Γραμμικές Εξισώσεις: Μια Εισαγωγή 🧮

Εισαγωγή στην έννοια της γραμμικής εξίσωσης 💡

Μια γραμμική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιέχει δύο άγνωστους αριθμούς, συνήθως τους ονομάζουμε $x$ και $y$. Μπορείς να φανταστείς ότι ψάχνουμε δύο μυστικούς αριθμούς! 🕵️‍♀️ Αυτές οι εξισώσεις έχουν μια συγκεκριμένη μορφή: $αx + βy = γ$, όπου $α$, $β$ και $γ$ είναι γνωστοί αριθμοί.

Για παράδειγμα, η εξίσωση $2x + y = 6$ είναι μια γραμμική εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, $α = 2$, $β = 1$ και $γ = 6$.

Μια λύση μιας γραμμικής εξίσωσης είναι ένα ζευγάρι αριθμών ($x$, $y$) που, όταν τους αντικαταστήσουμε στην εξίσωση, την κάνουν αληθινή. Για παράδειγμα, το ζευγάρι (1, 4) είναι λύση της εξίσωσης $2x + y = 6$, επειδή $2 \cdot 1 + 4 = 6$. Αλλά το ζευγάρι (3, 5) δεν είναι λύση, επειδή $2 \cdot 3 + 5 = 11$, που δεν ισούται με 6.

Μια γραμμική εξίσωση μπορεί να έχει πολλές λύσεις, όχι μόνο μία! Για την εξίσωση $2x + y = 6$, μπορούμε να βρούμε διάφορες λύσεις:

• Όταν $x = -1$, τότε $y = 8$.
• Όταν $x = 0$, τότε $y = 6$.
• Όταν $x = 2$, τότε $y = 2$.
• Όταν $x = 3$, τότε $y = 0$.

Έτσι, τα ζεύγη (-1, 8), (0, 6), (2, 2), (3, 0) είναι λύσεις της εξίσωσης $2x + y = 6$.

Γραφική Παράσταση και Σημεία Ευθείας 📈

Αν έχουμε ένα σύστημα αξόνων και βρούμε σημεία που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης $2x + y = 6$, θα δούμε ότι όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία, την οποία ονομάζουμε ε.

Αντίστροφα, αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο πάνω στην ευθεία ε, για παράδειγμα το σημείο Μ με συντεταγμένες (4, -2), θα δούμε ότι οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση $2x + y = 6$, επειδή $2 \cdot 4 + (-2) = 6$. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε έχει συντεταγμένες (x, y) που είναι λύση της εξίσωσης.

Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η εξίσωση $2x + y = 6$ παριστάνει την ευθεία ε και τη συμβολίζουμε ως ε: $2x + y = 6$.

Γενικά:

• Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
• Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.

Ειδικές περιπτώσεις: Η εξίσωση $y = k$ 📍

Ας σκεφτούμε την εξίσωση $0x + 2y = 6$. Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της μορφής $αx + βy = γ$, όπου το $α = 0$. Μπορούμε να δούμε ότι, ανεξάρτητα από την τιμή του $x$, το $y$ πάντα θα είναι $3$.

Για παράδειγμα, τα σημεία $(-1, 3)$, $(1, 3)$, $(3, 3)$ είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης.

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση $0x + 2y = 6$ δημιουργεί μια ευθεία γραμμή όπου όλα τα σημεία έχουν την ίδια τιμή για το $y$, δηλαδή $y = 3$, ενώ το $x$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Έτσι, αυτή η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα $x'x$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, 3)$. Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η ευθεία έχει εξίσωση $y = 3$.

Γενικά, η εξίσωση $y = k$, όπου το $k$ δεν είναι $0$, παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα $x'x$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, k)$. Ενώ η εξίσωση $y = 0$ παριστάνει τον άξονα $x'x$.

Ειδικές περιπτώσεις: Η εξίσωση $x = k$ 📌

Αν έχουμε μια εξίσωση της μορφής $3x + 0y = 6$, μπορούμε να δούμε ότι για οποιαδήποτε τιμή του $y$, το $x$ είναι πάντα 2. Για παράδειγμα, τα ζεύγη αριθμών $(2, -2)$, $(2, 1)$, $(2, 3)$ είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης.

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση $3x + 0y = 6$ δημιουργεί μια ευθεία γραμμή όπου όλα τα σημεία έχουν την ίδια τιμή για το $x$, δηλαδή $x = 2$, ενώ το $y$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Έτσι, η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα $y'y$ και τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $(2, 0)$.

Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η ευθεία έχει εξίσωση $x = 2$.

Γενικά, η εξίσωση $x = k$, όπου το $k$ δεν είναι 0, παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα $y'y$ και τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $(k, 0)$. Αντίθετα, η εξίσωση $x = 0$ παριστάνει τον άξονα $y'y$.

Γενική μορφή γραμμικής εξίσωσης με δύο αγνώστους ❓

Η εξίσωση $αx + βy = γ$ με $α = β = 0$

• Η εξίσωση $0x + 0y = 7$ δεν είναι ευθεία, επειδή κανένα ζευγάρι αριθμών (x, y) δεν είναι λύση της (αδύνατη εξίσωση).
• Η εξίσωση $0x + 0y = 0$ ισχύει για κάθε ζευγάρι αριθμών (x, y). Για παράδειγμα, τα ζεύγη (-1, 0), (0, 1), (2, 1), (2, 2), κ.τ.λ. είναι λύσεις της (αόριστη εξίσωση). Όμως, τα σημεία που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Επομένως, η εξίσωση $0x + 0y = 0$ δεν είναι ευθεία.

Εξισώσεις, όπως οι $2x + y = 6$, $0x + 2y = 6$, $3x + 0y = 6$, $0x + 0y = 7$, $0x + 0y = 0$, ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x, y. Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, μόνο οι τρεις πρώτες είναι ευθείες. Σε αυτές τις εξισώσεις, ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς που πολλαπλασιάζονται με τα x και y είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Γραμμική εξίσωση με αγνώστους x, y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής $αx + βy = γ$ και είναι ευθεία όταν το $α$ δεν είναι μηδέν ή το $β$ δεν είναι μηδέν.

Παράδειγμα 1: Εύρεση σημείων τομής ευθείας με τους άξονες 🎯

Για να σχεδιάσουμε την ευθεία με εξίσωση $2x - 3y = 12$, χρειαζόμαστε δύο σημεία από τα οποία διέρχεται.

Αν βάλουμε $x = 0$, τότε στην εξίσωση $2x - 3y = 12$ έχουμε $-3y = 12$, οπότε $y = -4$.

Αν βάλουμε $y = 0$, τότε στην εξίσωση $2x - 3y = 12$ έχουμε $2x = 12$, οπότε $x = 6$.

Έτσι, η εξίσωση $2x - 3y = 12$ παριστάνει μια ευθεία που περνάει από τα σημεία $A(0, -4)$ και $B(6, 0)$.

Παράδειγμα 2: Εύρεση εξίσωσης ευθείας που διέρχεται από σημείο 📍

Αυτό το παράδειγμα σου δείχνει πώς να βρεις την τιμή του $α$ σε μια εξίσωση ευθείας και πώς να βρεις τα σημεία όπου η ευθεία τέμνει τους άξονες.

Ξεκινάμε με την ευθεία $ε: αx – y = 1$. Γνωρίζουμε ότι αυτή η ευθεία περνάει από το σημείο $Α(2, 5)$. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου $Α$ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Αντικαθιστούμε το $x$ με το 2 και το $y$ με το 5 στην εξίσωση:

$α \cdot 2 - 5 = 1$

Λύνουμε για το $α$:

$2α - 5 = 1$

$2α = 6$

$α = 3$

Τώρα ξέρουμε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι $3x - y = 1$.

Για να βρούμε πού η ευθεία τέμνει τον άξονα $y'y$, βάζουμε $x = 0$ στην εξίσωση:

$3 \cdot 0 - y = 1$
$-y = 1$
$y = -1$

Άρα, η ευθεία τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, -1)$.

Για να βρούμε πού η ευθεία τέμνει τον άξονα $x'x$, βάζουμε $y = 0$ στην εξίσωση:

$3x - 0 = 1$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

Άρα, η ευθεία τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $(\frac{1}{3}, 0)$.