Η Συνάρτηση $f(x)=αx+β$ 📈

Η συνάρτηση $f(x) = αx + β$ , με $α, β \in \mathbb{R}$ , λέγεται γραμμική συνάρτηση και είναι μία από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις που θα συναντήσεις στην Άλγεβρα. Η γραφική της παράσταση είναι πάντα μια ευθεία γραμμή, γι' αυτό και η μελέτη της συνδέεται στενά με τη γεωμετρία των ευθειών στο επίπεδο.

Σε αυτή την ενότητα θα μάθεις τι εκφράζει ο συντελεστής $α$ (η κλίση της ευθείας), τι εκφράζει ο σταθερός όρος $β$ , πώς αλλάζει η μορφή της ευθείας σε ειδικές περιπτώσεις, πώς υπολογίζεις την κλίση από δύο σημεία, και πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Ο συντελεστής διεύθυνσης (κλίση) μιας ευθείας 🧐

Πριν μελετήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = αx + β$ , χρειάζεται να καταλάβουμε πώς περιγράφουμε πόσο "γέρνει" μια ευθεία μέσα σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Έστω μια ευθεία $ε$ σε ένα σύστημα αξόνων $Oxy$ , η οποία τέμνει τον άξονα $x'x$ σε ένα σημείο $Α$ . Φαντάσου την ημιευθεία $Αx$ (δηλαδή το κομμάτι του άξονα $x'x$ που ξεκινά από το $Α$ και πηγαίνει προς τα δεξιά). Αν περιστρέψεις αυτή την ημιευθεία γύρω από το $Α$ , προς τη θετική φορά (αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού), μέχρι να συμπέσει με την ευθεία $ε$ , τότε η γωνία που διαγράφεται λέγεται γωνία $ω$ που σχηματίζει η $ε$ με τον άξονα $x'x$ . Ισχύει πάντα $0° \leq ω < 180°$ .

Ορίζουμε ως συντελεστή διεύθυνσης (ή κλίση) της ευθείας $ε$ την εφαπτομένη της γωνίας $ω$ :

λ = εφω

Τον συντελεστή διεύθυνσης συνήθως τον συμβολίζουμε με $λ$ , αλλά πολύ συχνά —ειδικά όταν μιλάμε για τη γραφική παράσταση συνάρτησης— τον συμβολίζουμε με το γράμμα α.

Γιατί άλλοτε λ και άλλοτε α;

Το $λ$ (λάμδα) είναι ο γενικός γεωμετρικός συμβολισμός για την κλίση οποιασδήποτε ευθείας. Όταν όμως η ευθεία είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής $y = αx + β$ , το $α$ παίζει ακριβώς τον ρόλο του $λ$ . Γι' αυτό στο κεφάλαιο αυτό θα χρησιμοποιούμε σχεδόν αποκλειστικά το $α$ .

Το πρόσημο της κλίσης εξαρτάται άμεσα από το είδος της γωνίας $ω$ :

Γωνία $ω$	Είδος γωνίας	Πρόσημο κλίσης
$0° < ω < 90°$	οξεία	$α > 0$ (θετική) 👍
$90° < ω < 180°$	αμβλεία	$α < 0$ (αρνητική) 👎
$ω = 0°$	μηδενική (η ευθεία είναι παράλληλη στον $x'x$ ή συμπίπτει μαζί του)	$α = 0$
$ω = 90°$	ορθή (η ευθεία είναι κάθετη στον $x'x$ )	δεν ορίζεται κλίση

Προσοχή στις κάθετες ευθείες

Όταν μια ευθεία είναι κάθετη στον άξονα $x'x$ (δηλαδή $ω = 90°$ ), η εφαπτομένη $εφ90°$ δεν ορίζεται. Άρα η κάθετη ευθεία δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης — δεν μπορεί να γραφτεί στη μορφή $y = αx + β$ . Οι ευθείες αυτής της μορφής είναι πάντα «πλάγιες» ή οριζόντιες, ποτέ κατακόρυφες.

Η γραφική παράσταση της $f(x) = αx + β$ 📐

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = αx + β$ είναι μια ευθεία με εξίσωση

y = αx + β

Δύο βασικά χαρακτηριστικά αυτής της ευθείας είναι:

Τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο $Β(0, β)$ . Πράγματι, για $x = 0$ έχουμε $y = α \cdot 0 + β = β$ . Ο αριθμός $β$ λέγεται και σταθερός όρος της συνάρτησης, και δείχνει ακριβώς το ύψος στο οποίο η ευθεία «κόβει» τον κατακόρυφο άξονα.
Έχει κλίση $λ = α$ . Ο συντελεστής του $x$ στον τύπο της συνάρτησης είναι ακριβώς η κλίση της ευθείας.

Παράδειγμα

Η συνάρτηση $f(x) = 0,5x + 1$ έχει γραφική παράσταση την ευθεία $y = 0,5x + 1$ . Παρατηρούμε ότι:

Τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $Β(0, 1)$ , αφού για $x=0$ προκύπτει $y=1$ .
Τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $Α(-2, 0)$ , αφού για $y=0$ λύνουμε $0 = 0,5x+1 \Rightarrow x = -2$ .
Η κλίση της είναι $α = 0,5$ , δηλαδή ίση με τον συντελεστή του $x$ .

Πώς «βλέπουμε» την κλίση πάνω στο σχήμα

Αν σχεδιάσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο $ΟΑΒ$ (όπου $Ο$ η αρχή των αξόνων), τότε $εφω = \frac{(ΟΒ)}{(ΟΑ)}$ . Στο παράδειγμα, $\frac{(ΟΒ)}{(ΟΑ)} = \frac{1}{2} = 0,5$ , δηλαδή ακριβώς η τιμή του $α$ . Έτσι μπορείς να «διαβάσεις» την κλίση μιας ευθείας κοιτάζοντας πόσες μονάδες ανεβαίνει (ή κατεβαίνει) η ευθεία για κάθε μονάδα που προχωράει προς τα δεξιά.

Γενικά, με βάση το πρόσημο του $α$ :

Αν $α > 0$ , τότε $0° < ω < 90°$ : η ευθεία «ανεβαίνει» καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά.
Αν $α < 0$ , τότε $90° < ω < 180°$ : η ευθεία «κατεβαίνει» καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά.
Αν $α = 0$ , τότε $ω = 0°$ : η ευθεία είναι οριζόντια.

Μονοτονία της συνάρτησης $f(x) = αx + β$ 📊

Το πρόσημο του $α$ δεν καθορίζει μόνο την κλίση της ευθείας, αλλά και τη μονοτονία της συνάρτησης, δηλαδή αν η $f$ είναι αύξουσα ή φθίνουσα.

Αν $α > 0$ , η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ : όσο μεγαλώνει το $x$ , τόσο μεγαλώνει και το $f(x)$ . Δηλαδή, για $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) < f(x_2)$ .
Αν $α < 0$ , η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ : όσο μεγαλώνει το $x$ , τόσο μικραίνει το $f(x)$ . Δηλαδή, για $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) > f(x_2)$ .
Αν $α = 0$ , η $f$ είναι σταθερή — δεν είναι ούτε αύξουσα ούτε φθίνουσα.

Μη μπερδεύεις το πρόσημο του α με το πρόσημο του f(x)

Η μονοτονία εξαρτάται αποκλειστικά από το πρόσημο του $α$ , όχι από το πρόσημο των τιμών $f(x)$ ή του $β$ . Μια συνάρτηση όπως $f(x) = 3x - 100$ έχει $f(x) < 0$ για πολλά $x$ , αλλά είναι γνησίως αύξουσα, αφού $α = 3 > 0$ .

Ειδικές περιπτώσεις 💡

Η σταθερή συνάρτηση: $α = 0$

Όταν $α = 0$ , ο τύπος γίνεται $f(x) = β$ και λέγεται σταθερή συνάρτηση, γιατί η τιμή της είναι η ίδια, ίση με $β$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Η γραφική της παράσταση είναι μια οριζόντια ευθεία, παράλληλη προς τον άξονα $x'x$ , που τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $Β(0, β)$ .

Η συνάρτηση $f(x) = αx$ : ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων

Όταν $β = 0$ , ο τύπος γίνεται $f(x) = αx$ . Η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων $Ο(0,0)$ , αφού για $x=0$ παίρνουμε $y = α \cdot 0 = 0$ . Η κλίση της παραμένει $α$ .

Ευθεία γραμμική συνάρτηση και αναλογία

Η συνάρτηση $f(x) = αx$ εκφράζει μια σχέση ανάλογων ποσών: αν διπλασιάσεις το $x$ , διπλασιάζεται και το $f(x)$ . Αυτό δεν ισχύει γενικά όταν $β \neq 0$ , γιατί τότε η ευθεία δεν περνάει από το $Ο$ .

Η ταυτοτική συνάρτηση: $α = 1, β = 0$

Ειδική περίπτωση της $f(x) = αx$ είναι η $f(x) = x$ , όπου κάθε τιμή του $x$ απεικονίζεται στον εαυτό της. Η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες $xOy$ και $x'Oy'$ , με κλίση $α = 1$ (δηλαδή $ω = 45°$ ).

Υπολογισμός της κλίσης από δύο σημεία της ευθείας 🔢

Πολλές φορές δε γνωρίζουμε απευθείας τον τύπο μιας ευθείας, αλλά γνωρίζουμε δύο σημεία της. Μπορούμε τότε να υπολογίσουμε την κλίση $α$ ως εξής.

Έστω δύο σημεία $Α(x_1, y_1)$ και $Β(x_2, y_2)$ της ευθείας $y = αx + β$ , με $x_1 \neq x_2$ . Αφού τα σημεία ανήκουν στην ευθεία, ισχύουν:

y_1 = αx_1 + β \quad \text{και} \quad y_2 = αx_2 + β

Αφαιρώντας κατά μέλη:

y_2 - y_1 = (αx_2 + β) - (αx_1 + β) = α(x_2 - x_1)

Άρα, λύνοντας ως προς $α$ :

α = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Αυτός είναι ο τύπος υπολογισμού της κλίσης μιας ευθείας από δύο γνωστά σημεία της.

Μεθοδολογία: Εύρεση εξίσωσης ευθείας από δύο σημεία

Υπολόγισε την κλίση $α = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
Αντικατέστησε το $α$ στον τύπο $y = αx + β$ .
Αντικατέστησε τις συντεταγμένες ενός από τα δύο σημεία στην εξίσωση για να υπολογίσεις το $β$ .
Γράψε την τελική εξίσωση της ευθείας.

Λυμένο παράδειγμα: Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $Α(2, 5)$ και $Β(4, 1)$ .

Υπολογίζουμε την κλίση:

α = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 5}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2

Η εξίσωση έχει τη μορφή $y = -2x + β$ . Αντικαθιστούμε το σημείο $Α(2,5)$ :

5 = -2 \cdot 2 + β \Rightarrow 5 = -4 + β \Rightarrow β = 9

Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι $y = -2x + 9$ .

Πρόσεξε ποιο σημείο βάζεις πρώτο

Στον τύπο $α = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , η σειρά που επιλέγεις για τα σημεία $Α$ και $Β$ δεν έχει σημασία — αρκεί να είσαι συνεπής: αν βάλεις πρώτα τις συντεταγμένες του $Α$ στον αριθμητή, πρέπει να βάλεις πρώτα τις συντεταγμένες του $Α$ και στον παρονομαστή. Αν αντιστρέψεις μόνο το ένα, αλλάζεις το πρόσημο του αποτελέσματος.

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών — Παράλληλες ευθείες ⚖️

Έστω δύο ευθείες $ε_1: y = α_1x + β_1$ και $ε_2: y = α_2x + β_2$ , οι οποίες σχηματίζουν με τον άξονα $x'x$ γωνίες $ω_1$ και $ω_2$ αντίστοιχα. Επειδή $α_1 = εφω_1$ και $α_2 = εφω_2$ , η σύγκριση των κλίσεων ισοδυναμεί με τη σύγκριση των γωνιών.

Βασικό συμπέρασμα:

ε_1 \parallel ε_2 \ (\text{ή } ε_1 \equiv ε_2) \iff α_1 = α_2

Πιο αναλυτικά:

Αν $α_1 = α_2$ και $β_1 \neq β_2$ , τότε $ω_1 = ω_2$ , οι δύο ευθείες έχουν την ίδια κλίση αλλά τέμνουν τον άξονα $y'y$ σε διαφορετικά σημεία, άρα είναι παράλληλες (δεν τέμνονται πουθενά).
Αν $α_1 = α_2$ και $β_1 = β_2$ , τότε οι δύο ευθείες έχουν ακριβώς την ίδια εξίσωση, άρα ταυτίζονται (είναι η ίδια ευθεία).
Αν $α_1 \neq α_2$ , τότε $ω_1 \neq ω_2$ , οι ευθείες σχηματίζουν διαφορετική γωνία με τον $x'x$ και άρα τέμνονται σε ακριβώς ένα σημείο.

Το πιο συνηθισμένο λάθος στις παράλληλες ευθείες

Το κριτήριο παραλληλίας αφορά μόνο το α, ποτέ το $β$ . Δύο ευθείες με την ίδια κλίση αλλά διαφορετικό $β$ είναι παράλληλες. Αν επιπλέον έχουν και το ίδιο $β$ , τότε δεν είναι απλώς παράλληλες — είναι η ίδια ευθεία. Αντίθετα, όταν οι κλίσεις διαφέρουν ( $α_1 \neq α_2$ ), οι ευθείες τέμνονται — δεν είναι ποτέ παράλληλες σε αυτή την περίπτωση.

Παρατηρήσεις — οικογένειες ευθειών

Οι ευθείες της μορφής $y = αx + 1$ , για κάθε $α \in \mathbb{R}$ , έχουν όλες $β = 1$ , άρα διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο $Β(0,1)$ του άξονα $y'y$ — απλώς με διαφορετική κλίση η καθεμία.
Γενικά, οι ευθείες της μορφής $y = αx + β$ με σταθερό $β$ και μεταβλητό $α$ διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο $Β(0, β)$ .
Οι ευθείες της μορφής $y = 2x + β$ , για κάθε $β \in \mathbb{R}$ , έχουν όλες την ίδια κλίση $α = 2$ , άρα είναι παράλληλες μεταξύ τους (καμία δεν ταυτίζεται με άλλη, εκτός αν έχουν και το ίδιο $β$ ).
Γενικά, οι ευθείες της μορφής $y = αx + β$ με σταθερό $α$ και μεταβλητό $β$ είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους — σχηματίζουν μια «δέσμη» παράλληλων ευθειών με ίδια κλίση και διαφορετικό σημείο τομής με τον $y'y$ .

Σύνδεση με επόμενα κεφάλαια

Το κριτήριο $α_1 = α_2$ για την παραλληλία δύο ευθειών θα το χρησιμοποιείς συνέχεια στην Άλγεβρα και τη Γεωμετρία — για παράδειγμα, όταν πρέπει να βρεις την εξίσωση μιας ευθείας που είναι παράλληλη σε άλλη και διέρχεται από συγκεκριμένο σημείο.

Η Συνάρτηση f(x)=αx+βf(x)=αx+βf(x)=αx+β 📈