Διαφορά Τετραγώνων ⬛

Μια χρήσιμη ταυτότητα είναι η διαφορά τετραγώνων:

$α^2 - β^2 = (α + β)(α - β)$

Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε μια παράσταση που είναι η διαφορά δύο τετραγώνων, μπορούμε να την παραγοντοποιήσουμε χρησιμοποιώντας αυτή την ταυτότητα. Για παράδειγμα:

$α^2 - 9 = α^2 - 3^2 = (α + 3)(α - 3)$

Παραδείγματα

Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις:

• α) $4β^2 - 25$

  Για να το κάνουμε αυτό, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

  $4β^2 - 25 = (2β)^2 - 5^2 = (2β + 5)(2β - 5)$

• β) $(3x - 1)^2 - 81$

  Για να το κάνουμε αυτό, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

  $(3x - 1)^2 - 81 = (3x - 1)^2 - 9^2 = (3x - 1 + 9)(3x - 1 - 9) = (3x + 8)(3x - 10)$

• γ) $α^2 - 7$

  Για να το κάνουμε αυτό, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

  $α^2 - 7 = α^2 - (\sqrt{7})^2 = (α - \sqrt{7})(α + \sqrt{7})$

Για να σχηματίσουμε διαφορά τετραγώνων, πρέπει να εκφράσουμε κάθε όρο ως τετράγωνο μιας παράστασης.

Ανάπτυγμα Τετραγώνου 🟦

Το "Ανάπτυγμα Τετραγώνου" είναι ένας τρόπος να γράψουμε κάποιες μαθηματικές εκφράσεις πιο απλά.

Έχουμε δύο βασικές ταυτότητες:

1. Όταν έχουμε $(α + β)^2$, αυτό είναι το ίδιο με το $α^2 + 2αβ + β^2$.
2. Όταν έχουμε $(α - β)^2$, αυτό είναι το ίδιο με το $α^2 - 2αβ + β^2$.

Αυτές οι ταυτότητες μας βοηθούν να μετατρέψουμε παραστάσεις που είναι "τέλεια τετράγωνα" σε πιο απλή μορφή.

Για παράδειγμα:

• Η παράσταση $x^2 + 4x + 4$ μπορεί να γραφτεί ως $(x + 2)^2$, επειδή $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$.
• Η παράσταση $y^2 - 6y + 9$ μπορεί να γραφτεί ως $(y - 3)^2$, επειδή $y^2 - 6y + 9 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2$.