Εφαρμογές των Εξισώσεων Δευτέρου Βαθμού στην Πράξη 🧮

Οι εξισώσεις δευτέρου βαθμού δεν είναι απλώς μαθηματικά σύμβολα! Μπορούν να μας βοηθήσουν να λύσουμε προβλήματα που συναντάμε στην καθημερινή ζωή, από την οικονομία 💰 μέχρι τη φυσική 🚀. Ας δούμε πώς!

Παράδειγμα 1: Εύρεση διαστάσεων κολυμβητικής πισίνας 🏊‍♀️

Έχουμε μια πισίνα με:

• Εμβαδόν: $400$ τετραγωνικά μέτρα ($m^2$)
• Άθροισμα μήκους και πλάτους: $41$ μέτρα ($m$)

Θέλουμε να βρούμε το μήκος και το πλάτος της πισίνας.

Λύση:

Ας πούμε ότι το μήκος της πισίνας είναι $x$. Τότε, το πλάτος της πισίνας θα είναι $41 - x$, επειδή το άθροισμά τους είναι $41$.

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν της πισίνας είναι $400 m^2$. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι μήκος επί πλάτος. Έτσι, έχουμε την εξίσωση:

$x \cdot (41 - x) = 400$

Αυτό μας δίνει:

$41x - x^2 = 400$

Μπορούμε να το γράψουμε και έτσι:

$x^2 - 41x + 400 = 0$

Αυτή είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Για να τη λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο της διακρίνουσας $Δ = β^2 - 4αγ$. Στην εξίσωσή μας, $α = 1$, $β = -41$, και $γ = 400$.

Έτσι, $Δ = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81$.

Επειδή η διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη του μηδενός ($81 > 0$), η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Μπορούμε να βρούμε τις λύσεις με τον τύπο:

$x = \frac{-β \pm \sqrt{Δ}}{2α} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{41 \pm 9}{2}$

Αυτό μας δίνει δύο πιθανές λύσεις για το $x$:

• $x = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25$
• $x = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Αν $x = 25$, τότε το άλλο μέγεθος είναι $41 - 25 = 16$.
Αν $x = 16$, τότε το άλλο μέγεθος είναι $41 - 16 = 25$.

Σε κάθε περίπτωση, οι διαστάσεις της πισίνας είναι $25$ μέτρα και $16$ μέτρα.

Παράδειγμα 2: Υπολογισμός κερδών βιοτεχνίας 👕

Ένας οικονομολόγος υπολόγισε ότι το κόστος για να κατασκευάσει μια βιοτεχνία $x$ πουκάμισα είναι $\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500$ ευρώ. Αν η βιοτεχνία πουλάει κάθε πουκάμισο $60$ €, θέλουμε να βρούμε πόσα πουκάμισα πρέπει να πουλήσει για να κερδίσει $3500$ €.

Λύση:

Αν η βιοτεχνία πουλήσει $x$ πουκάμισα, θα εισπράξει $60x$ €. Το κέρδος της θα είναι

$60x - (\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500)$ €.

Επειδή θέλουμε το κέρδος να είναι $3500$ €, έχουμε την εξίσωση

$60x - (\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500) = 3500$ ή

$60x - \frac{1}{10}x^2 - 20x - 500 = 3500$,

$600x - x^2 - 200x - 5000 = 35000$,

$x^2 - 400x + 40000 = 0$.

Η διακρίνουσα είναι $\Delta = \beta^2 - 4αγ = (-400)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40000 = 160000 - 160000 = 0$.

Άρα η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, την $x = \frac{-\beta}{2α} = \frac{400}{2 \cdot 1} = 200$.

Επομένως, για να κερδίσει η βιοτεχνία $3500$ €, πρέπει να πουλήσει $200$ πουκάμισα.