Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180° 📐

Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξερευνήσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών που κυμαίνονται από 0° έως 180°. 📐

Ας ξεκινήσουμε θυμίζοντας τι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και πώς μπορούμε να τους υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας ένα σύστημα αξόνων. 🤓

Δραστηριότητα

Έχουμε ένα σύστημα αξόνων Οxy και μια ημιευθεία ΟΜ που σχηματίζει γωνία ω με τον ημιάξονα Οx. 🤔

Πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων (το σημείο Ο). 📍
Επίσης, πρέπει να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. 🧮

Στο μάθημα της προηγούμενης τάξης, μάθαμε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται ως εξής:

ημω = $\frac{απέναντι \ κάθετη \ πλευρά}{υποτείνουσα}$ = $\frac{ΑΓ}{ΒΓ}$
συνω = $\frac{προσκείμενη \ κάθετη \ πλευρά}{υποτείνουσα}$ = $\frac{ΑΒ}{ΒΓ}$
εφω = $\frac{απέναντι \ κάθετη \ πλευρά}{προσκείμενη \ κάθετη \ πλευρά}$ = $\frac{ΑΓ}{ΑΒ}$

Γνωρίζατε ότι; 🤔

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς, όπως η αστρονομία, η μηχανική και η πλοήγηση.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας μπορούν επίσης να οριστούν με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. 📈

Για παράδειγμα, αν έχουμε ένα σημείο Μ με συντεταγμένες (4, 3) σε ένα σύστημα αξόνων Oxy και φέρουμε τις κάθετες γραμμές ΜΑ και ΜΒ στους άξονες, τότε ΟΑ = 4 και ΟΒ = ΑΜ = 3. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω = xΟΜ υπολογίζονται από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΜ.

Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκουμε ότι η απόσταση ρ = ΟΜ είναι ρ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = $\sqrt{25}$ = 5.

Έτσι, έχουμε:

ημω = $\frac{3}{5}$ = $\frac{τεταγμένη \ του \ Μ}{απόσταση \ του \ Μ \ από \ το \ Ο}$
συνω = $\frac{4}{5}$ = $\frac{τετμημένη \ του \ Μ}{απόσταση \ του \ Μ \ από \ το \ Ο}$
εφω = $\frac{3}{4}$ = $\frac{τεταγμένη \ του \ Μ}{τετμημένη \ του \ Μ}$

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180° σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων

Σε ένα σύστημα αξόνων, μπορούμε να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω, ακόμα και όταν η γωνία δεν είναι οξεία (δηλαδή μικρότερη από 90°). 💯

Αν έχουμε μια αμβλεία γωνία ω (μεταξύ 90° και 180°), τοποθετούμε τη γωνία σε ένα σύστημα αξόνων Oxy έτσι ώστε:

Η κορυφή της γωνίας να είναι στο σημείο Ο (αρχή των αξόνων). 📍
Η μία πλευρά της γωνίας να συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα Οx. ➡️
Η άλλη πλευρά της γωνίας να βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο. ⬅️

Παίρνουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Μ(x, y) πάνω στην πλευρά της γωνίας, εκτός από το σημείο Ο. Η απόσταση του Μ από το Ο ονομάζεται ρ και ισχύει:

$ρ = \sqrt{x^2 + y^2}$

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω είναι:

ημω = $\frac{τεταγμένη\space του\space Μ}{απόσταση\space του\space Μ\space από\space το\space Ο} = \frac{y}{ρ}$
συνω = $\frac{τετμημένη\space του\space Μ}{απόσταση\space του\space Μ\space από\space το\space Ο} = \frac{x}{ρ}$
εφω = $\frac{τεταγμένη\space του\space Μ}{τετμημένη\space του\space Μ} = \frac{y}{x}$

Παρατηρούμε ότι:

Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε x > 0, y > 0, ρ > 0, οπότε ημω > 0, συνω > 0, εφω > 0. ✅
Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε x < 0, y > 0, ρ > 0, οπότε ημω > 0, συνω < 0, εφω < 0. ⚠️

Οι παραπάνω τύποι ισχύουν και για γωνίες 0°, 90° και 180°.

Για ω = 0°: Το σημείο Μ είναι (1, 0), άρα ημ0° = 0, συν0° = 1, εφ0° = 0. 💯
Για ω = 90°: Το σημείο Μ είναι (0, 1), άρα ημ90° = 1, συν90° = 0, και η εφ90° δεν ορίζεται. 🤯
Για ω = 180°: Το σημείο Μ είναι (-1, 0), άρα ημ180° = 0, συν180° = -1, εφ180° = 0. 😎

Σημεία για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ανάλογα με το τεταρτημόριο

Παρατηρούμε ότι:

Αν η γωνία $ω$ είναι οξεία, τότε το $x$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $x > 0$ ), το $y$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $y > 0$ ), και το $ρ$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $ρ > 0$ ). Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο της γωνίας $ω$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $ημω > 0$ ), το συνημίτονο της γωνίας $ω$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $συνω > 0$ ), και η εφαπτομένη της γωνίας $ω$ είναι μεγαλύτερη του 0 ( $εφω > 0$ ).
Αν η γωνία $ω$ είναι αμβλεία, τότε το $x$ είναι μικρότερο του 0 ( $x < 0$ ), το $y$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $y > 0$ ), και το $ρ$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $ρ > 0$ ). Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο της γωνίας $ω$ είναι μεγαλύτερο του 0 ( $ημω > 0$ ), το συνημίτονο της γωνίας $ω$ είναι μικρότερο του 0 ( $συνω < 0$ ), και η εφαπτομένη της γωνίας $ω$ είναι μικρότερη του 0 ( $εφω < 0$ ).

Οι τύποι που είδαμε πριν ισχύουν και όταν η γωνία $ω$ είναι 0° ή 90° ή 180°. Έτσι, μπορούμε να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς για τις γωνίες 0°, 90° και 180°.

Για γωνία 0°:
- Αν το σημείο $Μ$ βρίσκεται στον ημιάξονα $Οx$ , για παράδειγμα στο σημείο $Μ(1,0)$ , τότε η γωνία $ω$ είναι 0° και η απόσταση $ρ$ είναι 1.
- $ημ0° = \frac{y}{ρ} = \frac{0}{1} = 0$
- $συν0° = \frac{x}{ρ} = \frac{1}{1} = 1$
- $εφ0° = \frac{y}{x} = \frac{0}{1} = 0$
Για γωνία 90°:
- Αν το σημείο $Μ$ βρίσκεται στον ημιάξονα $Οy$ , για παράδειγμα στο σημείο $Μ(0,1)$ , τότε η γωνία $ω$ είναι 90° και η απόσταση $ρ$ είναι 1.
- $ημ90° = \frac{y}{ρ} = \frac{1}{1} = 1$
- $συν90° = \frac{x}{ρ} = \frac{0}{1} = 0$
- $εφ90°$ δεν ορίζεται, επειδή το $x$ είναι 0.
Για γωνία 180°:
- Αν το σημείο $Μ$ βρίσκεται στον ημιάξονα $Οx'$ , για παράδειγμα στο σημείο $Μ(-1,0)$ , τότε η γωνία $ω$ είναι 180° και η απόσταση $ρ$ είναι 1.
- $ημ180° = \frac{y}{ρ} = \frac{0}{1} = 0$
- $συν180° = \frac{x}{ρ} = \frac{-1}{1} = -1$
- $εφ180° = \frac{y}{x} = \frac{0}{-1} = 0$

Υπενθύμιση τριγωνομετρικών αριθμών για 30°, 45° και 60°

Θυμόμαστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς για τις γωνίες 30°, 45° και 60°. Οι τιμές αυτών των αριθμών φαίνονται στον πίνακα: 📝

ω	30°	45°	60°
ημω	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
συνω	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
εφω	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Προσοχή!

Είναι σημαντικό να θυμάστε αυτές τις τιμές, καθώς χρησιμοποιούνται συχνά σε ασκήσεις και προβλήματα. ⚠️

Παράδειγμα 1: Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας

Το πρώτο παράδειγμα αφορά τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. 📐

Εκφώνηση:
Έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy και ένα σημείο Μ με συντεταγμένες (-4, 3). Θέλουμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, όπου ω είναι η γωνία xOM.

Λύση:

Υπολογισμός της απόστασης ΟΜ (ρ):
- Η απόσταση ΟΜ συμβολίζεται με το γράμμα ρ. 📏
- Χρησιμοποιούμε τον τύπο: $ρ = \sqrt{x^2 + y^2}$
- Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ: $ρ = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
Υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών:
- ημω (ημίτονο της γωνίας ω): $ημω = \frac{y}{ρ} = \frac{3}{5}$
- συνω (συνημίτονο της γωνίας ω): $συνω = \frac{x}{ρ} = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5}$
- εφω (εφαπτομένη της γωνίας ω): $εφω = \frac{y}{x} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$

Παράδειγμα 2: Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας 135°

Στο παράδειγμα 2, έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy. Φέρνουμε μια ημιευθεία Οζ έτσι ώστε η γωνία xOz να είναι 135°. Παίρνουμε ένα σημείο Μ πάνω στην Οζ με τετμημένη -1. Θέλουμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας xOM, η οποία είναι 135°. 📐

Για να το κάνουμε αυτό, φέρνουμε μια κάθετη γραμμή ΜΒ από το Μ στον άξονα x'x και μια κάθετη γραμμή ΜΓ από το Μ στον άξονα y'y. Επειδή η γωνία xOM είναι 135° και η γωνία xOy είναι 90°, η γωνία ΓΟΜ είναι 45°. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΟΜΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Άρα, ΟΓ = ΜΓ = ΟΒ = 1, και η τεταγμένη (y) του σημείου Μ είναι 1. Έτσι, το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (-1, 1).

Η απόσταση ρ από το Ο στο Μ είναι $ρ = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς:

ημ135° = $\frac{y}{ρ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
συν135° = $\frac{x}{ρ} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
εφ135° = $\frac{y}{x} = \frac{1}{-1} = -1$