Προσπαθούν να κρυφτούν. Εσύ πρέπει να ανακαλύψεις τις πραγματικές τους ταυτότητες. Νομίζεις ότι μπορείς να τα καταφέρεις; Γίνε ο καλύτερος κατάσκοπος με την βοήθεια της άλγεβρας 🕵🏻‍♂️

Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

# Εισαγωγή στα Μονώνυμα και τις Πράξεις με Μονώνυμα 🧮

Στην ενότητα αυτή μαθαίνουμε:

*   Τι είναι μια <Tooltip><TooltipTrigger>αλγεβρική παράσταση</TooltipTrigger><TooltipContent>Έκφραση που περιέχει αριθμούς και γράμματα (μεταβλητές).</TooltipContent></Tooltip> και πώς βρίσκουμε την αριθμητική της τιμή. 🤔
*   Πώς να ξεχωρίζουμε αν μια αλγεβρική παράσταση είναι <Tooltip><TooltipTrigger>μονώνυμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Αλγεβρική παράσταση με έναν μόνο όρο.</TooltipContent></Tooltip> και πώς να βρίσκουμε τον βαθμό του. 🤓
*   Πώς να κάνουμε πράξεις με μονώνυμα. ➕➖➗

**Αλγεβρικές παραστάσεις**

Μερικές φορές, όταν λύνουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που έχουν μόνο αριθμούς. Αυτές ονομάζονται **αριθμητικές παραστάσεις**. Για παράδειγμα, \(6 \cdot 5 + 2 \cdot 8\) και \(2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 8\) είναι αριθμητικές παραστάσεις.

Άλλες φορές, καταλήγουμε σε εκφράσεις που έχουν και αριθμούς και γράμματα (μεταβλητές). Αυτές ονομάζονται **αλγεβρικές παραστάσεις**. Για παράδειγμα, \(4x\), \(2α + 2β\), \(x^2\), \(αβ\), \(\frac{2x}{y^3}\) και \(2x^2 + xy\) είναι αλγεβρικές παραστάσεις.

Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια όταν έχει μόνο προσθέσεις και πολλαπλασιασμούς μεταξύ των μεταβλητών, και οι εκθέτες των μεταβλητών είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Για παράδειγμα, \(2x + 3x^2\), \(\frac{1}{2}α + β^2\) και \(\frac{4}{3}πR^3\) είναι **ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις**.

Αντικαθιστούμε τις μεταβλητές μιας αλγεβρικής παράστασης με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, το αποτέλεσμα που βρίσκουμε είναι η <Tooltip><TooltipTrigger>αριθμητική τιμή</TooltipTrigger><TooltipContent>Η τιμή που προκύπτει όταν αντικαθιστούμε τις μεταβλητές με αριθμούς.</TooltipContent></Tooltip> της παράστασης. Για παράδειγμα, στην παράσταση \(2x^2 + xy\), αν \(x = 5\) και \(y = 8\), τότε η τιμή της παράστασης είναι \(2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 8 = 90\). 💯


# Ορισμός Μονωνύμου, Συντελεστής, Κύριο Μέρος και Βαθμός Μονωνύμου

Ένα <Tooltip><TooltipTrigger>μονώνυμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Αλγεβρική παράσταση που αποτελείται μόνο από πολλαπλασιασμούς μεταξύ ενός αριθμού και κάποιων μεταβλητών υψωμένων σε διάφορες δυνάμεις.</TooltipContent></Tooltip> είναι μια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται μόνο από πολλαπλασιασμούς μεταξύ ενός αριθμού και κάποιων μεταβλητών (όπως τα \(x\), \(y\), \(z\)) υψωμένων σε διάφορες δυνάμεις. Για παράδειγμα, τα \(4x\), \(x^2\), \(\frac{2}{3}αβ\) και \(\sqrt{2}x^4y^2w^3\) είναι μονώνυμα. 💡

Σε ένα μονώνυμο, ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με τις μεταβλητές ονομάζεται "<Tooltip><TooltipTrigger>συντελεστής</TooltipTrigger><TooltipContent>Ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με τις μεταβλητές σε ένα μονώνυμο.</TooltipContent></Tooltip>". Το κομμάτι του μονωνύμου που περιέχει τις μεταβλητές με τους εκθέτες τους ονομάζεται "<Tooltip><TooltipTrigger>κύριο μέρος</TooltipTrigger><TooltipContent>Το τμήμα του μονωνύμου που περιέχει τις μεταβλητές με τους εκθέτες τους.</TooltipContent></Tooltip>". Για παράδειγμα, στο μονώνυμο \(2x^3y\), το 2 είναι ο συντελεστής και το \(x^3y\) είναι το κύριο μέρος.

Ο "<Tooltip><TooltipTrigger>βαθμός</TooltipTrigger><TooltipContent>Ο εκθέτης μιας μεταβλητής σε ένα μονώνυμο ή το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών.</TooltipContent></Tooltip>" ενός μονωνύμου ως προς μια συγκεκριμένη μεταβλητή είναι ο εκθέτης αυτής της μεταβλητής. Αν μια μεταβλητή δεν έχει εκθέτη, θεωρούμε ότι ο εκθέτης είναι 1 (π.χ. \(x = x^1\)). Ο βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών.

Για παράδειγμα, στο μονώνυμο \(2x^3y\):
*   Είναι 3ου βαθμού ως προς το \(x\) (επειδή ο εκθέτης του \(x\) είναι 3).
*   Είναι 1ου βαθμού ως προς το \(y\) (επειδή ο εκθέτης του \(y\) είναι 1).
*   Είναι 4ου βαθμού ως προς τα \(x\) και \(y\) μαζί (επειδή \(3 + 1 = 4\)).

Μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται "όμοια". Για παράδειγμα, τα μονώνυμα \(\frac{2}{5}x^3yω^2\), \(-5x^3yω^2\) και \(x^3yω^2\) είναι όμοια. 👯

Όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή είναι ίσα. Αν έχουν αντίθετους συντελεστές, ονομάζονται "αντίθετα". Για παράδειγμα, τα μονώνυμα \(2x^3y\) και \(-2x^3y\) είναι αντίθετα. ➕➖


# Σταθερά Μονώνυμα 🧮

Οι αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν ως μονώνυμα, και ονομάζονται σταθερά μονώνυμα. Ο αριθμός 0 είναι ένα ειδικό σταθερό μονώνυμο που ονομάζεται <Tooltip><TooltipTrigger>μηδενικό μονώνυμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα σταθερό μονώνυμο που ισούται με το μηδέν και δεν έχει βαθμό.</TooltipContent></Tooltip> και δεν έχει βαθμό. Όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα έχουν βαθμό 0. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι ένα σταθερό μονώνυμο με βαθμό 0. 💯


# Παράδειγμα - Εφαρμογή 1: Αριθμητική τιμή αλγεβρικής παράστασης


Να βρεθεί η αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

α) \(-3x^2y^3\), για \(x = -2\) και \(y = -1\)

β) \(2α^2 - 3β + 6\) για \(α = -3\) και \(β = 8\).

###Λύση

α) Η αριθμητική τιμή της παράστασης \(-3x^2y^3\) για \(x = -2\) και \(y = -1\) είναι:

\(-3 \cdot (-2)^2 \cdot (-1)^3 = -3 \cdot (+4) \cdot (-1) = 12\).

β) Η αριθμητική τιμή της παράστασης \(2α^2 - 3β + 6\) για \(α = -3\) και \(β = 8\) είναι:

\(2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot 8 + 6 = 2 \cdot (+9) - 24 + 6 = 18 - 24 + 6 = 0\).

**Επεξήγηση:**

Σε αυτό το παράδειγμα, μας ζητείται να βρούμε την αριθμητική τιμή κάποιων <Tooltip><TooltipTrigger>αλγεβρικών παραστάσεων</TooltipTrigger><TooltipContent>Μαθηματικές εκφράσεις που περιέχουν αριθμούς, μεταβλητές και πράξεις.</TooltipContent></Tooltip>. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να αντικαταστήσουμε τα γράμματα (<Tooltip><TooltipTrigger>μεταβλητές</TooltipTrigger><TooltipContent>Σύμβολα που αντιπροσωπεύουν άγνωστες ή μεταβαλλόμενες ποσότητες.</TooltipContent></Tooltip>) με τους αριθμούς που μας δίνουν και να κάνουμε τις πράξεις. 🧮

*   **Παράδειγμα α):** Έχουμε την παράσταση \(-3x^2y^3\). Μας λένε ότι το \(x\) είναι \(-2\) και το \(y\) είναι \(-1\). Άρα, αντικαθιστούμε:

    *   \(-3 \cdot (-2)^2 \cdot (-1)^3\)
    *   Πρώτα υπολογίζουμε τις <Tooltip><TooltipTrigger>δυνάμεις</TooltipTrigger><TooltipContent>Μαθηματική πράξη που υποδηλώνει την επανειλημμένη πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με τον εαυτό του.</TooltipContent></Tooltip>: \((-2)^2 = 4\) και \((-1)^3 = -1\)
    *   Μετά κάνουμε τις πράξεις: \(-3 \cdot 4 \cdot (-1) = 12\)

*   **Παράδειγμα β):** Έχουμε την παράσταση \(2α^2 - 3β + 6\). Μας λένε ότι το \(α\) είναι \(-3\) και το \(β\) είναι \(8\). Άρα, αντικαθιστούμε:

    *   \(2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot 8 + 6\)
    *   Πρώτα υπολογίζουμε την δύναμη: \((-3)^2 = 9\)
    *   Μετά κάνουμε τις πράξεις: \(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 + 6 = 18 - 24 + 6 = 0\)

Έτσι, βρίσκουμε την αριθμητική τιμή κάθε παράστασης αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τους αριθμούς που μας δίνουν και κάνοντας τις πράξεις με τη σωστή σειρά. 🎉


# Παράδειγμα - Εφαρμογή 2: Υπολογισμός ιδανικού βάρους 🏋️‍♀️

Το ιδανικό βάρος \(B\) (σε κιλά) ενός ενήλικα, με ύψος \(υ\) (σε εκατοστά), μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

\(B = κ \cdot (υ - 100 + \frac{t}{10})\),

όπου \(t\) είναι η ηλικία του ατόμου (σε έτη) και \(κ\) είναι μια <Tooltip><TooltipTrigger>σταθερά</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια τιμή που δεν αλλάζει.</TooltipContent></Tooltip>. Για τους άνδρες, \(κ = 0,9\), ενώ για τις γυναίκες, \(κ = 0,8\).

### Λύση:

Για να βρούμε το ιδανικό βάρος ενός άνδρα και μιας γυναίκας, και οι δύο 30 ετών με ύψος 1,77 μέτρα (177 εκατοστά), κάνουμε τα εξής:

*   **Για τον άνδρα:**

    \(B = 0,9 \cdot (177 - 100 + \frac{30}{10}) = 0,9 \cdot (177 - 100 + 3) = 0,9 \cdot 80 = 72\) κιλά.
*   **Για τη γυναίκα:**

    \(B = 0,8 \cdot (177 - 100 + \frac{30}{10}) = 0,8 \cdot (177 - 100 + 3) = 0,8 \cdot 80 = 64\) κιλά.

Έτσι, το ιδανικό βάρος για τον άνδρα είναι 72 κιλά και για τη γυναίκα είναι 64 κιλά. 🎉


# Εισαγωγή στις Πράξεις με Μονώνυμα

##**Πράξεις με μονώνυμα**

Τα μονώνυμα περιέχουν γράμματα (<Tooltip><TooltipTrigger>μεταβλητές</TooltipTrigger><TooltipContent>Σύμβολα που αντιπροσωπεύουν αριθμούς.</TooltipContent></Tooltip>) που αντιπροσωπεύουν αριθμούς. Όταν κάνουμε πράξεις με μονώνυμα, ισχύουν οι ίδιοι κανόνες που ισχύουν και για τους αριθμούς. ➕➖➗✖️

### **Πρόσθεση μονωνύμων**

Όταν προσθέτουμε <Tooltip><TooltipTrigger>όμοια μονώνυμα</TooltipTrigger><TooltipContent>Μονώνυμα που έχουν τα ίδια γράμματα με τους ίδιους εκθέτες.</TooltipContent></Tooltip> (δηλαδή μονώνυμα που έχουν τα ίδια γράμματα με τους ίδιους εκθέτες), μπορούμε να τα γράψουμε χρησιμοποιώντας την <Tooltip><TooltipTrigger>επιμεριστική ιδιότητα</TooltipTrigger><TooltipContent>Ιδιότητα που επιτρέπει τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα άθροισμα.</TooltipContent></Tooltip>.

Για παράδειγμα, \( -5x^3 + 2x^3 = (-5 + 2)x^3 = -3x^3 \).

Πρέπει να θυμόμαστε ότι όταν προσθέτουμε όμοια μονώνυμα, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο μονώνυμο που είναι όμοιο με τα αρχικά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους.💡

Για παράδειγμα, \( -12x^2y - 3x^2y = -15x^2y \).

Αν τα μονώνυμα δεν είναι όμοια, όπως τα \(3x\) και \(5y\), τότε δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε και το άθροισμά τους \(3x + 5y\) δεν είναι μονώνυμο.

### **Πολλαπλασιασμός μονωνύμων**

Όταν πολλαπλασιάζουμε μονώνυμα, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και των δυνάμεων. 💪

Για παράδειγμα, \( (-2x)(3x^2y) = (-2) \cdot 3 \cdot (x \cdot x^2) \cdot y = -6x^3y \).

Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει:

*   Συντελεστή: το γινόμενο των συντελεστών των μονωνύμων που πολλαπλασιάζουμε.
*   Κύριο μέρος: το γινόμενο όλων των μεταβλητών με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της.

Για παράδειγμα, \( (-3x^4y^3w)(\frac{2}{5}xw^3) = -\frac{6}{5}x^5y^3w^4 \).

### **Διαίρεση μονωνύμων**

Η διαίρεση μονωνύμων γίνεται όπως και η διαίρεση αριθμών.

Για παράδειγμα, \( (-12x^4yw^2) : (4x^2yw) = -\frac{12}{4} \cdot \frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y}{y} \cdot \frac{w^2}{w} = -3x^2w \).

Στο πρώτο παράδειγμα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι μονώνυμο, ενώ στο δεύτερο παράδειγμα δεν είναι.


# Πρόσθεση Ομοίων Μονωνύμων

Η πρόσθεση <Tooltip><TooltipTrigger>μονωνύμων</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από έναν μόνο όρο.</TooltipContent></Tooltip> είναι μια πράξη που γίνεται όταν έχουμε όμοια μονώνυμα. ➕

Για παράδειγμα, αν έχουμε τα μονώνυμα \(-5x^3\) και \(2x^3\), μπορούμε να τα προσθέσουμε χρησιμοποιώντας την <Tooltip><TooltipTrigger>επιμεριστική ιδιότητα</TooltipTrigger><TooltipContent>Η ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα.</TooltipContent></Tooltip>:

\( -5x^3 + 2x^3 = (-5 + 2)x^3 = -3x^3 \)

Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι όταν προσθέτουμε όμοια μονώνυμα, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο μονώνυμο που είναι όμοιο με τα αρχικά. 😮 Ο <Tooltip><TooltipTrigger>συντελεστής</TooltipTrigger><TooltipContent>Ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου.</TooltipContent></Tooltip> του νέου μονωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αρχικών μονωνύμων.

Έτσι, το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο. 👍

Για παράδειγμα: \(-12x^2y - 3x^2y = -15x^2y\).

Αν τα μονώνυμα δεν είναι όμοια, όπως τα \(3x\) και \(5y\), τότε δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε και το άθροισμά τους \(3x + 5y\) δεν είναι μονώνυμο. 🚫


# Πολλαπλασιασμός Μονωνύμων

**Πολλαπλασιασμός μονωνύμων** 🧮

Όταν πολλαπλασιάζουμε <Tooltip><TooltipTrigger>μονώνυμα</TooltipTrigger><TooltipContent>Μαθηματική έκφραση που αποτελείται από έναν μόνο όρο.</TooltipContent></Tooltip>, όπως για παράδειγμα \( (-2x) \) και \( (3x^2y) \), χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και των δυνάμεων. Έτσι, το γινόμενο \( (-2x)(3x^2y) \) μπορεί να γραφτεί ως:

\( (-2x)(3x^2y) = (-2) \cdot x \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y = (-2) \cdot 3 \cdot (x \cdot x^2) \cdot y = -6x^3y \)

Σημαντικό:
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο μονωνύμων είναι και πάλι ένα μονώνυμο. Αυτό το μονώνυμο έχει:

*   Συντελεστή που είναι το γινόμενο των συντελεστών των αρχικών μονωνύμων.
*   Κύριο μέρος που είναι το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους, όπου κάθε μεταβλητή έχει εκθέτη που προκύπτει από το άθροισμα των εκθετών της. ➕


# Διαίρεση Μονωνύμων

Η διαίρεση μονωνύμων γίνεται με τον ίδιο τρόπο που κάνουμε τη διαίρεση στους αριθμούς. ➗

Για παράδειγμα:
\( (-12x^4yw^2) : (4x^2yw) = \frac{-12x^4yw^2}{4x^2yw} = -\frac{12}{4} \cdot \frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y}{y} \cdot \frac{w^2}{w} = -3x^2w \)

Ένα άλλο παράδειγμα είναι:
\( (7xy^4) : (-x^3y) = \frac{7xy^4}{-x^3y} = -\frac{7y^3}{x^2} \)

Στο πρώτο παράδειγμα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης (πηλίκο) είναι ένα <Tooltip><TooltipTrigger>μονώνυμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από έναν μόνο όρο.</TooltipContent></Tooltip>, ενώ στο δεύτερο παράδειγμα δεν είναι. 😮


# Παράδειγμα - Εφαρμογή 1: Πράξεις με Μονώνυμα 🧮

Το πρώτο παράδειγμα αφορά πράξεις με <Tooltip><TooltipTrigger>μονώνυμα</TooltipTrigger><TooltipContent>Αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από έναν μόνο όρο.</TooltipContent></Tooltip>. Έχουμε τρεις περιπτώσεις:

α) Πρέπει να απλοποιήσουμε την έκφραση \(-7ax^2 - \frac{1}{2}ax^2 + 4ax^2\).
   *   Αυτό γίνεται προσθέτοντας τους συντελεστές των όμοιων μονωνύμων: \((-7 - \frac{1}{2} + 4)ax^2\).
   *   Κάνοντας τις πράξεις μέσα στην παρένθεση, έχουμε: \((-\frac{14}{2} - \frac{1}{2} + \frac{8}{2})ax^2\).
   *   Το αποτέλεσμα είναι: \(-\frac{7}{2}ax^2\).

β) Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα μονώνυμα \((-\frac{2}{3}xy^2) \cdot (-\frac{1}{4}x^3y^2)\).
   *   Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές και προσθέτουμε τους εκθέτες των ίδιων μεταβλητών: \(\frac{2}{12}x^4y^4\).
   *   Απλοποιώντας, έχουμε: \(\frac{1}{6}x^4y^4\).

γ) Πρέπει να διαιρέσουμε τα μονώνυμα \((\frac{3}{4}α^3β) : (-\frac{1}{2}αβ^3)\).
   *   Αυτό γίνεται πολλαπλασιάζοντας το πρώτο μονώνυμο με το <Tooltip><TooltipTrigger>αντίστροφο</TooltipTrigger><TooltipContent>Αντιστρέφουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος.</TooltipContent></Tooltip> του δεύτερου: \(\frac{3α^3β}{4} \cdot (-\frac{2}{αβ^3})\).
   *   Πολλαπλασιάζουμε και απλοποιούμε: \(-\frac{6α^3β}{4αβ^3}\).
   *   Το αποτέλεσμα είναι: \(-\frac{3α^2}{2β^2}\). 🎉


Βασική Θεωρία

# Εισαγωγή στα Μονώνυμα και τις Πράξεις με Μονώνυμα 🧮

Σε αυτό το άρθρο, θα εξερευνήσουμε τον μαγικό κόσμο των μονωνύμων και των πράξεων που μπορούμε να κάνουμε με αυτά! Θα μάθουμε τι είναι μια αλγεβρική παράσταση, πώς να ξεχωρίζουμε τα μονώνυμα και πώς να τα προσθέτουμε, να τα αφαιρούμε, να τα πολλαπλασιάζουμε και να τα διαιρούμε. Ετοιμαστείτε για ένα συναρπαστικό ταξίδι στα μαθηματικά! 🚀

## Αλγεβρικές Παραστάσεις ➕➖✖️➗

Όταν λύνουμε ένα πρόβλημα, μπορεί να συναντήσουμε εκφράσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς, όπως \(6 \cdot 5 + 2 \cdot 8\) ή \(2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 8\). Αυτές ονομάζονται **αριθμητικές παραστάσεις**.

Αλλά μερικές φορές, οι εκφράσεις περιέχουν και αριθμούς και γράμματα (μεταβλητές), όπως \(4x\), \(2α + 2β\), \(x^2\), \(αβ\), \(\frac{2x}{y^3}\) και \(2x^2 + xy\). Αυτές ονομάζονται **αλγεβρικές παραστάσεις**. 💡

<Fact title="Γνωρίζατε ότι; 🤔">
Οι αλγεβρικές παραστάσεις χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σχέσεις και μοτίβα στον κόσμο γύρω μας!
</Fact>

Μια αλγεβρική παράσταση ονομάζεται **ακέραια** όταν περιέχει μόνο προσθέσεις και πολλαπλασιασμούς μεταξύ των μεταβλητών, και οι εκθέτες των μεταβλητών είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Για παράδειγμα, \(2x + 3x^2\), \(\frac{1}{2}α + β^2\) και \(\frac{4}{3}πR^3\) είναι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις.

### Αριθμητική Τιμή 💯

Για να βρούμε την αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης, αντικαθιστούμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις. Για παράδειγμα, στην παράσταση \(2x^2 + xy\), αν \(x = 5\) και \(y = 8\), τότε η τιμή της παράστασης είναι \(2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 8 = 90\).

## Ορισμός Μονωνύμου 🤓

Ένα **μονώνυμο** είναι μια ειδική αλγεβρική παράσταση που αποτελείται μόνο από πολλαπλασιασμούς μεταξύ ενός αριθμού και κάποιων μεταβλητών υψωμένων σε διάφορες δυνάμεις. Για παράδειγμα, τα \(4x\), \(x^2\), \(\frac{2}{3}αβ\) και \(\sqrt{2}x^4y^2w^3\) είναι μονώνυμα.

### Συντελεστής, Κύριο Μέρος και Βαθμός 🥇

Σε ένα μονώνυμο, ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με τις μεταβλητές ονομάζεται **συντελεστής**, και το κομμάτι που περιέχει τις μεταβλητές με τους εκθέτες τους ονομάζεται **κύριο μέρος**.

Για παράδειγμα, στο μονώνυμο \(2x^3y\):

*   Το 2 είναι ο συντελεστής.
*   Το \(x^3y\) είναι το κύριο μέρος.

Ο **βαθμός** ενός μονωνύμου ως προς μια συγκεκριμένη μεταβλητή είναι ο εκθέτης αυτής της μεταβλητής. Ο βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών.

Για παράδειγμα, στο μονώνυμο \(2x^3y\):

*   Είναι 3ου βαθμού ως προς το \(x\).
*   Είναι 1ου βαθμού ως προς το \(y\).
*   Είναι 4ου βαθμού ως προς τα \(x\) και \(y\) μαζί.

<Alert title="Προσοχή!">
Αν μια μεταβλητή δεν έχει εκθέτη, θεωρούμε ότι ο εκθέτης είναι 1 (π.χ. \(x = x^1\)).
</Alert>

### Όμοια Μονώνυμα 👯

Μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται **όμοια**. Για παράδειγμα, τα μονώνυμα \(\frac{2}{5}x^3yω^2\), \(-5x^3yω^2\) και \(x^3yω^2\) είναι όμοια.

Όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή είναι ίσα. Αν έχουν αντίθετους συντελεστές, ονομάζονται **αντίθετα**. Για παράδειγμα, τα μονώνυμα \(2x^3y\) και \(-2x^3y\) είναι αντίθετα.

### Σταθερά Μονώνυμα 🔢

Οι αριθμοί μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως μονώνυμα, και τα ονομάζουμε **σταθερά μονώνυμα**. Ο αριθμός 0 είναι το **μηδενικό μονώνυμο** και δεν έχει βαθμό. Όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα έχουν βαθμό 0. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι ένα σταθερό μονώνυμο με βαθμό 0.


### Εφαρμογή 1: Αριθμητική τιμή αλγεβρικής παράστασης

Να βρεθεί η αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

α) \(-3x^2y^3\), για \(x = -2\) και \(y = -1\)

β) \(2α^2 - 3β + 6\) για \(α = -3\) και \(β = 8\)

### **Λύση:**

α) \(-3 \cdot (-2)^2 \cdot (-1)^3 = -3 \cdot (+4) \cdot (-1) = 12\)

β) \(2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot 8 + 6 = 2 \cdot (+9) - 24 + 6 = 18 - 24 + 6 = 0\)

### Εφαρμογή 2: Υπολογισμός ιδανικού βάρους

Το ιδανικό βάρος \(B\) (σε κιλά) ενός ενήλικα, με ύψος \(υ\) (σε εκατοστά), μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

\(B = κ \cdot (υ - 100 + \frac{t}{10})\),

όπου \(t\) είναι η ηλικία του ατόμου (σε έτη) και \(κ\) είναι μια σταθερά. Για τους άνδρες, \(κ = 0,9\), ενώ για τις γυναίκες, \(κ = 0,8\).

### Λύση:

Για να βρούμε το ιδανικό βάρος ενός άνδρα και μιας γυναίκας, και οι δύο 30 ετών με ύψος 1,77 μέτρα (177 εκατοστά):

*   **Για τον άνδρα:**

    \(B = 0,9 \cdot (177 - 100 + \frac{30}{10}) = 0,9 \cdot (177 - 100 + 3) = 0,9 \cdot 80 = 72\) κιλά.
*   **Για τη γυναίκα:**

    \(B = 0,8 \cdot (177 - 100 + \frac{30}{10}) = 0,8 \cdot (177 - 100 + 3) = 0,8 \cdot 80 = 64\) κιλά.



### Πρόσθεση Μονωνύμων ➕

Όταν προσθέτουμε όμοια μονώνυμα, χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα, \( -5x^3 + 2x^3 = (-5 + 2)x^3 = -3x^3 \).

<Fact title="Σημαντικό!">
Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι πάντα ένα μονώνυμο!
</Fact>

Αν τα μονώνυμα δεν είναι όμοια, όπως τα \(3x\) και \(5y\), δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε και το άθροισμά τους \(3x + 5y\) δεν είναι μονώνυμο.

### Πολλαπλασιασμός Μονωνύμων ✖️

Όταν πολλαπλασιάζουμε μονώνυμα, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και των δυνάμεων. Για παράδειγμα, \( (-2x)(3x^2y) = (-2) \cdot 3 \cdot (x \cdot x^2) \cdot y = -6x^3y \).

Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει:

*   Συντελεστή: το γινόμενο των συντελεστών των μονωνύμων που πολλαπλασιάζουμε.
*   Κύριο μέρος: το γινόμενο όλων των μεταβλητών με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της.

### Διαίρεση Μονωνύμων ➗

Η διαίρεση μονωνύμων γίνεται όπως και η διαίρεση αριθμών. Για παράδειγμα, \( (-12x^4yw^2) : (4x^2yw) = -\frac{12}{4} \cdot \frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y}{y} \cdot \frac{w^2}{w} = -3x^2w \).

<Alert title="Προσοχή!">
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης μονωνύμων δεν είναι πάντα μονώνυμο!
</Alert>


### Εφαρμογή 1: Απλοποίηση Εκφράσεων

α) \(-7ax^2 - \frac{1}{2}ax^2 + 4ax^2 = (-\frac{14}{2} - \frac{1}{2} + \frac{8}{2})ax^2 = -\frac{7}{2}ax^2\)

β) \((-\frac{2}{3}xy^2) \cdot (-\frac{1}{4}x^3y^2) = \frac{2}{12}x^4y^4 = \frac{1}{6}x^4y^4\)

γ) \((\frac{3}{4}α^3β) : (-\frac{1}{2}αβ^3) = \frac{3α^3β}{4} \cdot (-\frac{2}{αβ^3}) = -\frac{6α^3β}{4αβ^3} = -\frac{3α^2}{2β^2}\)



Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία