Νόμος των Ημιτόνων και Συνημιτόνων 📐

Ας εξερευνήσουμε τους νόμους των ημιτόνων και συνημιτόνων, που είναι πολύ χρήσιμοι για την επίλυση τριγώνων! 🚀

Νόμος των Ημιτόνων 📜

Στο παρελθόν, μάθαμε να υπολογίζουμε τις πλευρές και τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 📐, όταν γνωρίζουμε δύο πλευρές ή μια πλευρά και μια οξεία γωνία. Αλλά τι γίνεται αν το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο; 🤔

Σχεδιάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουμε το ύψος ΓΔ. Έτσι, δημιουργούνται δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα ΑΔΓ και ΓΔΒ. Από αυτά τα τρίγωνα έχουμε:

$ημA = \frac{ΓΔ}{β}$ ή $ΓΔ = βημA$ (1)

$ημB = \frac{ΓΔ}{α}$ ή $ΓΔ = αημB$ (2)

Από τις παραπάνω σχέσεις (1) και (2), προκύπτει ότι $βημA = αημB$ ή $\frac{α}{ημA} = \frac{β}{ημB}$.

Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι $\frac{β}{ημB} = \frac{γ}{ημΓ}$.

Έτσι, αποδείξαμε ότι σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ισχύει:

$\frac{α}{ημA} = \frac{β}{ημB} = \frac{γ}{ημΓ}$

Εφαρμογή Νόμου Ημιτόνων 🚀

Ο νόμος των ημιτόνων είναι ένας κανόνας που ισχύει για όλα τα τρίγωνα, ακόμα και αν είναι αμβλυγώνια ή ορθογώνια.

Γενικά, ο νόμος των ημιτόνων λέει ότι οι πλευρές ενός τριγώνου σχετίζονται με τα ημίτονα των γωνιών που βρίσκονται απέναντί τους.

Αν γνωρίζουμε μια πλευρά ενός τριγώνου, τη γωνία που είναι απέναντι από αυτή την πλευρά, και μια άλλη πλευρά ή γωνία του τριγώνου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων για να βρούμε τις υπόλοιπες πλευρές και γωνίες του τριγώνου.

Για παράδειγμα, σε ένα τρίγωνο, αν γνωρίζουμε ότι η πλευρά $α = 8$, η πλευρά $γ = 6$ και η γωνία $Α = 70°$, μπορούμε να βρούμε τη γωνία $Γ$ χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων:

$\frac{α}{ημΑ} = \frac{γ}{ημΓ}$ ή $\frac{8}{ημ70°} = \frac{6}{ημΓ}$ ή $8ημΓ = 6ημ70°$ ή $ημΓ = \frac{6ημ70°}{8}$ ή $ημΓ = \frac{6 \cdot 0,94}{8}$ ή $ημΓ = 0,705$.

Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς πίνακες, βρίσκουμε ότι η γωνία $Γ = 45°$.

Νόμος των Συνημιτόνων 📝

Ο νόμος των συνημιτόνων μας βοηθάει να λύσουμε τρίγωνα όταν γνωρίζουμε είτε και τις τρεις πλευρές, είτε δύο πλευρές και τη γωνία που σχηματίζουν. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την γωνία που σχηματίζουν, δεν μπορούμε να βρούμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου με τον νόμο των ημιτόνων, επειδή δεν γνωρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της.

Για να καταλάβουμε πώς λειτουργεί ο νόμος των συνημιτόνων, φανταζόμαστε ένα τρίγωνο και φέρνουμε το ύψος ΓΔ. Τότε, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε:

$α^2 = ΔΓ^2 + ΔΒ^2$ (1).

Επειδή $ΔΒ = γ – ΑΔ$, η ισότητα (1) γράφεται:

$α^2 = ΔΓ^2 + (γ – ΑΔ)^2$ ή $α^2 = ΔΓ^2 + γ^2 + ΑΔ^2 – 2γ \cdot ΑΔ$ (2).

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε:

$ΔΓ^2 + ΑΔ^2 = β^2$ και $συνΑ = \frac{ΑΔ}{β}$ ή $ΑΔ = βσυνΑ$.

Άρα η ισότητα (2) γράφεται: $α^2 = β^2 + γ^2 – 2βγσυνΑ$

Αυτή η σχέση ισχύει και όταν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο ή ορθογώνιο και ονομάζεται νόμος των συνημιτόνων.

Ομοίως, σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν και οι τύποι:

$β^2 = γ^2 + α^2 – 2γασυνΒ$

$γ^2 = α^2 + β^2 – 2αβσυνΓ$

Εφαρμογή Νόμου Συνημιτόνων 💡

Ο νόμος των συνημιτόνων μας λέει ότι αν σε ένα τρίγωνο γνωρίζουμε και τις τρεις πλευρές ή δύο πλευρές και τη γωνία που σχηματίζουν, μπορούμε να βρούμε τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου.

Για παράδειγμα, αν έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές $α = 9$ εκατοστά, $β = 7$ εκατοστά και $γ = 6$ εκατοστά, μπορούμε να βρούμε τις γωνίες του.

Για να βρούμε τη γωνία $\widehat{B}$, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
$β^2 = γ^2 + α^2 - 2γα \cdot συνB$

Αντικαθιστώντας τις τιμές, έχουμε:
$7^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot συνB$
$49 = 36 + 81 - 108 \cdot συνB$
$108 \cdot συνB = 68$
$συνB = \frac{68}{108} = 0,629$

Με τη βοήθεια τριγωνομετρικών πινάκων, βρίσκουμε ότι η γωνία $\widehat{B} = 51°$.

Παραδείγματα Εφαρμογής των Νόμων 📚

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα πώς χρησιμοποιούνται οι νόμοι ημιτόνων και συνημιτόνων.

Παράδειγμα 1 🥇

Έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Γνωρίζουμε ότι η γωνία $\hat{A}$ είναι 120 μοίρες, η γωνία $\hat{B}$ είναι 45 μοίρες και η πλευρά $\alpha$ είναι 30 εκατοστά. Θέλουμε να βρούμε πόσο είναι η γωνία $\hat{\Gamma}$ και η πλευρά $\beta$.

Πρώτα, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου αθροίζουν 180 μοίρες:
$\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$
$120^\circ + 45^\circ + \hat{\Gamma} = 180^\circ$
$\hat{\Gamma} = 180^\circ - 165^\circ$
$\hat{\Gamma} = 15^\circ$

Έτσι, η γωνία $\hat{\Gamma}$ είναι 15 μοίρες.

Μετά, χρησιμοποιούμε τον νόμο των ημιτόνων, ο οποίος λέει ότι:
$\frac{\alpha}{\eta \mu \hat{A}} = \frac{\beta}{\eta \mu \hat{B}}$
$\frac{30}{\eta \mu 120^\circ} = \frac{\beta}{\eta \mu 45^\circ}$

Αυτό σημαίνει ότι:
$\beta \cdot \eta \mu 120^\circ = 30 \cdot \eta \mu 45^\circ$ (1)

Γνωρίζουμε ότι $\eta \mu 120^\circ = \eta \mu (180^\circ - 60^\circ) = \eta \mu 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ και $\eta \mu 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην εξίσωση (1):

$\beta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\beta = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\beta = \frac{30\sqrt{6}}{3}$
$\beta = 10\sqrt{6}$ εκατοστά.

Παράδειγμα 2 🥈

Έχουμε δύο φάρους, τον Φ1 και τον Φ2, που απέχουν μεταξύ τους 10 μίλια. Ένα πλοίο Π βρίσκεται σε κάποια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις $x$ και $y$ του πλοίου από κάθε φάρο.

Για να το λύσουμε, πρώτα βρίσκουμε τη γωνία $ω$ στο τρίγωνο Φ1Φ2Π. Γνωρίζουμε ότι $ω + 59° + 75° = 180°$, άρα $ω = 46°$.

Χρησιμοποιούμε τον νόμο των ημιτόνων:
$\frac{10}{ημ46°} = \frac{x}{ημ75°} = \frac{y}{ημ59°}$

Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε:
$\frac{10}{ημ46°} = \frac{x}{ημ75°}$ έχουμε $x = 10 \cdot \frac{ημ75°}{ημ46°} = 10 \cdot \frac{0,966}{0,719} = 13,44$ μίλια.

Από την ισότητα $\frac{10}{ημ46°} = \frac{y}{ημ59°}$ έχουμε $y = 10 \cdot \frac{ημ59°}{ημ46°} = 10 \cdot \frac{0,857}{0,719} = 11,92$ μίλια.

Επομένως, το πλοίο Π απέχει από τον φάρο Φ1 13,44 μίλια και από τον φάρο Φ2 11,92 μίλια.

Παράδειγμα 3 🥉

Στο τρίγωνο ΑΒΓ, η γωνία $\hat{A}$ είναι 60 μοίρες, η πλευρά β είναι 4 εκατοστά και η πλευρά γ είναι 2 εκατοστά. Θέλουμε να βρούμε την πλευρά α και τις γωνίες $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$.

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων, έχουμε:
$α^2 = β^2 + γ^2 - 2βγ \cdot συνA$
$α^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot συν60°$
$α^2 = 16 + 4 - 16 \cdot \frac{1}{2}$
$α^2 = 12$
Άρα, $α = \sqrt{12}$, που σημαίνει $α = 2\sqrt{3}$ εκατοστά.

Ομοίως, για να βρούμε τη γωνία $\hat{B}$, χρησιμοποιούμε πάλι τον νόμο των συνημιτόνων:
$β^2 = γ^2 + α^2 - 2γα \cdot συνB$
$4^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot συνB$
$16 = 4 + 12 - 8\sqrt{3} \cdot συνB$
$8\sqrt{3} \cdot συνB = 0$
$συνB = 0$, οπότε $\hat{B} = 90°$.

Τέλος, γνωρίζουμε ότι οι γωνίες σε ένα τρίγωνο αθροίζουν σε 180 μοίρες:
$\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180°$
$60° + 90° + \hat{\Gamma} = 180°$
Έτσι, $\hat{\Gamma} = 30°$.