Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Οι Άρρητοι Αριθμοί
Οι , μια ομάδα ανθρώπων που αγαπούσαν τα μαθηματικά, πίστευαν ότι μπορούσαν να εκφράσουν τα πάντα με απλούς αριθμούς. Όμως, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος ανακάλυψε κάτι που τους τάραξε: τους άρρητους αριθμούς.
Ας δούμε πώς προέκυψε αυτό. Φανταστείτε ένα τετράγωνο με πλευρά 1 εκατοστό. Αν θέλουμε να βρούμε πόσο είναι η διαγώνιός του (την ονομάζουμε x), χρησιμοποιούμε το . Έτσι, βρίσκουμε ότι , που σημαίνει ότι .
Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι ο αριθμός δεν μπορεί να γραφτεί ως ένα κλάσμα , όπου μ και ν είναι (δηλαδή ολόκληροι αριθμοί) και το ν δεν είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι ρητός αριθμός, και έτσι τον ονόμασαν άρρητο.
Ορισμός Άρρητου Αριθμού 🤯
Γενικά, είναι κάθε αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος , όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί και το ν δεν είναι 0.
Αυτό σημαίνει ότι ένας άρρητος αριθμός δεν μπορεί να γραφτεί ούτε σαν δεκαδικός αριθμός που τελειώνει, ούτε σαν δεκαδικός αριθμός που επαναλαμβάνεται.
Για να καταλάβουμε καλύτερα τον , μπορούμε να δούμε ότι:
Έτσι, συμπεραίνουμε ότι:
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Άλλοι Άρρητοι Αριθμοί
Οι αριθμοί , , , , , , , ... είναι άρρητοι αριθμοί. Εκτός από αυτούς, υπάρχουν και άλλοι άρρητοι αριθμοί που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών. Ένα παράδειγμα είναι ο αριθμός , που χρησιμοποιείται για να μετρήσουμε τον κύκλο. 🧮
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Προσεγγιστικός υπολογισμός ριζών 🧮
Μπορούμε να βρούμε μια κοντινή τιμή για τις τετραγωνικές ρίζες χρησιμοποιώντας ένα μικρό κομπιουτεράκι. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε μια κοντινή τιμή για την , πατάμε τα κουμπιά 2 και στο κομπιουτεράκι. Τότε, στην οθόνη θα δούμε τον αριθμό 1,414213. Αυτός ο αριθμός είναι μια της με έξι δεκαδικά ψηφία. Στο παρελθόν, για να υπολογίσουμε τις ρίζες, χρησιμοποιούσαμε ειδικούς πίνακες. 😮
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Φυσικοί και Ακέραιοι Αριθμοί στην Ευθεία 🔢
Ας δούμε τους αριθμούς που έχουμε μάθει μέχρι τώρα και πώς τους δείχνουμε σε μια γραμμή. 📏
Φυσικοί Αριθμοί: Αυτοί είναι οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, και συνεχίζουν έτσι. Μπορούμε να τους δείξουμε σε μια ευθεία γραμμή με κουκκίδες. Στο σημείο που ξεκινάμε, το σημείο Ο, βάζουμε το μηδέν (0). 📍
Ακέραιοι Αριθμοί: Αυτοί είναι όλοι οι αριθμοί ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... και συνεχίζουν και προς τις δύο κατευθύνσεις. Και αυτούς τους δείχνουμε με κουκκίδες σε μια ευθεία γραμμή. Στα δεξιά του σημείου Ο (του μηδέν) βάζουμε τους ακέραιους αριθμούς (1, 2, 3, ...), και στα αριστερά βάζουμε τους ακέραιους αριθμούς (-1, -2, -3, ...). ➕➖
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Ρητοί Αριθμοί στην Ευθεία 🔢
Οι είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν σαν ένα κλάσμα , όπου είναι ένας ακέραιος αριθμός (όπως -2, -1, 0, 1, 2...) και είναι ένας φυσικός αριθμός (όπως 1, 2, 3...). ➕➖➗
Αυτοί οι αριθμοί, όταν τους γράφουμε σε δεκαδική μορφή, έχουν ένα συγκεκριμένο μοτίβο. Μπορείς να τους φανταστείς σαν να "γεμίζουν" μια γραμμή, αλλά δεν την γεμίζουν εντελώς. 😮 Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν και άλλοι αριθμοί που δεν είναι ρητοί και βρίσκονται επίσης πάνω στη γραμμή. 📍
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Πραγματικοί Αριθμοί και Άξονας 💯
Οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί μαζί, δηλαδή οι και οι . Φαντάσου μια γραμμή 📏. Οι πραγματικοί αριθμοί γεμίζουν όλη αυτή τη γραμμή, χωρίς να αφήνουν κανένα κενό. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο πάνω στη γραμμή αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό, και κάθε πραγματικός αριθμός έχει μια συγκεκριμένη θέση πάνω στη γραμμή. Επειδή οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν όλη τη γραμμή, την ονομάζουμε "ευθεία των πραγματικών αριθμών" ή "άξονα των πραγματικών αριθμών". 🚀
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1
Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1" σε προτρέπει να ανακαλύψεις ρητές προσεγγίσεις του αριθμού (τετραγωνική του 13) μέχρι και τρία δεκαδικά ψηφία. 🧐
Για να το πετύχουμε αυτό, χρησιμοποιούμε διαδοχικές δοκιμές:
- Ξεκινάμε βρίσκοντας δύο αριθμούς ανάμεσα στους οποίους βρίσκεται η . Επειδή και , ξέρουμε ότι .
- Στη συνέχεια, δοκιμάζουμε δεκαδικούς αριθμούς. Επειδή και , ξέρουμε ότι .
- Συνεχίζουμε με δύο δεκαδικά ψηφία. Επειδή και , ξέρουμε ότι .
- Τέλος, δοκιμάζουμε με τρία δεκαδικά ψηφία. Επειδή και , ξέρουμε ότι .
Έτσι, η ρητή προσέγγιση του είναι . 🎉
Σημείωση: με έλλειψη και με υπερβολή.
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 📱
Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2" σου δείχνει πώς να χρησιμοποιήσεις ένα τσέπης (όπως ένα κομπιουτεράκι) για να βρεις μια προσέγγιση των κάποιων αριθμών. Θέλουμε η προσέγγιση να είναι ακριβής μέχρι τρία δεκαδικά ψηφία.
Για παράδειγμα: α) Για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 3 (), πατάμε τα πλήκτρα "3" και το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας () στον υπολογιστή. Στην οθόνη θα εμφανιστεί ο αριθμός 1,7320508. Επειδή θέλουμε μόνο τρία δεκαδικά ψηφία, η προσέγγιση για την τετραγωνική ρίζα του 3 είναι 1,732. Δηλαδή, .
β) Ομοίως, η τετραγωνική ρίζα του 50 () είναι περίπου 7,071.
γ) Η τετραγωνική ρίζα του 72 () είναι περίπου 8,485.
δ) Η τετραγωνική ρίζα του 1764 () είναι ακριβώς 42.
ε) Η τετραγωνική ρίζα του 427 () είναι περίπου 20,664. 💯
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3
Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3" σου ζητάει να τοποθετήσεις διάφορους αριθμούς στην . Οι αριθμοί αυτοί είναι: . 💯
Για να το κάνεις αυτό, μπορείς να γράψεις όλους τους αριθμούς σε . Για τους , χρησιμοποιείς μια προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων. 🤔
Έτσι, έχεις:
Μετά, τοποθετείς όλους τους αριθμούς στην ευθεία, ξεκινώντας από τον μικρότερο (-4) και φτάνοντας στον μεγαλύτερο (4,13). Η σειρά των αριθμών στην ευθεία είναι: . 📈
Ο Ευκλείδης λειτουργεί μέσω τεχνητής νοημοσύνης