Ταυτότητες: Ορισμός και Σημασία 🧮

Ορισμός και σημασία των ταυτοτήτων

Μια ταυτότητα είναι μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και είναι αληθής για όλες τις τιμές αυτών των μεταβλητών. 🤔

Υπάρχουν πολλές ταυτότητες, και μερικές από αυτές τις συναντάμε πολύ συχνά, οπότε είναι καλό να τις θυμόμαστε. 🤔 Ας δούμε μερικές αξιοσημείωτες ταυτότητες!

Τετράγωνο Αθροίσματος: $(\alpha + \beta)^2$ ➕

Η ταυτότητα του τετραγώνου αθροίσματος λέει ότι:

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

Απόδειξη:

$(\alpha + \beta)^2 = (\alpha + \beta) (\alpha + \beta) = \alpha^2 + \alpha\beta + \beta\alpha + \beta^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$.

Το κομμάτι $\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ ονομάζεται ανάπτυγμα του $(\alpha + \beta)^2$.

Για παράδειγμα:

$(y + 4)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 + 8y + 16$

$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$

Τετράγωνο Διαφοράς: $(\alpha - \beta)^2$

Η ταυτότητα του τετραγώνου διαφοράς είναι:
$(α - β)^2 = α^2 - 2αβ + β^2$

Απόδειξη:

$(α - β)^2 = (α - β)(α - β) = α^2 - αβ - βα + β^2 = α^2 - 2αβ + β^2$

Για παράδειγμα:

$(y - 4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16$

$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$

Κύβος Αθροίσματος και Κύβος Διαφοράς

Κύβος αθροίσματος:
$(α + β)^3 = α^3 + 3α^2β + 3αβ^2 + β^3$

Κύβος διαφοράς:
$(α – β)^3 = α^3 – 3α^2β + 3αβ^2 – β^3$

Παραδείγματα:

• $(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
• $(2x - 5)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 5 + 3 \cdot (2x) \cdot 5^2 - 5^3 = 8x^3 - 60x^2 + 150x - 125$

Γινόμενο Αθροίσματος επί Διαφορά: $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta)$

Η ταυτότητα "Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά" είναι:

$(α + β)(α – β) = α² - β²$

Απόδειξη:

$(α + β)(α – β) = α² - αβ + βα - β² = α² - β²$

Για παράδειγμα:

• $(x + 2)(x - 2) = x² - 2² = x² - 4$
• $(3α + 2β) (3α – 2β) = (3α)² - (2β)² = 9α² – 4β²$

Διαφορά Κύβων και Άθροισμα Κύβων 🧊

Διαφορά κύβων:

$(α – β) (α² + αβ + β²) = α³ – β³$

Άθροισμα κύβων:

$(α + β) (α² – αβ + β²) = α³ + β³$

Για παράδειγμα:

• $(x-2)(x² + 2x + 4) = (x - 2)(x² + 2x + 2²) = x³ - 2³ = x³ - 8$
• $(x + 3) (x² - 3x + 9) = (x + 3)(x² - 3x + 3²) = x³ + 3³ = x³ + 27$

Εφαρμογές των Ταυτοτήτων 🚀

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ταυτότητες στην πράξη!

Εφαρμογή 1: Απόδειξη της ταυτότητας $(\alpha + β + γ)^2$ ✅

α) Αποδεικνύουμε την ταυτότητα:
$(\alpha + β + γ)^2 = α^2 + β^2 + γ^2 + 2αβ + 2βγ + 2γα$

Ξεκινάμε γράφοντας το $(α + β + γ)^2$ ως $(α + β + γ) (α + β + γ)$.

Μετά, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του πρώτου παρενθετικού με κάθε όρο του δεύτερου παρενθετικού, που μας δίνει:

$α^2 + αβ + αγ + βα + β^2 + βγ + γα + γβ + γ^2$.

Συνδυάζοντας τους όμοιους όρους (δηλαδή $αβ$ με $βα$, $βγ$ με $γβ$ και $αγ$ με $γα$), παίρνουμε:

$α^2 + β^2 + γ^2 + 2αβ + 2βγ + 2γα$.

β) Βρίσκουμε το ανάπτυγμα του $(3x + 2y + 4)^2$.

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα που αποδείξαμε στο μέρος α), αντικαθιστούμε το $α$ με $3x$, το $β$ με $2y$ και το $γ$ με $4$.

Έτσι, έχουμε:

$(3x + 2y + 4)^2 = (3x)^2 + (2y)^2 + 4^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + 2 \cdot 2y \cdot 4 + 2 \cdot 3x \cdot 4$.

Κάνοντας τις πράξεις, παίρνουμε:

$9x^2 + 4y^2 + 16 + 12xy + 16y + 24x$.

Εφαρμογή 2: Αποδείξεις ταυτοτήτων και υπολογισμός τιμών παραστάσεων 💯

Α) Αποδεικνύουμε τις ταυτότητες:
$α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ$ και $α^3 + β^3 = (α + β)^3 - 3αβ(α + β)$.

Ξεκινάμε από το δεύτερο μέλος κάθε ταυτότητας και κάνουμε τις πράξεις:

• Για την πρώτη ταυτότητα:
  $(α + β)^2 - 2αβ = α^2 + 2αβ + β^2 - 2αβ = α^2 + β^2$ ✅
• Για τη δεύτερη ταυτότητα:
  $(α + β)^3 - 3αβ(α + β) = α^3 + 3α^2β + 3αβ^2 + β^3 - 3α^2β - 3αβ^2 = α^3 + β^3$ ✅

Β) Αν $x + \frac{2}{x} = 3$, υπολογίζουμε τις τιμές των παραστάσεων $x^2 + \frac{4}{x^2}$ και $x^3 + \frac{8}{x^3}$.

Παρατηρούμε ότι:
$x^2 + \frac{4}{x^2}$ γράφεται επίσης $x^2 + (\frac{2}{x})^2$ και $x^3 + \frac{8}{x^3}$ γράφεται επίσης $x^3 + (\frac{2}{x})^3$.

Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες από το πρώτο ερώτημα, έχουμε:

• $x^2 + \frac{4}{x^2} = (x + \frac{2}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} = 3^2 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$
• $x^3 + \frac{8}{x^3} = (x + \frac{2}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{2}{x} \cdot (x + \frac{2}{x}) = 3^3 - 3 \cdot 2 \cdot 3 = 27 - 18 = 9$

Εφαρμογή 3: Εύρεση μεταβολής εμβαδού τετραγώνου 📐

Έχουμε ένα οικόπεδο που είναι τετράγωνο. Αρχικά, κάθε πλευρά του τετραγώνου έχει μήκος $α$.

Μειώνουμε τη μία πλευρά του οικοπέδου κατά $β$ και αυξάνουμε την άλλη πλευρά κατά $β$. Θέλουμε να βρούμε πώς θα αλλάξει το εμβαδόν του οικοπέδου.

Αρχικά το εμβαδόν είναι $α^2$.

Μετά τις αλλαγές, οι πλευρές είναι $α - β$ και $α + β$.

Το νέο εμβαδόν είναι $(α - β)(α + β) = α^2 - β^2$.

Άρα, το εμβαδόν μειώθηκε κατά $β^2$.

Εφαρμογή 4: Μετατροπή κλάσματος με άρρητο παρονομαστή σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή ➗

Έχουμε το κλάσμα $\frac{2}{3 - \sqrt{5}}$. Θέλουμε να μετατρέψουμε αυτό το κλάσμα σε ένα ισοδύναμο κλάσμα, που να έχει έναν ρητό αριθμό στον παρονομαστή.

Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον αριθμό $3 + \sqrt{5}$. Αυτό γίνεται επειδή το $(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})$ είναι ίσο με $3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$, που είναι ένας ρητός αριθμός.

Έτσι, έχουμε:

$\frac{2}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Εφαρμογή 5: Απόδειξη ταυτότητας και υπολογισμός 🤔

α) Αποδεικνύουμε ότι η έκφραση $(ν – 1) (ν + 1) + 1$ είναι ίση με $ν^2$.

Ξεκινάμε με την έκφραση $(ν – 1) (ν + 1) + 1$.

Γνωρίζουμε ότι $(ν – 1) (ν + 1) = ν^2 - 1^2 = ν^2 - 1$.

Έτσι, η αρχική έκφραση γίνεται $ν^2 - 1 + 1$, η οποία απλοποιείται σε $ν^2$.

β) Αποδεικνύουμε ότι ο αριθμός $2007 \cdot 2009 + 1$ είναι το τετράγωνο ενός ακεραίου αριθμού και να βρούμε ποιος είναι αυτός ο αριθμός.
Αν θέσουμε $ν = 2008$, τότε $ν - 1 = 2007$ και $ν + 1 = 2009$.
Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα που αποδείξαμε στο πρώτο μέρος, έχουμε:
$2007 \cdot 2009 + 1 = (ν - 1) (ν + 1) + 1 = ν^2 = 2008^2$.

Για παράδειγμα:
$99 \cdot 101 = (100 - 1) (100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$
$103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10609$