Εισαγωγή στις Ανισότητες και Διάταξη Πραγματικών Αριθμών ⚖️

Αυτό το τμήμα εξηγεί τις ανισότητες και τη διάταξη των πραγματικών αριθμών. 💯

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα σημείο μιας ευθείας γραμμής, που λέγεται άξονας. Όταν έχουμε δύο αριθμούς στον άξονα, ο μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται πιο δεξιά. Για παράδειγμα, το $-2$ είναι μεγαλύτερο από το $-4$, το $-3$ είναι μικρότερο από το $2$, και το $π$ είναι μεγαλύτερο από το $\sqrt{2}$. ➕➖

Όταν έχουμε δύο ή περισσότερους πραγματικούς αριθμούς τοποθετημένους σε έναν άξονα, μπορούμε να τους συγκρίνουμε και να τους βάλουμε σε μια σειρά. 🔢

• Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. ⬆️
• Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν. ⬇️
• Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό. 👍

Πώς συγκρίνουμε αριθμούς που δεν είναι σε άξονα; 🤔

Αν έχουμε δύο αριθμούς, όπως το $5$ και το $3$, και ξέρουμε ότι $5 > 3$, τότε η διαφορά τους $5 - 3 = 2$ είναι ένας θετικός αριθμός. ✅

Ομοίως, αν έχουμε τους αριθμούς $-2$ και $-4$, και ξέρουμε ότι $-2 > -4$, τότε η διαφορά τους $(-2) - (-4) = 2$ είναι ένας θετικός αριθμός. ➕

Αντίθετα, αν έχουμε τους αριθμούς $3$ και $5$ ή $-4$ και $-2$, και ξέρουμε ότι $3 < 5$ και $-4 < -2$, τότε η διαφορά τους $3 - 5 = -2$ και $(-4) - (-2) = -2$ είναι ένας αρνητικός αριθμός. ➖

Γενικά:

• Αν $α > β$, τότε $α - β > 0$
• Αν $α < β$, τότε $α - β < 0$

Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς $α$ και $β$ που δεν είναι σε άξονα, βρίσκουμε τη διαφορά τους $α - β$ και κοιτάμε αν είναι θετική, αρνητική ή μηδέν. 👀

• Αν $α - β > 0$, τότε $α > β$
• Αν $α - β < 0$, τότε $α < β$
• Αν $α - β = 0$, τότε $α = β$

Ιδιότητες της Διάταξης

Οι ιδιότητες της διάταξης μας λένε τι συμβαίνει όταν κάνουμε πράξεις με ανισότητες. 🤔

α) Αν έχουμε μια ανισότητα και προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη της, η ανισότητα παραμένει ίδια.

Για παράδειγμα, αν $α > β$, τότε $α + γ > β + γ$ και $α - γ > β - γ$.

Αυτό σημαίνει ότι αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε το $γ$ και από τα δύο μέλη, η σχέση μεταξύ $α$ και $β$ δεν αλλάζει. ➕➖

β) Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, η ανισότητα παραμένει ίδια. 💯

Για παράδειγμα, αν $α > β$ και $γ > 0$, τότε $α\cdotγ > β\cdotγ$ και $\frac{α}{γ} > \frac{β}{γ}$.

Ιδιότητες Διάταξης (συνέχεια)

γ) Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, η ανισότητα αλλάζει φορά. 🔄

Για παράδειγμα, αν έχουμε $8 > 4$, τότε $8 \cdot (-2) < 4 \cdot (-2)$ και $\frac{8}{-2} < \frac{4}{-2}$.

Γενικά, αν $α > β$ και $γ < 0$, τότε $αγ < βγ$ και $\frac{α}{γ} < \frac{β}{γ}$.

δ) Όταν προσθέτουμε δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά, η νέα ανισότητα που προκύπτει έχει επίσης την ίδια φορά. 👍

Για παράδειγμα, αν $3 > 2$ και $7 > 4$, τότε $3 + 7 > 2 + 4$.

Γενικά, αν $α > β$ και $γ > δ$, τότε $α + γ > β + δ$.

Από τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτει και η μεταβατική ιδιότητα: 💡
Αν $α > β$ και $β > γ$, τότε $α > γ$.

Για παράδειγμα, αν $3 > 1$ και $1 > -2,5$, τότε $3 > -2,5$.

ε) Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και είναι θετικοί αριθμοί, η ανισότητα που προκύπτει έχει την ίδια φορά. ➕

Για παράδειγμα, αν $3 > 2$ και $7 > 4$, τότε $3 \cdot 7 > 2 \cdot 4$.

Γενικά, αν $α, β, γ, δ$ είναι θετικοί αριθμοί και $α > β$ και $γ > δ$, τότε $αγ > βδ$.

Παρατηρήσεις για τις Ιδιότητες των Ανισοτήτων

1. Θυμόμαστε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού $α$ είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός ($α^2 ≥ 0$). 👍 Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι ποτέ αρνητικό. Επομένως, αν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς $α$ και $β$ και ισχύει $α^2 + β^2 = 0$, τότε και οι δύο αριθμοί πρέπει να είναι μηδέν ($α = 0$ και $β = 0$).

2. Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ή να διαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη, γιατί μπορεί να οδηγηθούμε σε λάθος αποτέλεσμα. ❌ Για παράδειγμα, αν έχουμε τις ανισότητες $\begin{cases} 6 > 4 \\ 3 > 1 \end{cases}$, αν τις αφαιρέσουμε (ή διαιρέσουμε) κατά μέλη, θα καταλήξουμε στις ανισότητες $3 > 3$ (ή $2 > 4$), που είναι λάθος και δεν ισχύουν.

Επίλυση Ανισώσεων Πρώτου Βαθμού με Έναν Άγνωστο 🧐

Οι ιδιότητες της διάταξης χρησιμοποιούνται για να λύσουμε τις ανισώσεις.
Για παράδειγμα, αν έχουμε την ανίσωση $x - \frac{3x + 1}{2} > \frac{3}{4}$, που είναι πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της ανίσωσης με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών. Στο παράδειγμα, το Ε.Κ.Π. είναι $4$ και είναι μεγαλύτερο του $0$, οπότε η φορά της ανίσωσης δεν αλλάζει (ιδιότητα β).
   $4 \cdot x - 4 \cdot \frac{3x + 1}{2} > 4 \cdot \frac{3}{4}$

2. Απαλείφουμε τους παρονομαστές.
   $4x - 2(3x + 1) > 3$

3. Κάνουμε τις πράξεις και αφαιρούμε τις παρενθέσεις.
   $4x - 6x - 2 > 3$

4. Χωρίζουμε τους γνωστούς από τους άγνωστους, προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη (ιδιότητα α).
   $4x - 6x > 3 + 2$

5. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
   $-2x > 5$

6. Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ανίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου. Στο παράδειγμα, ο συντελεστής είναι $-2$ που είναι μικρότερο του $0$, και για αυτό αλλάζει η φορά της ανίσωσης (ιδιότητα γ).
   $\frac{-2x}{-2} < \frac{5}{-2}$

   $x < -\frac{5}{2}$

Παραδείγματα

1. Ποιες ιδιότητες της διάταξης πρέπει να εφαρμόσουμε στην ανισότητα $α > 4$ για να αποδείξουμε τις παρακάτω ανισότητες;
   α) $-3α + 2 < -10$ β) $\frac{5α}{4} - 1 > 4$ γ) $-2(α + 2) < -12$

Λύση:

α)

$α > 4$ (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με $-3$)

$-3α < -12$ (προσθέτουμε και στα δύο μέλη της ανισότητας το 2)

$-3α + 2 < -12 + 2$

$-3α + 2 < -10$

β)

$α > 4$ (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με $\frac{5}{4}$)

$\frac{5α}{4} > 5$

$\frac{5α}{4} - 1 > 5 - 1$, οπότε $\frac{5α}{4} - 1 > 4$

γ)

$α > 4$ (προσθέτουμε και στα δύο μέλη της ανισότητας το 2)

$α + 2 > 4 + 2$

$α + 2 > 6$ (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ανισότητας με $-2$)

$-2(α + 2) < -2 \cdot 6$

$-2(α + 2) < -12$

2. Για τις διαστάσεις $α, β$ ενός ορθογωνίου ισχύουν $4 \le α \le 6$ και $2.5 \le β \le 4.5$.
   Ποιες τιμές μπορεί να πάρει
   α) η περίμετρος του ορθογωνίου; β) το εμβαδόν του ορθογωνίου;

Λύση:

α) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι $Π = 2α + 2β$. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των ανισοτήτων $\begin{cases} 4 \le α \le 6 \\ 2.5 \le β \le 4.5 \end{cases}$ με το 2, οπότε έχουμε $\begin{cases} 8 \le 2α \le 12 \\ 5 \le 2β \le 9 \end{cases}$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις τελευταίες ανισότητες και έχουμε

$8 + 5 \le 2α + 2β \le 12 + 9$ ή $13 \le 2α + 2β \le 21$ ή $13 \le Π \le 21$.

Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει η περίμετρος του ορθογωνίου είναι από 13 έως και 21.

β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι $Ε = αβ$. Οι ανισότητες $\begin{cases} 4 \le α \le 6 \\ 2.5 \le β \le 4.5 \end{cases}$ έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε $4 \cdot 2.5 \le αβ \le 6 \cdot 4.5$, ή $10 \le αβ \le 27$ ή $10 \le Ε \le 27$

Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι από 10 έως και 27. 📐

Παράδειγμα - Εφαρμογή 3

Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $x$, $y$, ισχύει ότι $x^2 + y^2 \ge 2xy$.

Λύση:

Για να το αποδείξουμε αυτό, αρκεί να δείξουμε ότι η διαφορά $x^2 + y^2 - 2xy$
είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Αυτό σημαίνει ότι $(x - y)^2 \ge 0$. Αυτή η σχέση είναι αληθής, επειδή το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι πάντα μη αρνητικό. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν $(x - y)^2 = 0$, που σημαίνει $x - y = 0$, άρα $x = y$. 💯

Παράδειγμα - Εφαρμογή 4 🚌 🚢

Ένα σχολείο 🏫 θέλει να οργανώσει μια εκδρομή 🏞️ και ζητά προσφορές από δύο ταξιδιωτικά γραφεία.

• Το πρώτο γραφείο ζητάει 15 ευρώ για κάθε μαθητή. Αν οι μαθητές είναι περισσότεροι από 25, τότε κάνει έκπτωση 10% στη συνολική τιμή.
• Το δεύτερο γραφείο ζητάει 12 ευρώ για κάθε μαθητή και επιπλέον 45 ευρώ για διάφορα έξοδα, όπως διόδια και εισιτήρια πλοίου 🚢.

Θέλουμε να βρούμε ποιο γραφείο είναι πιο συμφέρον, αν οι μαθητές που θα πάνε στην εκδρομή είναι περισσότεροι από 25. 🤔

Λύση:

Ας πούμε ότι οι μαθητές που θα πάνε στην εκδρομή είναι $x$, όπου $x > 25$.

• Στο πρώτο γραφείο, το κόστος είναι $15x - \frac{10}{100} 15x = 15x - \frac{3}{2}x$ ευρώ.
• Στο δεύτερο γραφείο, το κόστος είναι $12x + 45$ ευρώ.

Για να είναι καλύτερη η προσφορά του πρώτου γραφείου, πρέπει να ισχύει:

$15x - \frac{3}{2}x < 12x + 45$.

Λύνοντας την ανίσωση:

$30x - 3x < 24x + 90$ ή $3x < 90$ ή $x < 30$.

Άρα, αν οι μαθητές είναι περισσότεροι από 25 αλλά λιγότεροι από 30, συμφέρει το πρώτο γραφείο. Αν οι μαθητές είναι περισσότεροι από 30, συμφέρει το δεύτερο γραφείο. Αν οι μαθητές είναι ακριβώς 30, τότε οι προσφορές των δύο γραφείων είναι ίδιες. 🤝