Αριθμητική Πρόοδος 📈

Τι είναι μια ακολουθία αριθμών 🔢

Πριν μιλήσουμε για την αριθμητική πρόοδο, ας θυμηθούμε τι είναι μια ακολουθία. Μια ακολουθία είναι μια σειρά αριθμών γραμμένων με συγκεκριμένη σειρά, όπου κάθε αριθμός λέγεται όρος της ακολουθίας. Συμβολίζουμε τους όρους με $α_1, α_2, α_3, ..., α_ν, ...$ , όπου ο δείκτης δείχνει τη θέση του όρου: ο $α_1$ είναι ο πρώτος όρος, ο $α_2$ ο δεύτερος όρος, και γενικά ο $α_ν$ είναι ο ν-οστός όρος, δηλαδή ο όρος που βρίσκεται στη θέση ν.

Υπάρχουν ακολουθίες με πολλά διαφορετικά «πατέντα» διαδοχής των όρων τους. Σε αυτό το μάθημα θα ασχοληθούμε με μια πολύ ειδική και χρήσιμη κατηγορία: την αριθμητική πρόοδο.

Ορισμός της αριθμητικής προόδου 🧮

Παρατήρησε τις παρακάτω ακολουθίες:

$1, 3, 5, 7, 9, ...$ — κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του αν του προσθέσουμε 2.
$15, 10, 5, 0, -5, -10, ...$ — κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του αν του προσθέσουμε -5.

Και στις δύο περιπτώσεις, ο τρόπος που περνάμε από έναν όρο στον επόμενο είναι ο ίδιος σε όλη την ακολουθία: προσθέτουμε πάντα τον ίδιο σταθερό αριθμό. Αυτό είναι ακριβώς το χαρακτηριστικό που ορίζει μια αριθμητική πρόοδο.

Ο ακριβής ορισμός

Μια ακολουθία $(α_ν)$ λέγεται αριθμητική πρόοδος όταν κάθε όρος της, από τον δεύτερο και μετά, προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Η λέξη-κλειδί είναι «πρόσθεση» — αν οι όροι προκύπτουν με πολλαπλασιασμό (όπως στο 1, 2, 4, 8, 16, ...), η ακολουθία δεν είναι αριθμητική πρόοδος.

Τον σταθερό αυτό αριθμό που προσθέτουμε κάθε φορά τον ονομάζουμε διαφορά της προόδου και τον συμβολίζουμε με το ελληνικό γράμμα ω (ωμέγα) ✍️.

Η διαφορά ω και ο αναδρομικός τύπος 🔁

Μια ακολουθία $(α_ν)$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω αν και μόνο αν ισχύει, για κάθε όρο της:

α_{ν+1} = α_ν + ω \quad \text{ή ισοδύναμα} \quad α_{ν+1} - α_ν = ω

Οι δύο αυτές μορφές λένε ακριβώς το ίδιο πράγμα, απλά κοιτάζοντάς το από δύο μεριές:

Αν ξέρουμε έναν όρο $α_ν$ και τη διαφορά ω, μπορούμε να βρούμε τον επόμενο όρο προσθέτοντας το ω.
Αν ξέρουμε δύο διαδοχικούς όρους, μπορούμε να βρούμε το ω αφαιρώντας τον προηγούμενο από τον επόμενο: $ω = α_{ν+1} - α_ν$ .

Αυτό σημαίνει ότι, αν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο $α_1$ και τη διαφορά ω, μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε άλλο όρο εφαρμόζοντας τον τύπο $α_{ν+1} = α_ν + ω$ ξανά και ξανά — προσθέτοντας δηλαδή το ω τόσες φορές όσες χρειάζεται. Αυτός ο τρόπος λέγεται αναδρομικός, γιατί κάθε όρος ορίζεται μέσω του προηγούμενού του.

Πώς ξεχωρίζεις γρήγορα μια αριθμητική πρόοδο

Υπολόγισε τη διαφορά κάθε διαδοχικού ζευγαριού όρων: $α_2-α_1$ , $α_3-α_2$ , $α_4-α_3$ , κ.ο.κ. Αν όλες αυτές οι διαφορές βγαίνουν ίδιες, τότε έχεις αριθμητική πρόοδο και αυτή η κοινή τιμή είναι το ω. Αν έστω και μία διαφέρει, δεν είναι αριθμητική πρόοδος.

Ο αναδρομικός τύπος είναι χρήσιμος αλλά αργός όταν θέλουμε έναν όρο πολύ μακριά, όπως τον 100ό. Γι' αυτό χρειαζόμαστε έναν πιο άμεσο τρόπο.

Ο τύπος του ν-οστού όρου 📐

Ξεκινώντας από τον πρώτο όρο $α_1$ και προσθέτοντας κάθε φορά το ω, έχουμε:

$α_2 = α_1 + ω$
$α_3 = α_2 + ω = α_1 + 2ω$
$α_4 = α_3 + ω = α_1 + 3ω$
$α_5 = α_4 + ω = α_1 + 4ω$
...

Παρατηρούμε ένα μοτίβο: για να φτάσουμε στον όρο $α_ν$ , προσθέτουμε το ω ακριβώς $(ν-1)$ φορές στον $α_1$ (μία φορά λιγότερο από τη θέση ν, αφού ο πρώτος όρος δεν χρειάζεται καμία πρόσθεση). Αυτό οδηγεί στον τύπο του ν-οστού όρου:

α_ν = α_1 + (ν - 1) \cdot ω

όπου:

$α_1$ είναι ο πρώτος όρος της προόδου,
ω είναι η διαφορά της προόδου,
ν είναι η θέση (η τάξη) του όρου που θέλουμε να βρούμε.

Αυτός ο τύπος λέγεται και αναλυτικός (σε αντίθεση με τον αναδρομικό), γιατί μας δίνει απευθείας κάθε όρο, χωρίς να χρειάζεται να περάσουμε από όλους τους προηγούμενους.

Το ήξερες;

Με τον τύπο $α_ν = α_1 + (ν-1)ω$ μπορείς να υπολογίσεις οποιονδήποτε όρο —ακόμα και τον 1.000.000ό— με μία μόνο πράξη, χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσεις όλους τους προηγούμενους όρους έναν προς έναν.

Παράδειγμα

Στην αριθμητική πρόοδο $3, 5, 7, 9, ...$ έχουμε $α_1 = 3$ και $ω = 5 - 3 = 2$ . Ο 20ός όρος είναι:

α_{20} = 3 + (20 - 1) \cdot 2 = 3 + 19 \cdot 2 = 3 + 38 = 41

και ο 100ός όρος είναι:

α_{100} = 3 + (100 - 1) \cdot 2 = 3 + 99 \cdot 2 = 3 + 198 = 201

Προσοχή στο (ν-1)

Ένα πολύ συνηθισμένο λάθος είναι να ξεχνάμε το $(ν-1)$ και να πολλαπλασιάζουμε το ω απευθείας με το ν. Θυμήσου: ο πρώτος όρος δεν έχει καμία πρόσθεση διαφοράς πάνω του ( $α_1 = α_1 + 0 \cdot ω$ ), γι' αυτό το πλήθος των προσθέσεων είναι πάντα κατά ένα λιγότερο από τη θέση του όρου.

Αριθμητικός μέσος 🔗

Αν τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου (με αυτή τη σειρά), τότε ο μεσαίος όρος β ονομάζεται αριθμητικός μέσος των α και γ, και ισχύει:

β = \frac{α + γ}{2}

Η σχέση αυτή προκύπτει άμεσα από τον ορισμό: αφού τα α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι με διαφορά ω, ισχύει $β - α = ω$ και $γ - β = ω$ . Άρα $β - α = γ - β$ , οπότε $2β = α + γ$ , δηλαδή $β = \dfrac{α+γ}{2}$ .

Ισχύει και το αντίστροφο: αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ισχύει $β = \dfrac{α+γ}{2}$ , τότε οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Πού χρησιμεύει ο αριθμητικός μέσος

Ο τύπος του αριθμητικού μέσου έχει δύο βασικές χρήσεις:

Μας βοηθά να βρούμε έναν άγνωστο μεσαίο όρο, όταν ξέρουμε τους δύο γειτονικούς του.
Μας βοηθά να επαληθεύσουμε αν τρεις δοσμένοι αριθμοί αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

Παράδειγμα

Αν οι αριθμοί $2, x, -4$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε:

x = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1

Άθροισμα ν πρώτων όρων 🧾

Πολλές φορές χρειαζόμαστε το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου, το οποίο συμβολίζουμε με $S_ν$ :

S_ν = α_1 + α_2 + α_3 + ... + α_ν

Ας δούμε πώς υπολογίζεται γρήγορα, με ένα παράδειγμα: το άθροισμα των πρώτων 100 φυσικών αριθμών $1, 2, 3, ..., 100$ .

S_{100} = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

Το κόλπο είναι να γράψουμε το ίδιο άθροισμα δεύτερη φορά, με αντίστροφη σειρά, και να προσθέσουμε τις δύο ισότητες όρο προς όρο:

S_{100} = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

S_{100} = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

Προσθέτοντας κατά μέλη:

2S_{100} = (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (98+3) + (99+2) + (100+1)

Κάθε ζευγάρι δίνει το ίδιο άθροισμα, 101, και έχουμε 100 τέτοια ζευγάρια:

2S_{100} = 100 \cdot 101 \;\Rightarrow\; S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050

Το ήξερες;

Λέγεται ότι αυτό το κόλπο το ανακάλυψε ο μαθηματικός Carl Friedrich Gauss όταν ήταν μόλις παιδί στο σχολείο, καθώς προσπαθούσε να βρει γρήγορα το άθροισμα $1+2+...+100$ αντί να τα προσθέσει ένα-ένα!

Η ίδια ιδέα γενικεύεται για οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο $α_1$ και ν-οστό όρο $α_ν$ : γράφοντας το άθροισμα δύο φορές (μία κανονικά και μία ανάποδα) και προσθέτοντας κατά μέλη, κάθε ζευγάρι δίνει πάντα $α_1 + α_ν$ , και υπάρχουν ν τέτοια ζευγάρια. Έτσι προκύπτει ο γενικός τύπος:

S_ν = \frac{ν}{2} \cdot (α_1 + α_ν)

Χρειάζεσαι τον α_ν, όχι μόνο το ω

Για να χρησιμοποιήσεις τον τύπο του αθροίσματος χρειάζεσαι τον τελευταίο όρο του αθροίσματος, $α_ν$ . Αν δεν σου τον δίνουν έτοιμο, πρέπει πρώτα να τον υπολογίσεις με τον τύπο $α_ν = α_1 + (ν-1)ω$ , και μετά να τον αντικαταστήσεις στον τύπο του $S_ν$ .

Παράδειγμα

Να βρεθεί το άθροισμα των 20 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου $-2, 1, 4, ...$ .

Έχουμε $α_1 = -2$ και $ω = 1 - (-2) = 3$ . Πρώτα βρίσκουμε τον 20ό όρο:

α_{20} = α_1 + 19ω = -2 + 19 \cdot 3 = -2 + 57 = 55

Και μετά το άθροισμα:

S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (α_1 + α_{20}) = 10 \cdot (-2 + 55) = 10 \cdot 53 = 530

Ανακεφαλαίωση των τύπων 📋

Τι θέλουμε	Τύπος
Σχέση διαδοχικών όρων	$α_{ν+1} = α_ν + ω$
Ν-οστός όρος	$α_ν = α_1 + (ν-1) \cdot ω$
Αριθμητικός μέσος τριών διαδοχικών όρων α, β, γ	$β = \dfrac{α+γ}{2}$
Άθροισμα ν πρώτων όρων	$S_ν = \dfrac{ν}{2} \cdot (α_1 + α_ν)$