Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Εισαγωγή στην επίλυση εξισώσεων της μορφής αx + β = 0
Αυτό το κεφάλαιο μας εισάγει στην επίλυση εξισώσεων που έχουν τη μορφή . 🧮
Τι είναι εξίσωση πρώτου βαθμού; 🤔
Έχουμε ξαναδεί εξισώσεις όπως ή . Αυτές οι εξισώσεις έχουν έναν άγνωστο αριθμό (συνήθως συμβολίζεται με ή ), και ο μεγαλύτερος εκθέτης του άγνωστου είναι το 1. Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται εξισώσεις 1ου βαθμού με έναν άγνωστο, ή αλλιώς .
Λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης 💡
Για παράδειγμα, στην εξίσωση , ο αριθμός που κάνει την εξίσωση αληθινή είναι το . Αυτός ο αριθμός, το 4, ονομάζεται ή της εξίσωσης.
Εξισώσεις που δεν έχουν λύση ή έχουν άπειρες λύσεις 🤯
Υπάρχουν και εξισώσεις όπως ή . Στην πρώτη περίπτωση, , δεν υπάρχει κανένας αριθμός που να μπορείς να βάλεις στη θέση του και να κάνει την εξίσωση αληθινή, γιατί το είναι πάντα 0 και δεν μπορεί να είναι . Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται .
Στην εξίσωση , οποιοσδήποτε αριθμός και να βάλεις στη θέση του , η εξίσωση είναι πάντα αληθινή. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται ή .
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Συμπεράσματα για την επίλυση της εξίσωσης αx + β = 0
Από τα προηγούμενα παραδείγματα συμπεραίνουμε ότι:
- Αν , τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση την . 💯
- Αν , τότε η εξίσωση γράφεται και
- αν , δεν έχει λύση (), ενώ 😟
- αν , κάθε αριθμός είναι λύση της ( ή ). 😎
Με απλά λόγια:
Αν έχουμε μια εξίσωση της μορφής , τότε:
- Αν το δεν είναι μηδέν, μπορούμε να βρούμε μια μοναδική λύση για το . 🤓
- Αν το είναι μηδέν, τότε η εξίσωση γίνεται .
- Αν το δεν είναι μηδέν, τότε δεν υπάρχει λύση. 😥
- Αν το είναι μηδέν, τότε οποιοσδήποτε αριθμός είναι λύση. 🎉
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Παράδειγμα 1: Επίλυση εξίσωσης με κλάσματα
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να λύσουμε μια εξίσωση που έχει κλάσματα. ➗
Το πρόβλημα:
Θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση . 🤔
Λύση:
Πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π.: Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέρη της εξίσωσης με το (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών, που είναι το 6. Έτσι, έχουμε:
Απαλείφουμε τους παρονομαστές: Αφού πολλαπλασιάσουμε, απλοποιούμε και φεύγουν οι παρονομαστές:
Κάνουμε τις πράξεις: Ανοίγουμε τις παρενθέσεις κάνοντας τις πράξεις:
Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους: Μεταφέρουμε τους όρους με στο ένα μέρος και τους αριθμούς στο άλλο:
Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων: Συνδυάζουμε τους όμοιους όρους:
Διαιρούμε: Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του , που είναι το -5:
Άρα, η λύση της εξίσωσης είναι . 🎉
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Παράδειγμα 2: Επίλυση εξισώσεων 🧮
Στο Παράδειγμα 2, πρέπει να λύσουμε τις εξισώσεις. 🤔
Έχουμε δύο εξισώσεις:
α)
Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, κάνουμε τα εξής βήματα:
- Πολλαπλασιάζουμε το 3 με το και το 2 μέσα στην παρένθεση:
- Αφαιρούμε το και από τα δύο μέλη και αλλάζουμε πλευρά τους αριθμούς:
- Απλοποιούμε:
Επειδή δεν υπάρχει λύση για το που να κάνει την εξίσωση αληθινή, η εξίσωση είναι . 😥
β)
Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, κάνουμε τα εξής βήματα:
- Πολλαπλασιάζουμε το 2 με το και το -1 μέσα στην παρένθεση:
- Αφαιρούμε το και από τα δύο μέλη και αλλάζουμε πλευρά τους αριθμούς:
- Απλοποιούμε:
Επειδή οποιαδήποτε τιμή του κάνει την εξίσωση αληθινή, η εξίσωση είναι . 🎉
Ο Ευκλείδης λειτουργεί μέσω τεχνητής νοημσύνης