Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Εισαγωγή στην έννοια της γραμμικής εξίσωσης
Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης αφορά εξισώσεις που έχουν δύο άγνωστους αριθμούς, συνήθως τους ονομάζουμε και . Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να γραφτούν στη μορφή , όπου , και είναι γνωστοί αριθμοί. 🤔
Για παράδειγμα, η εξίσωση είναι μια γραμμική εξίσωση. Εδώ, το είναι 2, το είναι 1 και το είναι 6.
Λύση μιας τέτοιας εξίσωσης είναι ένα ζευγάρι αριθμών (, ) που όταν τους βάλουμε στην εξίσωση, την κάνουν να είναι σωστή. Για παράδειγμα, το ζευγάρι (1, 4) είναι λύση της εξίσωσης , επειδή . Όμως, το ζευγάρι (3, 5) δεν είναι λύση, επειδή , που δεν είναι 6. 🤯
Μια γραμμική εξίσωση μπορεί να έχει πολλές λύσεις, όχι μόνο μία. Για την εξίσωση , μπορούμε να βρούμε διάφορες λύσεις, όπως:
- Όταν , τότε .
- Όταν , τότε .
- Όταν , τότε .
- Όταν , τότε .
Έτσι, τα ζεύγη (-1, 8), (0, 6), (2, 2), (3, 0) είναι λύσεις της εξίσωσης . 🎉
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Γραφική Παράσταση και Σημεία Ευθείας 📍
Όταν έχουμε ένα σύστημα αξόνων και εντοπίζουμε σημεία 📌 που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης , παρατηρούμε ότι όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία, την οποία ονομάζουμε ε.
Αντίστροφα, αν επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο πάνω στην ευθεία ε, όπως το σημείο Μ με συντεταγμένες (4, -2), διαπιστώνουμε ότι οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση , διότι . Αυτό υποδηλώνει ότι κάθε σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε έχει συντεταγμένες (x, y) που αποτελούν λύση της εξίσωσης.
Σε αυτή την περίπτωση, αναφέρουμε ότι η εξίσωση αναπαριστά την ευθεία ε και τη συμβολίζουμε ως ε: .
Γενικά:
- Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. ✅
- Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή. 💯
Για παράδειγμα, αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Ειδικές περιπτώσεις: Η εξίσωση y = k 💡
Ας σκεφτούμε την εξίσωση . Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της μορφής , όπου το . Μπορούμε να δούμε ότι, ανεξάρτητα από την τιμή του , το πάντα θα είναι . 🤔
Για παράδειγμα, τα σημεία , , είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης. ✅
Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δημιουργεί μια ευθεία γραμμή όπου όλα τα σημεία έχουν την ίδια τιμή για το , δηλαδή , ενώ το μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Έτσι, αυτή η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο . Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η ευθεία έχει εξίσωση . 💯
Γενικά, η εξίσωση , όπου το δεν είναι , παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο . Ενώ η εξίσωση παριστάνει τον άξονα . 📈
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Ειδικές περιπτώσεις: Η εξίσωση x = k
Η εξίσωση 🤔
Αν έχουμε μια εξίσωση της μορφής , μπορούμε να δούμε ότι για οποιαδήποτε τιμή του , το είναι πάντα 2. Για παράδειγμα, τα ζεύγη αριθμών , , είναι λύσεις αυτής της εξίσωσης.
Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δημιουργεί μια ευθεία γραμμή όπου όλα τα σημεία έχουν την ίδια τιμή για το , δηλαδή , ενώ το μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Έτσι, η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο .
Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η ευθεία έχει εξίσωση .
Γενικά, η εξίσωση , όπου το δεν είναι 0, παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα στο σημείο . Αντίθετα, η εξίσωση παριστάνει τον άξονα . 💯
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Γενική μορφή γραμμικής εξίσωσης με δύο αγνώστους
Η εξίσωση με
- Η εξίσωση δεν είναι ευθεία, επειδή κανένα ζευγάρι αριθμών (x, y) δεν είναι λύση της (αδύνατη εξίσωση). 🤯
- Η εξίσωση ισχύει για κάθε ζευγάρι αριθμών (x, y). Για παράδειγμα, τα ζεύγη (-1, 0), (0, 1), (2, 1), (2, 2), κ.τ.λ. είναι λύσεις της (). Όμως, τα σημεία που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Επομένως, η εξίσωση δεν είναι ευθεία. 🤔
Εξισώσεις, όπως οι , , , , , ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x, y. Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, μόνο οι τρεις πρώτες είναι ευθείες. Σε αυτές τις εξισώσεις, ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς που πολλαπλασιάζονται με τα x και y είναι διαφορετικός από το μηδέν. 🤓
Γραμμική εξίσωση με αγνώστους x, y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής και είναι ευθεία όταν το δεν είναι μηδέν ή το δεν είναι μηδέν. 🥳
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Παράδειγμα 1: Εύρεση σημείων τομής ευθείας με τους άξονες
Για να σχεδιάσουμε την ευθεία με εξίσωση , χρειαζόμαστε δύο σημεία από τα οποία διέρχεται. 💡
Αν βάλουμε , τότε στην εξίσωση έχουμε , οπότε . Αν βάλουμε , τότε στην εξίσωση έχουμε , οπότε .
Έτσι, η εξίσωση παριστάνει μια ευθεία που περνάει από τα σημεία και . 🎉
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Παράδειγμα 1β: Έλεγχος αν σημείο ανήκει σε ευθεία
Για να δούμε αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία , πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. 🤔
Στο παράδειγμα, το σημείο έχει . Για να βρούμε την του σημείου , πρέπει να ισχύει η εξίσωση της ευθείας . 💡
Λύνουμε την εξίσωση:
Άρα η τετμημένη του είναι . 🎉
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Παράδειγμα 2: Εύρεση εξίσωσης ευθείας που διέρχεται από σημείο 💡
Αυτό το παράδειγμα σου δείχνει πώς να βρεις την τιμή του σε μια και πώς να βρεις τα σημεία όπου η ευθεία τέμνει τους άξονες. 📐
Ξεκινάμε με την ευθεία . Γνωρίζουμε ότι αυτή η ευθεία περνάει από το σημείο . Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Αντικαθιστούμε το με το 2 και το με το 5 στην εξίσωση:
Λύνουμε για το :
Τώρα ξέρουμε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι .
Για να βρούμε πού η ευθεία τέμνει τον άξονα , βάζουμε στην εξίσωση:
Άρα, η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο .
Για να βρούμε πού η ευθεία τέμνει τον άξονα , βάζουμε στην εξίσωση:
Άρα, η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο . 🥳
Ο Ευκλείδης λειτουργεί μέσω τεχνητής νοημσύνης