Γραμμικά Συστήματα και Γραφική Επίλυση 📈

Ας εξερευνήσουμε τα γραμμικά συστήματα και πώς μπορούμε να τα λύσουμε χρησιμοποιώντας γραφικές μεθόδους! ✍️

Τι είναι ένα γραμμικό σύστημα; 🤔

Ένα γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνολο δύο ή περισσότερων γραμμικών εξισώσεων που περιέχουν δύο αγνώστους, συνήθως τους $x$ και $y$. Στόχος μας είναι να βρούμε τις τιμές των $x$ και $y$ που ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις ταυτόχρονα.

Για παράδειγμα, ας δούμε το σύστημα:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$

Ψάχνουμε για ένα ζευγάρι αριθμών $(x, y)$ που να κάνει και τις δύο εξισώσεις αληθείς. Αν βρούμε ένα τέτοιο ζευγάρι, έχουμε λύσει το γραμμικό σύστημα! 🎉 Στο παράδειγμά μας, το ζεύγος $(3, 2)$ είναι η λύση, επειδή $3 + 2 = 5$ και $2 \cdot 3 + 2 = 8$.

Λύση γραμμικού συστήματος ✅

Η λύση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους $x$ και $y$ είναι κάθε ζεύγος $(x, y)$ που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Γραφική Επίλυση 🖍️

Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους $x$ και $y$ μπορεί να λυθεί είτε γραφικά είτε αλγεβρικά. Ας δούμε πώς γίνεται γραφικά!

Για να λύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα, όπως το:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$

ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα.

Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος: Παράδειγμα με Μοναδική Λύση 🎯

Για να λύσουμε γραφικά το σύστημα:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$

Εξήγηση Γραφικής Επίλυσης με Μοναδική Λύση 💡

1. Σχεδιάζουμε τις ευθείες: Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες ε₁: $x + y = 5$ και ε₂: $2x + y = 8$.
2. Βρίσκουμε το σημείο τομής: Παρατηρούμε ότι οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, το $A$.
3. Προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες: Οι συντεταγμένες του σημείου $A$ είναι $(3, 2)$.

Επειδή το σημείο $A(3, 2)$ βρίσκεται και στις δύο ευθείες, οι συντεταγμένες $x = 3$ και $y = 2$ επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι το ζεύγος $(3, 2)$ είναι η μοναδική λύση του συστήματος. 🥳

Αδύνατο Σύστημα: Γραφική Επίλυση 🚫

Ένα Αδύνατο σύστημα είναι ένα σύστημα εξισώσεων που δεν έχει καμία λύση.

Για να καταλάβουμε πότε ένα σύστημα είναι αδύνατο:

Έχουμε το σύστημα:
$\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = -24 \end{cases}$

Σχεδιάζουμε τις ευθείες:

• ε₁: $2x - 3y = 6$
• ε₂: $4x - 6y = -24$

Παρατηρούμε ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες ∥. Αυτό σημαίνει ότι δεν τέμνονται ποτέ και, επομένως, δεν υπάρχει κοινό σημείο. Άρα, το σύστημα δεν έχει λύση. 😥

Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα είναι αδύνατο.

Αόριστο Σύστημα: Γραφική Επίλυση ♾️

Ένα Αόριστο σύστημα είναι ένα σύστημα εξισώσεων που έχει άπειρες λύσεις.

Έχουμε το σύστημα:

$\begin{cases} 3x - y = 6 \\ 6x - 2y = 12 \end{cases}$

Σχεδιάζουμε τις ευθείες:

• ε$_1$: $3x - y = 6$
• ε$_2$: $6x - 2y = 12$

Παρατηρούμε ότι οι δύο ευθείες συμπίπτουν, δηλαδή είναι η ίδια ευθεία! 😲 Αυτό σημαίνει ότι έχουν όλα τα σημεία τους κοινά. Επειδή έχουν άπειρα κοινά σημεία, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα είναι αόριστο.

Παράδειγμα 1: Γραφική Επίλυση και Εμβαδόν Τριγώνου 📐

Ας δούμε ένα παράδειγμα που συνδυάζει τη γραφική επίλυση με τον υπολογισμό εμβαδού!

α) Γραφική Επίλυση:

Έχουμε το σύστημα:
$\begin{cases} 2x + 3y = 14 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$

Σχεδιάζουμε τις δύο ευθείες.

• Ευθεία ε₁: $2x + 3y = 14$
  • Βρίσκουμε δύο σημεία:
    • Αν $x = 1$, τότε $y = 4$. Σημείο $A(1, 4)$.
    • Αν $x = 7$, τότε $y = 0$. Σημείο $B(7, 0)$.
  • Σχεδιάζουμε την ευθεία που περνάει από τα $A$ και $B$.
• Ευθεία ε₂: $x - 2y = 0$
  • Βρίσκουμε δύο σημεία:
    • Αν $x = 0$, τότε $y = 0$. Σημείο $O(0, 0)$.
    • Αν $x = 2$, τότε $y = 1$. Σημείο $Γ(2, 1)$.
  • Σχεδιάζουμε την ευθεία που περνάει από τα $O$ και $Γ$.

Οι ευθείες τέμνονται στο σημείο $M(4, 2)$. Άρα, η λύση του συστήματος είναι $x = 4$ και $y = 2$.

β) Εμβαδόν Τριγώνου:

Οι ευθείες ε₁ και ε₂ σχηματίζουν ένα τρίγωνο με τον άξονα x'x, το τρίγωνο $OMB$.

• Η βάση του τριγώνου $OB$ είναι 7.
• Το ύψος του τριγώνου $MΔ$ είναι 2.

Το εμβαδόν $E$ του τριγώνου είναι: $E = \frac{7 \cdot 2}{2} = 7$ τετραγωνικές μονάδες. 📐

Παράδειγμα 2: Σχεδίαση Ευθειών και Επίλυση Συστημάτων ✍️

Ας δούμε πώς να σχεδιάζουμε ευθείες και να επιλύουμε συστήματα εξισώσεων.

Παράδειγμα 2: Σχεδίαση Ευθειών και Επίλυση Συστημάτων

Έχουμε τρία συστήματα εξισώσεων:
($\Sigma_1$): $\begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$
($\Sigma_2$): $\begin{cases} x - y = 0 \\ -x + y = -3 \end{cases}$

Για την ευθεία $\epsilon_1$: $x - y = 0$:

• Αν $x = 0$, τότε $y = 0$. Διέρχεται από το $Ο(0, 0)$.
• Αν $x = 1$, τότε $y = 1$. Διέρχεται από το $Α(1, 1)$.

Για την ευθεία $\epsilon_2$: $x + y = 0$:

• Αν $x = 0$, τότε $y = 0$. Διέρχεται από το $Ο(0, 0)$.
• Αν $x = -1$, τότε $y = 1$. Διέρχεται από το $Β(-1, 1)$.

Για την ευθεία $\epsilon_3$: $-x + y = -3$:

• Αν $x = 0$, τότε $y = -3$. Διέρχεται από το $Γ(0, -3)$.
• Αν $y = 0$, τότε $x = 3$. Διέρχεται από το $Δ(3, 0)$.

Το σύστημα ($\Sigma_1$) έχει μοναδική λύση την $(0, 0)$, αφού οι ευθείες $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ τέμνονται στο σημείο $Ο(0, 0)$. Το σύστημα ($\Sigma_2$) είναι αδύνατο, αφού οι ευθείες $\epsilon_1$ και $\epsilon_3$ είναι παράλληλες. 🚫