Ορισμός και Ιδιότητες Δυνάμεων Πραγματικών Αριθμών 🧮

Οι δυνάμεις πραγματικών αριθμών είναι ένας εύκολος τρόπος να γράψουμε έναν πολλαπλασιασμό του ίδιου αριθμού πολλές φορές. 📝

Έχουμε έναν αριθμό $α$, που είναι πραγματικός αριθμός, και έναν αριθμό $ν$, που είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 2. Τότε, το $α^ν$ σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό $α$ με τον εαυτό του $ν$ φορές:

$α^ν = α \cdot α \cdot α \cdot ... \cdot α$

όπου έχουμε $ν$ παράγοντες.

Ιδιότητες Δυνάμεων

• $α^1 = α$
  • Παράδειγμα: $5^1 = 5$
• $α^0 = 1$, με $α \neq 0$
  • Παράδειγμα: $7^0 = 1$

• $α^{-ν} = \frac{1}{α^ν}$, με $α \neq 0$

  • Παράδειγμα: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

• $α^μ \cdot α^ν = α^{μ+ν}$ (όταν πολλαπλασιάζουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, προσθέτουμε τους εκθέτες)

  • Παράδειγμα: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

• $α^μ : α^ν = α^{μ-ν}$ (όταν διαιρούμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφαιρούμε τους εκθέτες)

  • Παράδειγμα: $3^5 : 3^3 = 3^{5-3} = 3^2 = 9$

• $(α \cdot β)^ν = α^ν \cdot β^ν$ (η δύναμη ενός γινομένου ισούται με το γινόμενο των δυνάμεων)

  • Παράδειγμα: $(2x)^2 = 2^2x^2 = 4x^2$

• $(\frac{α}{β})^ν = \frac{α^ν}{β^ν}$ (η δύναμη ενός κλάσματος ισούται με το κλάσμα των δυνάμεων)

  • Παράδειγμα: $(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

• $(α^μ)^ν = α^{μ \cdot ν}$ (δύναμη υψωμένη σε δύναμη ισούται με τη δύναμη του γινομένου των εκθετών)

  • Παράδειγμα: $(2^{-3})^{-2} = 2^{(-3) \cdot (-2)} = 2^{6} = 64$

• $(\frac{α}{β})^{-ν} = (\frac{β}{α})^ν$

  • Παράδειγμα: $(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^{4} = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$

Παραδείγματα - Εφαρμογές: Υπολογισμός παραστάσεων

(α) Έχουμε την παράσταση $\frac{(-2)^2 \cdot (-3)^3}{(3 \cdot 2^2)^2}$. Για να τη λύσουμε, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Αντικαθιστούμε τις δυνάμεις με τις τιμές τους: $\frac{(-2)^2 \cdot (-3)^3}{(3 \cdot 2^2)^2} = \frac{4 \cdot (-27)}{(3 \cdot 4)^2} = \frac{-108}{12^2} = \frac{-108}{144}$
2. Απλοποιούμε την παράσταση: $\frac{-108}{144} = -\frac{3}{4}$

(β) Έχουμε την παράσταση $x^2 \cdot (xy^2)^3 : (x^2y^3)^2$. Για να τη λύσουμε, κάνουμε τα εξής:

1. Απλοποιούμε την παράσταση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων: $\frac{x^2(xy^2)^3}{(x^2y^3)^2} = \frac{x^2 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3}{(x^2)^2 \cdot (y^3)^2} = \frac{x^5 \cdot y^6}{x^4 \cdot y^6}$
2. Διαιρούμε τα όμοια μέλη: $\frac{x^5 \cdot y^6}{x^4 \cdot y^6} = x^{5-4} \cdot y^{6-6} = x^1 \cdot y^0 = x \cdot 1 = x$

Παραδείγματα - Εφαρμογές: Υπολογισμός παραστάσεων

Στο κομμάτι "Παραδείγματα - Εφαρμογές: Υπολογισμός παραστάσεων (2)", έχουμε ένα παράδειγμα όπου πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή μιας παράστασης.

Δίνεται ότι $x^3 \cdot y^2 = -3$, και μας ζητείται να υπολογίσουμε την παράσταση $A = x^2 \cdot (x^2 \cdot y^3)^2 \cdot (x^{-1})^{-3}$.

Για να το κάνουμε αυτό, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Αντικαθιστούμε την παράσταση $A$ με τις δυνάμεις:
   $A = x^2 \cdot (x^2 \cdot y^3)^2 \cdot (x^{-1})^{-3} = x^2 \cdot (x^4 \cdot y^6) \cdot x^3$

2. Συνενώνουμε τις δυνάμεις του $x$:
   $x^2 \cdot x^4 \cdot x^3 = x^{2+4+3} = x^9$

3. Έτσι, η παράσταση γίνεται:
   $A = x^9 \cdot y^6$

4. Παρατηρούμε ότι $x^9 \cdot y^6$ μπορεί να γραφτεί ως $(x^3 \cdot y^2)^3$.

5. Γνωρίζουμε ότι $x^3 \cdot y^2 = -3$, οπότε αντικαθιστούμε:
   $A = (x^3 \cdot y^2)^3 = (-3)^3$

6. Υπολογίζουμε την τελική τιμή:
   $A = (-3)^3 = -27$

Έτσι, η τιμή της παράστασης $A$ είναι $-27$.

Παραδείγματα - Εφαρμογές: Υπολογισμός παραστάσεων

Σε αυτό το τμήμα, μαθαίνουμε πώς να υπολογίζουμε την τιμή εκφράσεων που περιέχουν διάφορες μαθηματικές πράξεις.

Έχουμε δύο παραδείγματα, την έκφραση $A$ και την έκφραση $B$.

$A = (-2)^2 \cdot (-3) + 2 \cdot 3^2 - 5^2 \cdot (-2) : 5 - 6 =$

$= 4 \cdot (-3) + 2 \cdot 9 - 25 \cdot (-2) : 5 - 6 =$

$= -12 + 18 + 50 : 5 - 6 =$

$= -12 + 18 + 10 - 6 =$

$= 6 + 10 - 6 =$

$= 16 - 6 =$

$= 10$

$B = (2 \cdot 5 - 3^2) + 2 \cdot (2^3 - 4) - 12 : (-3) =$

$= (2 \cdot 5 - 9) + 2 \cdot (8 - 4) - 12 : (-3) =$

$= (10 - 9) + 2 \cdot 4 - 12 : (-3) =$

$= 1 + 8 - (-4) =$

$= 1 + 8 + 4 =$

$= 9 + 4 =$

$= 13$

Για να λύσουμε αυτές τις εκφράσεις, ακολουθούμε την εξής σειρά:

1. Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις. ⬆️
2. Στη συνέχεια, κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. ✖️➗
3. Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. ➕➖
4. Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω. 🧮