Αλγεβρική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος 🧮

Στην άλγεβρα, η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος είναι μια βασική διαδικασία. Ας δούμε πώς μπορούμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους, χρησιμοποιώντας αλγεβρικές μεθόδους. 🤓

Η αλγεβρική επίλυση μας δίνει την ακριβή λύση ενός συστήματος. Για να το κάνουμε αυτό, προσπαθούμε να "απαλλαγούμε" από έναν από τους αγνώστους, ώστε να καταλήξουμε σε μια εξίσωση με μόνο έναν άγνωστο. 🤔

Μέθοδος της Αντικατάστασης 🔄

Η μέθοδος της αντικατάστασης είναι ένας τρόπος για να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Λύνουμε ως προς έναν άγνωστο: Επιλέγουμε μία από τις εξισώσεις και τη λύνουμε ως προς έναν από τους αγνώστους.
   • Έστω το σύστημα:
     $\begin{cases} x + y = 20 \\ x + 3y = 44 \end{cases}$
     Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς $x$: $x = 20 - y$.
2. Αντικαθιστούμε: Στην άλλη εξίσωση, αντικαθιστούμε τον άγνωστο που βρήκαμε με την αντίστοιχη έκφραση. Έτσι, προκύπτει μια εξίσωση με έναν άγνωστο.
   • Στο παράδειγμά μας, αντικαθιστούμε το $x$ με $20 - y$ στη δεύτερη εξίσωση: $(20 - y) + 3y = 44$. Λύνοντας, βρίσκουμε $y = 12$.
3. Βρίσκουμε τον άλλο άγνωστο: Αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε σε μια προηγούμενη εξίσωση για να βρούμε τον άλλο άγνωστο.
   • Αντικαθιστούμε το $y$ με $12$ στην εξίσωση $x = 20 - y$: $x = 20 - 12$, άρα $x = 8$.
4. Προσδιορίζουμε τη λύση: Η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(x, y) = (8, 12)$. 🎉

Μέθοδος των Αντιθέτων Συντελεστών ➕➖

Αυτή η μέθοδος είναι χρήσιμη όταν σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων, οι συντελεστές ενός αγνώστου είναι αντίθετοι αριθμοί. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις για να απαλλαγούμε από αυτόν τον άγνωστο.

Για παράδειγμα, στο σύστημα:
$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$
οι συντελεστές του $y$ είναι αντίθετοι. Προσθέτοντας τις εξισώσεις, έχουμε:
$3x + 5x = 12 + 4$ ή $8x = 16$, οπότε $x = 2$.

Αντικαθιστούμε την τιμή του $x$ στην πρώτη εξίσωση:
$3 \cdot 2 + 2y = 12$ ή $2y = 6$ ή $y = 3$.

Άρα, η λύση είναι $(x, y) = (2, 3)$.

Τι γίνεται όμως αν δεν έχουμε αντίθετους συντελεστές; 🤔

Σε αυτή την περίπτωση, πολλαπλασιάζουμε κάθε εξίσωση με έναν κατάλληλο αριθμό, ώστε να δημιουργηθούν αντίθετοι συντελεστές σε έναν από τους αγνώστους. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τις εξισώσεις και λύνουμε ως συνήθως.

Για παράδειγμα, στο σύστημα:
$\begin{cases} 3x + 5y = 1 \\ 2x + 7y = 8 \end{cases}$
πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με το $-2$ και τη δεύτερη με το $3$:

$\begin{cases} 3x + 5y = 1 \\ 2x + 7y = 8 \end{cases}$ $\overset{\cdot (-2)}{\underset{\cdot 3}{\implies}}$ $\begin{cases} -6x - 10y = -2 \\ 6x + 21y = 24 \end{cases}$

Προσθέτοντας τις εξισώσεις, έχουμε:
$-6x - 10y + 6x + 21y = -2 + 24$
$11y = 22$, οπότε $y = 2$

Αντικαθιστούμε το $y = 2$ στην πρώτη εξίσωση:
$3x + 5 \cdot 2 = 1$
$3x + 10 = 1$
$3x = -9$
$x = -3$

Άρα, η λύση είναι $(x, y) = (-3, 2)$.

Παραδείγματα Εφαρμογής 💡

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα τις μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων.

Παράδειγμα 1: Συμπληρωματικές Γωνίες 📐

Έχουμε δύο παραπληρωματικές γωνίες, δηλαδή δύο γωνίες που αθροίζουν $180^\circ$. Η μία γωνία είναι κατά $12^\circ$ μεγαλύτερη από το τριπλάσιο της άλλης. Ποιες είναι οι γωνίες;

1. Ορίζουμε τις μεταβλητές: Έστω $ω$ και $φ$ οι δύο γωνίες.
2. Γράφουμε τις εξισώσεις:
   • $ω + φ = 180^\circ$
   • $ω = 3φ + 12^\circ$
3. Λύνουμε το σύστημα:
   • Αντικαθιστούμε την $ω$ από τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη: $3φ + 12^\circ + φ = 180^\circ$.
   • Απλοποιούμε: $4φ + 12^\circ = 180^\circ$.
   • $4φ = 168^\circ$.
   • $φ = 42^\circ$.
   • $ω = 3 \cdot 42^\circ + 12^\circ = 138^\circ$.

Άρα, οι γωνίες είναι $ω = 138^\circ$ και $φ = 42^\circ$.

Παράδειγμα 2: Επίλυση με Αντικατάσταση 🔄

Έχουμε το σύστημα:
$\begin{cases} (x + 2y) + y = 7 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$

Αντικαθιστούμε το $x + 2y$ με το $4$ στην πρώτη εξίσωση:
$4 + y = 7$
$y = 3$

Αντικαθιστούμε το $y$ στη δεύτερη εξίσωση:
$x + 2 \cdot 3 = 4$
$x + 6 = 4$
$x = -2$

Άρα, η λύση είναι $(x, y) = (-2, 3)$.

Παράδειγμα 3: Απαλοιφή Παρονομαστών ➗

Έχουμε το σύστημα:

Απαλείφουμε τους παρονομαστές:

Απλοποιούμε:

Οι συντελεστές του αγνώστου $y$ είναι αντίθετοι, οπότε προσθέτοντας κατά μέλη
έχουμε:

$11x + 4x = 8 + 37 \Rightarrow 15x = 45 \Rightarrow x = 3$

Αντικαθιστούμε την τιμή $x = 3$ στη δεύτερη εξίσωση και έχουμε:

$4 \cdot 3 + 5y = 37 \Rightarrow 12 + 5y = 37 \Rightarrow 5y = 25 \Rightarrow y = 5$

Άρα η λύση του συστήματος είναι $x = 3, \, y = 5$, δηλαδή το ζεύγος
$(x, y) = (3, 5)$

Παράδειγμα 4: Κέρματα 💰

Ένα μηχάνημα αναψυκτικών δέχεται κέρματα των 50 λεπτών και του 1 ευρώ. Βρήκαμε 126 κέρματα, συνολικής αξίας 90 ευρώ. Πόσα κέρματα υπήρχαν από κάθε είδος;

Έστω $x$ ο αριθμός των κερμάτων των 50 λεπτών και $y$ ο αριθμός των κερμάτων του 1 ευρώ.

• $x + y = 126$
• $0,50 \cdot x + 1 \cdot y = 90$

Λύνουμε το σύστημα:

$\begin{cases} x + y = 126 \\ 0,50 \cdot x + 1 \cdot y = 90 \end{cases}$

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με $-2$:

$\begin{cases} x + y = 126 \\ -x - 2y = -180 \end{cases}$

Προσθέτουμε τις εξισώσεις: $-y = -54$, άρα $y = 54$.

Αντικαθιστούμε το $y$ στην πρώτη εξίσωση: $x + 54 = 126$, άρα $x = 72$.

Άρα, υπήρχαν 72 κέρματα των 50 λεπτών και 54 κέρματα του 1 ευρώ.