαγωγή 🚀

Στην καθημερινή ζωή, συχνά αντιμετωπίζουμε προβλήματα με αριθμούς που είναι δύσκολο να λυθούν. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα μάθουμε πώς να χρησιμοποιούμε μεταβλητές και εξισώσεις για να κάνουμε την επίλυση αυτών των προβλημάτων πιο εύκολη. 🧮

Έχουμε ήδη μάθει σε προηγούμενες τάξεις να λύνουμε μερικά από αυτά τα προβλήματα χρησιμοποιώντας την πρακτική αριθμητική.

Δραστηριότητα:

Ας δούμε ένα παράδειγμα από το μπάσκετ. 🏀 Στις 14 Ιουνίου 1987, η εθνική μας ομάδα μπάσκετ κέρδισε το Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα. Ο Νίκος Γκάλης, ο καλύτερος παίκτης, έβαλε 40 πόντους. Από αυτούς τους πόντους, οι 22 ήταν από εύστοχες βολές. Οι 8 βολές ήταν του 1 πόντου και οι υπόλοιπες 14 ήταν βολές των 2 ή 3 πόντων. Πόσα τρίποντα έβαλε ο Γκάλης εκείνο το βράδυ;

Λύση:

Γνωρίζουμε τα εξής:

• Ο Γκάλης πέτυχε συνολικά 40 πόντους.
• Είχε 22 εύστοχες βολές, από τις οποίες οι 8 ήταν του 1 πόντου.
• Δεν γνωρίζουμε πόσες βολές ήταν των 2 πόντων και πόσες των 3 πόντων.

Το πρόβλημα μας ζητά να βρούμε πόσα τρίποντα έβαλε ο Γκάλης.

Ας υποθέσουμε ότι έβαλε $x$ τρίποντα και $14 - x$ δίποντα. Επειδή πέτυχε συνολικά 40 πόντους, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση:

$8 \cdot 1 + (14 - x) \cdot 2 + x \cdot 3 = 40$

Λύνοντας την εξίσωση:

$8 + 28 - 2x + 3x = 40$

$-2x + 3x = 40 - 8 - 28$

$x = 4$

Άρα, ο Γκάλης έβαλε 4 τρίποντα και 10 δίποντα ($14 - 4 = 10$).

Μπορούμε να επαληθεύσουμε την απάντηση:

$8 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 40$

Από αυτό το παράδειγμα, βλέπουμε ότι η επίλυση προβλημάτων με εξισώσεις περιλαμβάνει κάποια βασικά βήματα. 👍

Επαλήθευση και συμπεράσματα 🏀

Στην "Επαλήθευση", βλέπουμε ότι οι αριθμοί που βρήκαμε για τα τρίποντα και τα δίποντα επαληθεύουν το πρόβλημα. Δηλαδή, αν πολλαπλασιάσουμε τις 8 βολές του 1 πόντου $8 \cdot 1$, τις 10 βολές των 2 πόντων $10 \cdot 2$ και τις 4 βολές των 3 πόντων $4 \cdot 3$ και τα προσθέσουμε, το αποτέλεσμα είναι 40, που είναι οι συνολικοί πόντοι που πέτυχε ο Γκάλης:
$8 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 40$.

Από αυτή τη δραστηριότητα, καταλαβαίνουμε ότι για να λύσουμε προβλήματα με εξισώσεις, ακολουθούμε κάποια γενικά βήματα. 🤔

Γενικά βήματα για την επίλυση προβλημάτων 💡

Για να λύσουμε προβλήματα με εξισώσεις, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα: Πρέπει να καταλάβουμε τι μας δίνει το πρόβλημα (δεδομένα) και τι θέλουμε να βρούμε (ζητούμενα). 🤔
2. Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα για τον άγνωστο αριθμό: Συνήθως χρησιμοποιούμε το γράμμα $x$ για να συμβολίσουμε τον αριθμό που δεν γνωρίζουμε και θέλουμε να βρούμε. ✍️
3. Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη με το $x$: Προσπαθούμε να γράψουμε όλους τους άλλους αριθμούς ή ποσότητες που αναφέρει το πρόβλημα χρησιμοποιώντας το $x$. ➕
4. Γράφουμε την εξίσωση: Χρησιμοποιούμε τα δεδομένα του προβλήματος για να γράψουμε μια εξίσωση που να συνδέει όλα τα μεγέθη μεταξύ τους. 📝
5. Λύνουμε την εξίσωση: Βρίσκουμε την τιμή του $x$ που κάνει την εξίσωση αληθινή. ➗
6. Ελέγχουμε την απάντηση: Βεβαιωνόμαστε ότι η λύση που βρήκαμε ταιριάζει με τις συνθήκες που δίνει το πρόβλημα. ✅

Εφαρμογή 1: Να βρείτε αριθμό 🧐

Να βρείτε τον αριθμό που το διπλάσιό του, αν το ελαττώσσουμε κατά 8, δίνει τον αριθμό αυξημένο κατά 9.

Λύση:

Για να το λύσουμε, κάνουμε τα εξής:

1. Ονομάζουμε τον άγνωστο αριθμό: Αντί να ψάχνουμε τυχαία, χρησιμοποιούμε το γράμμα $x$ για να τον συμβολίσουμε.
2. Μεταφράζουμε το πρόβλημα σε μαθηματικά:
   • "Το διπλάσιό του" γίνεται $2x$.
   • "Αν το ελαττώσουμε κατά 8" γίνεται $2x - 8$.
   • "Αριθμός αυξημένος κατά 9" γίνεται $x + 9$.
3. Φτιάχνουμε την εξίσωση: Το πρόβλημα λέει ότι $2x - 8$ είναι το ίδιο με $x + 9$. Άρα, η εξίσωση είναι $2x - 8 = x + 9$.
4. Λύνουμε την εξίσωση:
   • Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση και έτσι: $2x - x = 9 + 8$.
   • Αυτό απλοποιείται σε $x = 17$.

Άρα, ο αριθμός που ψάχνουμε είναι το 17. 🎉

Εφαρμογή 2: Γέμισμα δεξαμενής 🚰

Η "Εφαρμογή 2: Γέμισμα δεξαμενής" είναι ένα πρόβλημα μαθηματικών. Έχουμε δύο βρύσες που γεμίζουν μια δεξαμενή.

• Η πρώτη βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 10 λεπτά.
• Η δεύτερη βρύση γεμίζει την ίδια δεξαμενή σε 15 λεπτά.

Θέλουμε να βρούμε πόσο χρόνο χρειάζεται για να γεμίσει η δεξαμενή αν ανοίξουμε και τις δύο βρύσες μαζί. 🤔

Για να λύσουμε το πρόβλημα, κάνουμε τα εξής:

• Έστω ότι και οι δύο βρύσες μαζί γεμίζουν τη δεξαμενή σε $x$ λεπτά.

• Σε ένα λεπτό, η πρώτη βρύση γεμίζει το $\frac{1}{10}$ της δεξαμενής. Άρα, σε $x$ λεπτά γεμίζει τα $\frac{x}{10}$ της δεξαμενής.

• Ομοίως, η δεύτερη βρύση σε $x$ λεπτά γεμίζει τα $\frac{x}{15}$ της δεξαμενής.

• Επειδή και οι δύο μαζί γεμίζουν ολόκληρη τη δεξαμενή, έχουμε την εξίσωση:

  $\frac{x}{10} + \frac{x}{15} = 1$

• Για να λύσουμε την εξίσωση, πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με το 30:

  $30 \cdot \frac{x}{10} + 30 \cdot \frac{x}{15} = 30 \cdot 1$

• Αυτό μας δίνει:

  $3x + 2x = 30$

• Συνεπώς:

  $5x = 30$

• Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 5:

  $x = 6$

Άρα, και οι δύο βρύσες μαζί γεμίζουν τη δεξαμενή σε 6 λεπτά! 🎉

Εφαρμογή 3: Η ανιψιά μου η Μαρίζα 👧

Η Μαρίζα έχει γράψει 16 και 18 σε δύο διαγωνίσματα. Θέλουμε να βρούμε:

α) Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο τρίτο διαγώνισμα για να έχει μέσο όρο 18 και στα τρία διαγωνίσματα;

β) Μπορεί να βγάλει μέσο όρο 19;

Λύση:

Για να λύσουμε το πρόβλημα, πρώτα ονομάζουμε τον βαθμό που θα πάρει η Μαρίζα στο τρίτο διαγώνισμα "x". Ο μέσος όρος των τριών διαγωνισμάτων βρίσκεται αν προσθέσουμε τους βαθμούς και διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 3, δηλαδή $\frac{16 + 18 + x}{3}$.

α) Για να βγάλει μέσο όρο 18, πρέπει:
$\frac{16 + 18 + x}{3} = 18$

Για να λύσουμε την εξίσωση, κάνουμε τις εξής πράξεις:
$3 \cdot \frac{16 + 18 + x}{3} = 3 \cdot 18$

$34 + x = 54$

$x = 54 - 34$

$x = 20$

Άρα, για να βγάλει μέσο όρο 18, πρέπει να γράψει 20 στο τρίτο διαγώνισμα.

β) Για να βγάλει μέσο όρο 19, πρέπει:
$\frac{16 + 18 + x}{3} = 19$
$34 + x = 57$
$x = 23$

Όμως, δεν είναι δυνατόν να γράψει βαθμό 23, γιατί η μέγιστη βαθμολογία είναι 20. Έτσι, παρόλο που λύσαμε την εξίσωση, η λύση δεν είναι αποδεκτή. Δηλαδή, είναι αδύνατον η Μαρίζα να βγάλει μέσο όρο 19. 😥

Εφαρμογή 4: Μοίρασμα χρηματικού ποσού 💰

Στην "Εφαρμογή 4", τρία αδέλφια μοιράστηκαν κάποια χρήματα. Θέλουμε να βρούμε πόσα χρήματα υπήρχαν αρχικά και πόσα πήρε ο καθένας. 💰

Ας πούμε ότι το αρχικό ποσό είναι $x$.

• Ο μικρότερος αδελφός πήρε το $\frac{1}{5}$ του αρχικού ποσού $x$ και επιπλέον 12 ευρώ. Αυτό γράφεται μαθηματικά ως $\frac{1}{5}x + 12$. 👦
• Ο μεσαίος αδελφός πήρε το $\frac{1}{4}$ του αρχικού ποσού $x$ και επιπλέον 8 ευρώ. Αυτό γράφεται μαθηματικά ως $\frac{1}{4}x + 8$. 🧑
• Ο μεγαλύτερος αδελφός πήρε το $\frac{1}{3}$ του αρχικού ποσού $x$ και επιπλέον 6 ευρώ. Αυτό γράφεται μαθηματικά ως $\frac{1}{3}x + 6$. 👨

Συνεπώς, το άθροισμα των χρημάτων που πήρε κάθε αδελφός πρέπει να ισούται με το αρχικό ποσό $x$. Μπορούμε να το εκφράσουμε αυτό ως εξίσωση:

$\frac{1}{5}x + 12 + \frac{1}{4}x + 8 + \frac{1}{3}x + 6 = x$

Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση και να βρούμε την τιμή του $x$, θα πρέπει πρώτα να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή για τα κλάσματα. Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής των 5, 4 και 3 είναι το 60. Έτσι, μετατρέπουμε κάθε κλάσμα ώστε να έχει παρονομαστή το 60:

• $\frac{1}{5}x = \frac{12}{60}x$
• $\frac{1}{4}x = \frac{15}{60}x$
• $\frac{1}{3}x = \frac{20}{60}x$

Τώρα, η εξίσωση γίνεται:

$\frac{12}{60}x + 12 + \frac{15}{60}x + 8 + \frac{20}{60}x + 6 = x$

Συνδυάζουμε τους όρους με το $x$ και τις σταθερές:

$\frac{12}{60}x + \frac{15}{60}x + \frac{20}{60}x + 12 + 8 + 6 = x$

$\frac{47}{60}x + 26 = x$

Τώρα, αφαιρούμε το $\frac{47}{60}x$ από τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

$26 = x - \frac{47}{60}x$

$26 = \frac{60}{60}x - \frac{47}{60}x$

$26 = \frac{13}{60}x$

Τέλος, για να βρούμε το $x$, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το $\frac{60}{13}$:

$x = 26 \cdot \frac{60}{13}$

$x = 2 \cdot 60$

$x = 120$

Άρα, το αρχικό ποσό ήταν 120 ευρώ. 🥳

Τώρα, ας βρούμε πόσα χρήματα πήρε ο καθένας:

• Μικρότερος αδελφός: $\frac{1}{5} \cdot 120 + 12 = 24 + 12 = 36$ ευρώ.
• Μεσαίος αδελφός: $\frac{1}{4} \cdot 120 + 8 = 30 + 8 = 38$ ευρώ.
• Μεγαλύτερος αδελφός: $\frac{1}{3} \cdot 120 + 6 = 40 + 6 = 46$ ευρώ.

Έτσι, ο μικρότερος αδελφός πήρε 36 ευρώ, ο μεσαίος αδελφός πήρε 38 ευρώ και ο μεγαλύτερος αδελφός πήρε 46 ευρώ. 😃