Προσπαθούν να κρυφτούν. Εσύ πρέπει να ανακαλύψεις τις πραγματικές τους ταυτότητες. Νομίζεις ότι μπορείς να τα καταφέρεις; Γίνε ο καλύτερος κατάσκοπος με την βοήθεια της άλγεβρας 🕵🏻‍♂️

Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

# Παράδειγμα 1: Εύρεση διαστάσεων κολυμβητικής πισίνας 🏊‍♀️

Έχουμε ένα πρόβλημα με μια πισίνα. Ξέρουμε ότι:

*   Το εμβαδόν της πισίνας είναι \(400\) τετραγωνικά μέτρα (\(m^2\)).
*   Αν προσθέσουμε το μήκος και το πλάτος της πισίνας, το αποτέλεσμα είναι \(41\) μέτρα (\(m\)).

Θέλουμε να βρούμε πόσο είναι το μήκος και το πλάτος της πισίνας.

**Λύση:**

Ας πούμε ότι το μήκος της πισίνας είναι \(x\). Τότε, το πλάτος της πισίνας θα είναι \(41 - x\), επειδή το άθροισμα τους είναι \(41\).

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν της πισίνας είναι \(400 m^2\). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου (όπως η πισίνα) είναι μήκος επί πλάτος. Έτσι, έχουμε την εξίσωση:

\(x \cdot (41 - x) = 400\)

Αυτό μας δίνει:

\(41x - x^2 = 400\)

Μπορούμε να το γράψουμε και έτσι:

\(x^2 - 41x + 400 = 0\)

Αυτή είναι μια <Tooltip><TooltipTrigger>εξίσωση δευτέρου βαθμού</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια πολυωνυμική εξίσωση όπου ο υψηλότερος βαθμός του αγνώστου είναι 2.</TooltipContent></Tooltip> 🧐. Για να τη λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο της <Tooltip><TooltipTrigger>διακρίνουσας</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένας μαθηματικός όρος που καθορίζει τον αριθμό και τη φύση των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού.</TooltipContent></Tooltip> \(Δ = β^2 - 4αγ\). Στην εξίσωσή μας, \(α = 1\), \(β = -41\), και \(γ = 400\).

Έτσι, \(Δ = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81\).

Επειδή η διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη του μηδενός (\(81 > 0\)), η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Μπορούμε να βρούμε τις λύσεις με τον τύπο:

\(x = \frac{-β ± \sqrt{Δ}}{2α} = \frac{41 ± \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{41 ± 9}{2}\)

Αυτό μας δίνει δύο πιθανές λύσεις για το \(x\):

*   \(x = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25\)
*   \(x = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16\)

Αν \(x = 25\), τότε το άλλο μέγεθος είναι \(41 - 25 = 16\).
Αν \(x = 16\), τότε το άλλο μέγεθος είναι \(41 - 16 = 25\).

Σε κάθε περίπτωση, οι διαστάσεις της πισίνας είναι \(25\) μέτρα και \(16\) μέτρα. 🎉


# Παράδειγμα 2: Υπολογισμός κερδών βιοτεχνίας 💰

Ένας οικονομολόγος υπολόγισε ότι το κόστος για να κατασκευάσει μια βιοτεχνία \(x\) πουκάμισα είναι \(\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500\) ευρώ. Αν η βιοτεχνία πουλάει κάθε πουκάμισο 60 €, θέλουμε να βρούμε πόσα πουκάμισα πρέπει να πουλήσει για να κερδίσει 3500 €.

Αν η βιοτεχνία πουλήσει \(x\) πουκάμισα, θα εισπράξει \(60x\) €. Το κέρδος της θα είναι \(60x - (\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500)\) €.

Επειδή θέλουμε το κέρδος να είναι 3500 €, δημιουργούμε την εξίσωση:

\(60x - (\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500) = 3500\)

Αυτό οδηγεί στην εξίσωση:

\(60x - \frac{1}{10}x^2 - 20x - 500 = 3500\)

Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της εξίσωσης με το 10 για να απλοποιήσουμε:

\(600x - x^2 - 200x - 5000 = 35000\)

Συνενώνουμε τους <Tooltip><TooltipTrigger>όμοιους όρους</TooltipTrigger><TooltipContent>Όροι που έχουν τις ίδιες μεταβλητές υψωμένες στις ίδιες δυνάμεις.</TooltipContent></Tooltip> και μεταφέρουμε όλα τα μέλη στην μία πλευρά για να δημιουργήσουμε μια <Tooltip><TooltipTrigger>τετραγωνική εξίσωση</TooltipTrigger><TooltipContent>Εξίσωση της μορφής ax^2 + bx + c = 0, όπου a, b, και c είναι σταθερές και a ≠ 0.</TooltipContent></Tooltip>:

\(x^2 - 400x + 40000 = 0\)


Βασική Θεωρία

# Εφαρμογές των Εξισώσεων Δευτέρου Βαθμού στην Πράξη 🧮

Οι εξισώσεις δευτέρου βαθμού δεν είναι απλώς μαθηματικά σύμβολα! Μπορούν να μας βοηθήσουν να λύσουμε προβλήματα που συναντάμε στην καθημερινή ζωή, από την οικονομία 💰 μέχρι τη φυσική 🚀. Ας δούμε πώς!


### Παράδειγμα 1: Εύρεση διαστάσεων κολυμβητικής πισίνας 🏊‍♀️

Έχουμε μια πισίνα με:

*   Εμβαδόν: \(400\) τετραγωνικά μέτρα (\(m^2\))
*   Άθροισμα μήκους και πλάτους: \(41\) μέτρα (\(m\))

Θέλουμε να βρούμε το μήκος και το πλάτος της πισίνας.

### **Λύση:**

Ας πούμε ότι το μήκος της πισίνας είναι \(x\). Τότε, το πλάτος της πισίνας θα είναι \(41 - x\), επειδή το άθροισμά τους είναι \(41\).

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν της πισίνας είναι \(400 m^2\). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι μήκος επί πλάτος. Έτσι, έχουμε την εξίσωση:

\(x \cdot (41 - x) = 400\)

Αυτό μας δίνει:

\(41x - x^2 = 400\)

Μπορούμε να το γράψουμε και έτσι:

\(x^2 - 41x + 400 = 0\)

Αυτή είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Για να τη λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο της διακρίνουσας \(Δ = β^2 - 4αγ\). Στην εξίσωσή μας, \(α = 1\), \(β = -41\), και \(γ = 400\).

Έτσι, \(Δ = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81\).

Επειδή η διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη του μηδενός (\(81 > 0\)), η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Μπορούμε να βρούμε τις λύσεις με τον τύπο:

\(x = \frac{-β \pm \sqrt{Δ}}{2α} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{41 \pm 9}{2}\)

Αυτό μας δίνει δύο πιθανές λύσεις για το \(x\):

*   \(x = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25\)
*   \(x = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16\)

Αν \(x = 25\), τότε το άλλο μέγεθος είναι \(41 - 25 = 16\).
Αν \(x = 16\), τότε το άλλο μέγεθος είναι \(41 - 16 = 25\).

Σε κάθε περίπτωση, οι διαστάσεις της πισίνας είναι \(25\) μέτρα και \(16\) μέτρα.

### Παράδειγμα 2: Υπολογισμός κερδών βιοτεχνίας 👕

Ένας οικονομολόγος υπολόγισε ότι το κόστος για να κατασκευάσει μια βιοτεχνία \(x\) πουκάμισα είναι \(\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500\) ευρώ. Αν η βιοτεχνία πουλάει κάθε πουκάμισο \(60\) €, θέλουμε να βρούμε πόσα πουκάμισα πρέπει να πουλήσει για να κερδίσει \(3500\) €.

### Λύση:

Αν η βιοτεχνία πουλήσει \(x\) πουκάμισα, θα εισπράξει \(60x\) €. Το κέρδος της θα είναι 

\(60x - (\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500)\) €.

Επειδή θέλουμε το κέρδος να είναι \(3500\) €, έχουμε την εξίσωση 

\(60x - (\frac{1}{10}x^2 + 20x + 500) = 3500\) ή 

\(60x - \frac{1}{10}x^2 - 20x - 500 = 3500\), 

\(600x - x^2 - 200x - 5000 = 35000\), 

\(x^2 - 400x + 40000 = 0\).

Η διακρίνουσα είναι \(\Delta = \beta^2 - 4αγ = (-400)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40000 = 160000 - 160000 = 0\).

Άρα η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, την \(x = \frac{-\beta}{2α} = \frac{400}{2 \cdot 1} = 200\).

Επομένως, για να κερδίσει η βιοτεχνία \(3500\) €, πρέπει να πουλήσει \(200\) πουκάμισα.

<Alert title='Προσοχή!'>
  Να ελέγχετε πάντα τις μονάδες μέτρησης 📏 και να βεβαιώνεστε ότι είναι συνεπείς σε όλη την εξίσωση.
</Alert>


Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία