Η Έννοια της Συνάρτησης 💡

Δύο μεγέθη που μεταβάλλονται μαζί 🔗

Στην καθημερινή ζωή συχνά παρατηρούμε δύο μεγέθη να μεταβάλλονται ταυτόχρονα: όταν αλλάζει το ένα, αλλάζει και το άλλο. Η αλλαγή αυτή γίνεται με συγκεκριμένο τρόπο — η τιμή του ενός μεγέθους καθορίζει την τιμή του άλλου. Πολλές φορές αυτή η σχέση περιγράφεται με έναν μαθηματικό τύπο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1 — Τόκος τραπέζης 🏦

Έχουμε 5000€ σε τραπεζικό λογαριασμό και κάθε χρόνο παίρνουμε τόκο $T$, ανάλογα με το επιτόκιο $ε$%. Ο τύπος που δίνει τον τόκο είναι:

Για κάθε επιτόκιο $ε$ αντιστοιχεί ένας συγκεκριμένος τόκος $T$:

• Αν $ε = 3$, τότε $T = 150$ ευρώ.
• Αν $ε = 5$, τότε $T = 250$ ευρώ.

Παράδειγμα 2 — Απόσταση ποδηλάτη 🚴

Ένας ποδηλάτης κινείται για 2 ώρες με ταχύτητα $υ$ χιλιόμετρα την ώρα. Η απόσταση $S$ που διανύει δίνεται από τον τύπο $S = 2υ$. Για κάθε ταχύτητα $υ$ αντιστοιχεί μία συγκεκριμένη απόσταση:

• Αν $υ = 60$ χλμ/ώρα, τότε $S = 120$ χλμ.
• Αν $υ = 70$ χλμ/ώρα, τότε $S = 140$ χλμ.

Παράδειγμα 3 — Εμβαδόν κύκλου ⭕

Το εμβαδόν $Ε$ ενός κύκλου με ακτίνα $ρ$ δίνεται από τον τύπο $Ε = πρ^2$. Για κάθε ακτίνα $ρ$ αντιστοιχεί ένα συγκεκριμένο εμβαδόν:

• Αν $ρ = 1$, τότε $Ε = π$.
• Αν $ρ = 2$, τότε $Ε = 4π$.

Σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα, κάθε τιμή του ενός μεγέθους (επιτόκιο, ταχύτητα, ακτίνα) συνδέεται με μία και μοναδική τιμή του άλλου μεγέθους (τόκος, απόσταση, εμβαδόν). Αυτή ακριβώς η ιδέα — μία τιμή αντιστοιχεί σε ακριβώς μία άλλη τιμή — είναι η καρδιά της έννοιας της συνάρτησης.

Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις όπου η σχέση μεταξύ δύο μεγεθών δεν περιγράφεται από κάποιον μαθηματικό τύπο, ή ακόμα κι αν περιγράφεται δεν τον γνωρίζουμε. Για παράδειγμα, οι ώρες μιας ημέρας και οι αντίστοιχες θερμοκρασίες: κάθε ώρα έχει μία συγκεκριμένη θερμοκρασία, όμως δεν υπάρχει απλός τύπος που να τη δίνει. 🌡️

Ο ορισμός της συνάρτησης 📚

Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.

Δύο λέξεις σε αυτόν τον ορισμό είναι κρίσιμες:

• «κάθε»: κανένα στοιχείο του Α δεν μένει χωρίς αντιστοιχία.
• «ένα ακριβώς»: κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του Β — ποτέ σε δύο ή περισσότερα.

Οι συναρτήσεις συμβολίζονται συνήθως με μικρά γράμματα, όπως $f$, $g$, $h$. Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ και συμβολίζεται συχνά και ως $D_f$.

Αν η συνάρτηση $f$ πηγαίνει από το Α στο Β, και το στοιχείο $x$ ανήκει στο Α, τότε το στοιχείο του Β που αντιστοιχεί στο $x$ το ονομάζουμε $y$. Αυτό γράφεται:

και διαβάζεται «$y$ ίσον $f$ του $x$». Το $f(x)$ λέγεται τιμή της συνάρτησης $f$ στο $x$.

• Το $x$ είναι οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού της $f$ και λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, γιατί εμείς επιλέγουμε ελεύθερα την τιμή της (μέσα στο Α).
• Το $y$, δηλαδή η τιμή $f(x)$, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή, γιατί η τιμή της εξαρτάται από την τιμή που δώσαμε στο $x$.

Το σύνολο που περιέχει όλες τις τιμές $f(x)$, για κάθε $x$ του Α, ονομάζεται σύνολο τιμών της $f$ και συμβολίζεται με $f(A)$.

Μια συνάρτηση συμβολίζεται συχνά και ως εξής:

που διαβάζεται «η $f$ απεικονίζει το Α στο Β, στέλνοντας κάθε $x$ στο $f(x)$».

Τι χρειαζόμαστε για να ορίσουμε μια συνάρτηση 📝

Για να ορίσουμε πλήρως μια συνάρτηση $f$ χρειαζόμαστε τρία στοιχεία:

1. Το πεδίο ορισμού της, το σύνολο $A$.
2. Το σύνολο $B$ (μέσα στο οποίο παίρνει τιμές).
3. Την τιμή $f(x)$, δηλαδή τον τρόπο υπολογισμού της, για κάθε $x \in A$.

Στις συναρτήσεις που μελετάμε στο σχολείο, τα σύνολα $A$ και $B$ είναι σύνολα πραγματικών αριθμών ($A \subseteq \mathbb{R}$ και $B \subseteq \mathbb{R}$). Αυτές ονομάζονται πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής.

Συχνά, αντί να δίνουμε και τα τρία στοιχεία, αναφέρουμε απλώς τον τύπο της συνάρτησης, δηλαδή πώς υπολογίζεται το $f(x)$. Για παράδειγμα, αντί να λέμε «δίνεται η συνάρτηση $f$, με $f(x) = \sqrt{1 - 4x}$», λέμε πιο σύντομα «η συνάρτηση $f(x) = \sqrt{1 - 4x}$» ή ακόμα «η συνάρτηση $y = \sqrt{1 - 4x}$».

Σε αυτές τις περιπτώσεις, συμφωνούμε ότι το πεδίο ορισμού $A$ είναι το μεγαλύτερο δυνατό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ για το οποίο το $f(x)$ έχει νόημα, δηλαδή για το οποίο μπορούμε πράγματι να υπολογίσουμε την τιμή του $f(x)$.

Περιορισμοί στο πεδίο ορισμού 🔎

Όταν ψάχνουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης που δίνεται μόνο με τύπο, πρέπει να αποκλείσουμε τις τιμές του $x$ για τις οποίες ο τύπος δεν έχει νόημα. Οι δύο πιο συχνοί περιορισμοί στην Α' Λυκείου είναι:

• Παρονομαστής: αν στον τύπο υπάρχει κλάσμα, ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται να μηδενίζεται (δεν διαιρούμε ποτέ με το μηδέν). Αν η συνάρτηση περιέχει $\dfrac{1}{π(x)}$, απαιτούμε $π(x) \neq 0$.
• Ρίζα (άρτιας τάξης): αν στον τύπο υπάρχει τετραγωνική (ή γενικότερα άρτιας τάξης) ρίζα, η παράσταση κάτω από τη ρίζα πρέπει να είναι μη αρνητική. Αν η συνάρτηση περιέχει $\sqrt{π(x)}$, απαιτούμε $π(x) \geq 0$.

Όταν και οι δύο περιορισμοί εμφανίζονται μαζί στον ίδιο τύπο, πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα — το πεδίο ορισμού είναι η τομή των επιμέρους λύσεων.

Λυμένο παράδειγμα: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x) = \dfrac{1}{x-2} + \sqrt{x-1}$.

Η $f$ ορίζεται μόνο όταν ισχύουν ταυτόχρονα:

1. $x - 2 \neq 0$ (ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται)
2. $x - 1 \geq 0$ (η ποσότητα κάτω από τη ρίζα δεν είναι αρνητική)

Λύνοντας:

1. $x \neq 2$
2. $x \geq 1$

Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 1, εκτός από το 2:

Συναρτήσεις με κλάδους 🧩

Πολλές φορές μια συνάρτηση περιγράφεται με έναν τύπο που έχει κλάδους — διαφορετικό τύπο ανάλογα με το ποιο διάστημα ανήκει το $x$. Για παράδειγμα:

Για να υπολογίσουμε μια τιμή της $f$, πρώτα εντοπίζουμε σε ποιον κλάδο ανήκει το $x$ και μετά εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο τύπο. Ας υπολογίσουμε τις τιμές στα σημεία $-1$, $0$ και $1$:

• Για $x = -1 < 0$, χρησιμοποιούμε τον κλάδο $f(x) = x^2 + 1$:
  $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
• Για $x = 0 \geq 0$, χρησιμοποιούμε τον κλάδο $f(x) = x - 1$:
  $f(0) = 0 - 1 = -1$
• Για $x = 1 \geq 0$, χρησιμοποιούμε τον ίδιο κλάδο $f(x) = x - 1$:
  $f(1) = 1 - 1 = 0$

Το γράμμα της μεταβλητής δεν έχει σημασία ✍️

Αν και συνήθως χρησιμοποιούμε το γράμμα $f$ για τη συνάρτηση και το γράμμα $x$ για το τυχαίο στοιχείο του πεδίου ορισμού της, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα. Οι συναρτήσεις

ορίζουν στην πραγματικότητα την ίδια συνάρτηση — απλώς η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται διαφορετικά σε κάθε περίπτωση.

Στον τύπο μιας συνάρτησης, το $x$ παίζει ουσιαστικά τον ρόλο μιας «άδειας θέσης». Έτσι, η παραπάνω συνάρτηση θα μπορούσε να γραφτεί και ως:

όπου η παρένθεση παίρνει τη θέση του γράμματος. Για να υπολογίσουμε το $f(-2)$, βάζουμε το $-2$ σε κάθε παρένθεση:

Με τον ίδιο τρόπο, αν αντί για αριθμό βάλουμε μια παράσταση όπως $3x$, υπολογίζουμε:

Τέλος, σε πολλές επιστήμες που χρησιμοποιούν μαθηματική γλώσσα (φυσική, χημεία κ.ά.) γίνεται μια ακόμη απλοποίηση: αντί να γράφουμε $s(t)$, γράφουμε απλώς $s$, εννοώντας ότι το $s$ εξαρτάται από το $t$. Συνήθως σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει κάποιο πείραμα ή φαινόμενο όπου το $t$ είναι η τιμή ενός μεγέθους και το αντίστοιχο $s$ η τιμή ενός άλλου μεγέθους που προκύπτει από αυτό.