Γεωμετρική Πρόοδος 📈

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια ειδική ακολουθία αριθμών, στην οποία κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί έναν σταθερό αριθμό. Σε αυτό το μάθημα θα δούμε τον ορισμό της, τον τρόπο εύρεσης οποιουδήποτε όρου της, τον γεωμετρικό μέσο τριών διαδοχικών όρων, και το άθροισμα των ν πρώτων όρων της.

Ορισμός της Γεωμετρικής Προόδου

Ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα. Παρατήρησε την ακολουθία:

3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \dots

Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο αν τον πολλαπλασιάσουμε επί 2:

6 = 3 \cdot 2,\quad 12 = 6 \cdot 2,\quad 24 = 12 \cdot 2,\ \dots

Δηλαδή ισχύει $α_{ν+1} = α_ν \cdot 2$ , ή ισοδύναμα $\dfrac{α_{ν+1}}{α_ν} = 2$ για κάθε όρο. Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο 2.

Δες και ένα δεύτερο παράδειγμα:

27,\ -9,\ 3,\ -1,\ \dots

Εδώ κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιασμένο επί $-\dfrac{1}{3}$ :

-9 = 27 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right),\quad 3 = (-9) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right),\ \dots

Άρα $α_{ν+1} = α_ν \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)$ , και η πρόοδος έχει λόγο $-\dfrac{1}{3}$ .

Ο ορισμός με μια πρόταση

Μια ακολουθία $(α_ν)$ λέγεται γεωμετρική πρόοδος, όταν κάθε όρος της (από τον δεύτερο και έπειτα) προκύπτει από τον προηγούμενό του, αν τον πολλαπλασιάσουμε επί έναν σταθερό, μη μηδενικό αριθμό $λ$ . Ο αριθμός αυτός λέγεται λόγος της προόδου.

Σε μια γεωμετρική πρόοδο $(α_ν)$ απαιτούμε κανένας όρος να μην είναι μηδέν ( $α_ν \neq 0$ για κάθε $ν \in \mathbb{N}^*$ ), και ο λόγος $λ$ να είναι επίσης διάφορος του μηδενός ( $λ \neq 0$ ). Αν επιτρεπόταν μηδενικοί όροι ή μηδενικός λόγος, η ακολουθία θα «κολλούσε» στο μηδέν και δεν θα είχε νόημα ο λόγος διαδοχικών όρων.

Συνοπτικά, μια ακολουθία $(α_ν)$ με μη μηδενικούς όρους είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο $λ$ αν και μόνο αν ισχύει:

α_{ν+1} = α_ν \cdot λ \quad \text{ή ισοδύναμα} \quad \frac{α_{ν+1}}{α_ν} = λ,\ \ \text{για κάθε } ν \in \mathbb{N}^*

Γεωμετρική ή αριθμητική;

Μην μπερδεύεις τη γεωμετρική πρόοδο με την αριθμητική πρόοδο. Στην αριθμητική πρόοδο προσθέτουμε μια σταθερή διαφορά· στη γεωμετρική πρόοδο πολλαπλασιάζουμε επί έναν σταθερό λόγο. Ο έλεγχος «είναι γεωμετρική;» γίνεται πάντα με διαίρεση διαδοχικών όρων, όχι με αφαίρεση.

Πώς βρίσκουμε τον λόγο στην πράξη: αν μας δώσουν δύο διαδοχικούς όρους $α_ν$ και $α_{ν+1}$ , τότε

λ = \frac{α_{ν+1}}{α_ν}

Παράδειγμα: Στην ακολουθία $2, 6, 18, 54, \dots$ έχουμε $λ = \dfrac{6}{2} = 3$ . Έλεγχος: $\dfrac{18}{6} = 3$ και $\dfrac{54}{18} = 3$ , άρα πράγματι ο λόγος είναι σταθερός και ίσος με 3.

Ο Γενικός Όρος της Γεωμετρικής Προόδου

Αν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο $α_1$ και τον λόγο $λ$ μιας γεωμετρικής προόδου, μπορούμε να υπολογίσουμε οποιονδήποτε όρο χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουμε όλους τους ενδιάμεσους.

Ας δούμε πώς προκύπτει ο τύπος. Από τον ορισμό:

α_2 = α_1 \cdot λ,\quad α_3 = α_2 \cdot λ = α_1 \cdot λ^2,\quad α_4 = α_3 \cdot λ = α_1 \cdot λ^3,\ \dots

Παρατηρούμε ότι ο εκθέτης του $λ$ είναι πάντα κατά 1 μικρότερος από τον δείκτη του όρου. Γενικεύοντας, προκύπτει ο τύπος του νιοστού όρου:

Τύπος του νιοστού όρου

α_ν = α_1 \cdot λ^{ν-1}

όπου $α_1$ ο πρώτος όρος, $λ$ ο λόγος, και $ν \in \mathbb{N}^*$ .

Λυμένο παράδειγμα 1: Βρες τον 6ο όρο της γεωμετρικής προόδου με $α_1 = 5$ και $λ = 2$ .

α_6 = α_1 \cdot λ^{6-1} = 5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160

Λυμένο παράδειγμα 2: Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο πρώτος όρος είναι $α_1 = -3$ και ο λόγος $λ = 3$ . Βρες τον 8ο όρο.

α_8 = α_1 \cdot λ^{8-1} = -3 \cdot 3^7 = -3 \cdot 2187 = -6561

Λυμένο παράδειγμα 3 (εύρεση του λ από δύο μη διαδοχικούς όρους): Σε μια γεωμετρική πρόοδο με θετικό λόγο, ο $3^ος$ όρος είναι $\dfrac{5}{162}$ και ο $7^ος$ είναι $\dfrac{5}{2}$ . Βρες τον λόγο $λ$ .

Χρησιμοποιούμε τον γενικό τύπο για τους δύο όρους:

α_3 = α_1 λ^2 = \frac{5}{162}, \qquad α_7 = α_1 λ^6 = \frac{5}{2}

Διαιρώντας κατά μέλη (έτσι απαλείφεται το $α_1$ ):

\frac{α_7}{α_3} = \frac{α_1 λ^6}{α_1 λ^2} = λ^4 = \frac{5/2}{5/162} = \frac{5}{2} \cdot \frac{162}{5} = 81

Άρα $λ^4 = 81$ , οπότε $λ = 3$ (κρατάμε τη θετική λύση, αφού μας ζητείται $λ > 0$ ).

Προσοχή στον εκθέτη

Ο εκθέτης στον τύπο $α_ν = α_1 \cdot λ^{ν-1}$ είναι $ν - 1$ , όχι $ν$ . Είναι το πιο συνηθισμένο λάθος: να γράφεις $α_1 \cdot λ^ν$ αντί για $α_1 \cdot λ^{ν-1}$ . Έλεγξε πάντα με τον πρώτο όρο: για $ν=1$ πρέπει να παίρνεις $α_1 = α_1 \cdot λ^0 = α_1$ , που ισχύει ακριβώς επειδή ο εκθέτης είναι $ν-1$ .

Γεωμετρικός Μέσος

Ο γεωμετρικός μέσος μας δίνει μια χρήσιμη ιδιότητα: πώς σχετίζονται τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου μεταξύ τους.

Αν $α$ , $β$ , $γ$ είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο $λ$ , τότε από τον ορισμό ισχύει:

\frac{β}{α} = λ \quad \text{και} \quad \frac{γ}{β} = λ

Άρα οι δύο λόγοι είναι ίσοι μεταξύ τους:

\frac{β}{α} = \frac{γ}{β} \ \Longrightarrow\ β^2 = α \cdot γ

Ισχύει και το αντίστροφο: αν για τρεις μη μηδενικούς αριθμούς $α$ , $β$ , $γ$ ισχύει $β^2 = α γ$ , τότε οι $α$ , $β$ , $γ$ είναι διαδοχικοί όροι κάποιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός $\sqrt{αγ}$ (όταν τα $α, γ$ είναι ομόσημα) λέγεται γεωμετρικός μέσος των $α$ και $γ$ .

Το κριτήριο των τριών διαδοχικών όρων

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί $α$ , $β$ , $γ$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει

β^2 = α \cdot γ

Λυμένο παράδειγμα: Για ποια τιμή του $x$ οι αριθμοί $13, -26, x$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου;

Εφαρμόζουμε το κριτήριο με $α = 13$ , $β = -26$ , $γ = x$ :

(-26)^2 = 13 \cdot x \ \Longrightarrow\ 676 = 13x \ \Longrightarrow\ x = 52

Μην ξεχνάς το τετράγωνο

Ο τύπος είναι $β^2 = αγ$ , όχι $β = αγ$ ή $2β = α + γ$ (αυτός ο τελευταίος είναι ο τύπος του αριθμητικού μέσου, για αριθμητική πρόοδο!). Το «μέσος» εδώ αναφέρεται σε πολλαπλασιασμό και τετράγωνο, όχι σε πρόσθεση.

Άθροισμα ν Πρώτων Όρων Γεωμετρικής Προόδου

Πολλές φορές χρειάζεται να προσθέσουμε πολλούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Αντί να τους προσθέτουμε έναν προς έναν, υπάρχει ένας έξυπνος τρόπος να βρούμε το άθροισμα απευθείας.

Ιδέα της απόδειξης: Ας δούμε τη γεωμετρική πρόοδο $1, 3, 9, 27, \dots$ με $α_1 = 1$ και $λ = 3$ , και ας υπολογίσουμε το άθροισμα $S_7$ των πρώτων 7 όρων:

S_7 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729

Πολλαπλασιάζουμε όλη την εξίσωση επί τον λόγο $λ = 3$ :

3S_7 = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη· οι ενδιάμεσοι όροι απαλείφονται, αφού εμφανίζονται και στις δύο παρενθέσεις:

3S_7 - S_7 = 2187 - 1 \ \Longrightarrow\ 2S_7 = 2186 \ \Longrightarrow\ S_7 = 1093

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, γενικεύοντας για οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο με λόγο $λ \neq 1$ , αποδεικνύεται ο γενικός τύπος:

Τύπος αθροίσματος ν πρώτων όρων

Το άθροισμα $S_ν$ των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου $(α_ν)$ με λόγο $λ \neq 1$ είναι:

S_ν = α_1 \cdot \frac{λ^ν - 1}{λ - 1}

Λυμένο παράδειγμα: Βρες το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου $-3, -9, -27, \dots$

Έχουμε $α_1 = -3$ και $λ = \dfrac{-9}{-3} = 3$ . Εφαρμόζουμε τον τύπο για $ν = 5$ :

S_5 = α_1 \cdot \frac{λ^5 - 1}{λ - 1} = -3 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = -3 \cdot \frac{243 - 1}{2} = -3 \cdot \frac{242}{2} = -3 \cdot 121 = -363

Ο τύπος ισχύει μόνο για λ ≠ 1

Αν $λ = 1$ , όλοι οι όροι της προόδου είναι ίσοι με τον $α_1$ (η πρόοδος είναι στην ουσία σταθερή ακολουθία), και το κλάσμα $\dfrac{λ^ν - 1}{λ - 1}$ δεν ορίζεται (μηδέν διά μηδέν). Σε αυτή την περίπτωση το άθροισμα υπολογίζεται απλά ως $S_ν = ν \cdot α_1$ , χωρίς να χρειάζεται ο τύπος.