Ακολουθίες Πραγματικών Αριθμών 🔢

Ένα εισαγωγικό παράδειγμα: ο τόκος στην τράπεζα 🏦

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε σε μια τράπεζα 10000 ευρώ και κάθε χρόνο παίρνουμε τόκο 2%. Αυτό σημαίνει ότι κάθε χρόνο ο τόκος προστίθεται στο υπάρχον κεφάλαιο και το νέο, μεγαλύτερο ποσό ξανατοκίζεται τον επόμενο χρόνο. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί για όσα χρόνια θέλουμε.

Ας δούμε πώς εξελίσσεται το κεφάλαιο:

Σε 1 χρόνο, το κεφάλαιο γίνεται $10000 + 0{,}02 \cdot 10000 = 10000 \cdot (1 + 0{,}02) = 10200$ ευρώ.
Σε 2 χρόνια, γίνεται $10000 \cdot 1{,}02 + 0{,}02 \cdot (10000 \cdot 1{,}02) = 10000 \cdot 1{,}02 \cdot (1 + 0{,}02) = 10000 \cdot (1{,}02)^2 = 10404$ ευρώ.
Σε 3 χρόνια θα έχουμε $10000 \cdot (1{,}02)^3$ ευρώ.
Σε 4 χρόνια θα έχουμε $10000 \cdot (1{,}02)^4$ ευρώ.
Γενικά, σε $ν$ χρόνια θα έχουμε $10000 \cdot (1{,}02)^ν$ ευρώ.

Μπορούμε να συγκεντρώσουμε τα αποτελέσματα σε έναν πίνακα:

Χρόνια: $ν$	1	2	3	...	$ν$	...
Κεφάλαιο σε $ν$ χρόνια	$10000 \cdot 1{,}02$	$10000 \cdot (1{,}02)^2$	$10000 \cdot (1{,}02)^3$	...	$10000 \cdot (1{,}02)^ν$	...

Παρατηρούμε ότι κάθε φυσικός αριθμός $ν$ αντιστοιχίζεται σε έναν πραγματικό αριθμό, το $10000 \cdot (1{,}02)^ν$ : στο 1 αντιστοιχεί το κεφάλαιο του πρώτου χρόνου, στο 2 το κεφάλαιο του δεύτερου χρόνου, και ούτω καθεξής. Αυτού του είδους η αντιστοίχιση είναι η βασική ιδέα πίσω από την έννοια της ακολουθίας.

Ο ορισμός της ακολουθίας 📐

Ορισμός Ακολουθίας

Μια ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών $1, 2, 3, ..., ν, ...$ στους πραγματικούς αριθμούς.

Με άλλα λόγια, μια ακολουθία «δίνει» σε κάθε φυσικό αριθμό $ν$ έναν —και μόνο έναν— πραγματικό αριθμό. Στο παράδειγμα της τράπεζας, η ακολουθία αντιστοιχίζει σε κάθε $ν$ το ποσό $10000 \cdot (1{,}02)^ν$ .

Συμβολισμός. Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας και συμβολίζεται με $α_1$ . Ο αριθμός που αντιστοιχεί στο 2 λέγεται δεύτερος όρος και συμβολίζεται με $α_2$ . Γενικά, ο αριθμός που αντιστοιχεί στον φυσικό αριθμό $ν$ λέγεται $ν$ -οστός όρος ή γενικός όρος της ακολουθίας και συμβολίζεται με $α_ν$ .

Η ίδια η ακολουθία, δηλαδή το σύνολο όλων των όρων της με τη σειρά τους, συμβολίζεται με $(α_ν)$ .

Μη μπερδεύεις τον όρο με τη θέση του

Το $ν$ δείχνει τη θέση του όρου μέσα στην ακολουθία (πρώτος, δεύτερος, τρίτος, ...), ενώ το $α_ν$ είναι η τιμή του όρου σε αυτή τη θέση. Για παράδειγμα, στην ακολουθία $α_ν = ν^2$ , το $α_3 = 9$ σημαίνει «ο τρίτος όρος έχει τιμή 9», όχι ότι $ν = 9$ .

Τρόποι ορισμού μιας ακολουθίας ✍️

Μια ακολουθία μπορεί να οριστεί με δύο βασικούς τρόπους: με τύπο του γενικού όρου ή αναδρομικά.

Ορισμός με τύπο του γενικού όρου

Ο πιο άμεσος τρόπος είναι να δοθεί ένας μαθηματικός τύπος που υπολογίζει απευθείας τον $α_ν$ από το $ν$ , χωρίς να χρειάζεται να ξέρουμε προηγούμενους όρους.

Για παράδειγμα, στην ακολουθία $1^2, 2^2, 3^2, ..., ν^2, ...$ , ο γενικός όρος είναι $α_ν = ν^2$ . Με αυτόν τον τύπο μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρο απευθείας, χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουμε τους προηγούμενούς του. Για παράδειγμα:

α_{20} = 20^2 = 400, \qquad α_{100} = 100^2 = 10000

Άλλα παραδείγματα ακολουθιών με τύπο γενικού όρου:

Η ακολουθία με $α_ν = ν^2$ : ο πρώτος όρος είναι $α_1 = 1^2 = 1$ , ο δεύτερος $α_2 = 2^2 = 4$ , κ.ο.κ.
Η ακολουθία με $α_ν = (-1)^ν$ : οι όροι της είναι $α_1 = -1$ , $α_2 = 1$ , $α_3 = -1$ , και εναλλάσσονται συνεχώς ανάμεσα στο $-1$ και το $1$ .
Η ακολουθία με $α_ν = \dfrac{1}{ν}$ : οι όροι της είναι $α_1 = 1$ , $α_2 = \dfrac{1}{2}$ , $α_3 = \dfrac{1}{3}$ , και συνεχίζουν να μικραίνουν όσο το $ν$ μεγαλώνει.

Δεν έχει κάθε ακολουθία τύπο γενικού όρου

Υπάρχουν ακολουθίες για τις οποίες είναι πολύ δύσκολο —ή αδύνατο με απλό τρόπο— να βρεθεί ένας μαθηματικός τύπος για τον γενικό όρο $α_ν$ . Σε αυτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιούμε τον αναδρομικό ορισμό.

Αναδρομικός ορισμός ακολουθίας 🔄

Μερικές ακολουθίες ορίζονται με έναν διαφορετικό, «βήμα-βήμα» τρόπο: κάθε όρος υπολογίζεται από τον προηγούμενό του (ή τους προηγούμενούς του), αντί να υπολογίζεται απευθείας από το $ν$ . Αυτός ο τρόπος ορισμού λέγεται αναδρομικός.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η ακολουθία $(α_ν)$ όπου ο πρώτος όρος είναι το 1, ο δεύτερος όρος είναι επίσης το 1, και κάθε επόμενος όρος, από τον τρίτο και μετά, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων:

α_1 = 1, \quad α_2 = 1, \quad α_{ν+2} = α_{ν+1} + α_ν

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες, υπολογίζουμε τους επόμενους όρους ένα-ένα:

α_3 = α_2 + α_1 = 1 + 1 = 2, \quad α_4 = α_3 + α_2 = 2 + 1 = 3, \quad α_5 = α_4 + α_3 = 3 + 2 = 5, \quad α_6 = α_5 + α_4 = 5 + 3 = 8

Παρατηρούμε ότι, ξεκινώντας από τους δύο πρώτους όρους, μπορούμε να βρούμε βήμα-βήμα οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία $(α_ν)$ είναι πλήρως ορισμένη, παρότι δεν έχουμε έναν έτοιμο τύπο για το $α_ν$ συναρτήσει μόνο του $ν$ .

Λέμε ότι η ακολουθία $(α_ν)$ ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα $α_{ν+2} = α_{ν+1} + α_ν$ λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας.

Αναδρομικός Ορισμός

Για να ορίσουμε πλήρως μια ακολουθία αναδρομικά, χρειαζόμαστε:

τον αναδρομικό τύπο, που δείχνει πώς προκύπτει κάθε όρος από τον προηγούμενο (ή τους προηγούμενους), και
όσους αρχικούς όρους χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να έχει από πού να «ξεκινήσει».

Ο αριθμός των αρχικών όρων που χρειάζονται εξαρτάται από τον τύπο. Στο παράδειγμα παραπάνω χρειαζόμαστε δύο αρχικούς όρους ( $α_1$ και $α_2$ ) γιατί ο τύπος $α_{ν+2} = α_{ν+1} + α_ν$ συνδέει κάθε όρο με τους δύο προηγούμενούς του. Αν ο τύπος συνδέει κάθε όρο μόνο με τον αμέσως προηγούμενό του (όπως $α_{ν+1} = ...\ α_ν$ ), αρκεί ένας μόνο αρχικός όρος.

Μεθοδολογία: εύρεση όρων από τύπο γενικού όρου 🔍

Όταν μας δίνεται ο γενικός όρος $α_ν$ ως τύπος συναρτήσει του $ν$ , για να βρούμε συγκεκριμένους όρους απλώς αντικαθιστούμε το $ν$ με τη θέση που μας ενδιαφέρει.

Παράδειγμα 1ο. Να βρεθούν οι τέσσερις πρώτοι όροι και ο 20ός όρος των ακολουθιών:

i) $α_ν = 2ν^2 - 3$

Αντικαθιστούμε διαδοχικά $ν = 1, 2, 3, 4$ :

α_1 = 2 \cdot 1^2 - 3 = -1, \quad α_2 = 2 \cdot 2^2 - 3 = 5, \quad α_3 = 2 \cdot 3^2 - 3 = 15, \quad α_4 = 2 \cdot 4^2 - 3 = 29

Για τον 20ό όρο, θέτουμε $ν = 20$ :

α_{20} = 2 \cdot 20^2 - 3 = 797

ii) $β_ν = \dfrac{(-1)^ν}{2ν - 1}$

Αντικαθιστούμε διαδοχικά $ν = 1, 2, 3, 4$ :

β_1 = \frac{(-1)^1}{2 \cdot 1 - 1} = -1, \quad β_2 = \frac{(-1)^2}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{1}{3}, \quad β_3 = \frac{(-1)^3}{2 \cdot 3 - 1} = -\frac{1}{5}, \quad β_4 = \frac{(-1)^4}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{1}{7}

Για τον 20ό όρο, θέτουμε $ν = 20$ :

β_{20} = \frac{(-1)^{20}}{2 \cdot 20 - 1} = \frac{1}{39}

Πρόσεξε το πρόσημο του $(-1)^ν$

Ο παράγοντας $(-1)^ν$ δίνει $-1$ όταν το $ν$ είναι περιττός και $+1$ όταν το $ν$ είναι άρτιος. Είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα σημεία λάθους: πολλοί μαθητές μπερδεύουν το πρόσημο για μονό/ζυγό $ν$ . Έλεγξε πάντα με ένα-δύο μικρά παραδείγματα.

Μεθοδολογία: εύρεση όρων από αναδρομικό τύπο 🔗

Όταν η ακολουθία δίνεται αναδρομικά, δεν μπορούμε να «πηδήξουμε» απευθείας σε έναν μακρινό όρο· πρέπει να υπολογίσουμε όλους τους ενδιάμεσους όρους, ξεκινώντας από τον αρχικό όρο (ή όρους) που μας δίνονται.

Παράδειγμα 2ο. Μια ακολουθία έχει πρώτο όρο $α_1 = 2$ και αναδρομικό τύπο $α_{ν+1} = α_ν^2 + 1$ . Να βρεθούν οι τέσσερις πρώτοι όροι.

Υπολογίζουμε βήμα-βήμα:

$α_1 = 2$
$α_2 = α_1^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$
$α_3 = α_2^2 + 1 = 5^2 + 1 = 26$
$α_4 = α_3^2 + 1 = 26^2 + 1 = 677$

Άρα οι τέσσερις πρώτοι όροι είναι $2, 5, 26, 677$ .

Δεν αντικαθιστούμε απευθείας το $ν$

Σε έναν αναδρομικό τύπο δεν μπορούμε να βρούμε τον $α_{10}$ αντικαθιστώντας απευθείας $ν = 10$ · πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε όλους τους όρους $α_1, α_2, ..., α_9$ για να φτάσουμε στον $α_{10}$ . Αυτό είναι και το βασικό μειονέκτημα του αναδρομικού ορισμού σε σχέση με τον τύπο γενικού όρου.

Μεθοδολογία: από τύπο γενικού όρου σε αναδρομικό τύπο 🔁

Μπορούμε και να κάνουμε την αντίστροφη διαδικασία: να πάρουμε μια ακολουθία που δίνεται με τύπο γενικού όρου και να βρούμε έναν αναδρομικό τύπο που να την περιγράφει. Το βασικό εργαλείο εδώ είναι να μελετήσουμε τη διαφορά $α_{ν+1} - α_ν$ (ή, ανάλογα με την περίπτωση, το πηλίκο $\dfrac{α_{ν+1}}{α_ν}$ ) ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς όρους.

Παράδειγμα 3ο. Δίνεται η ακολουθία $α_ν = 3ν + 5$ . Να βρεθεί αναδρομικός τύπος που να την περιγράφει.

Υπολογίζουμε τη διαφορά ενός όρου $α_{ν+1}$ από τον προηγούμενό του $α_ν$ :

α_{ν+1} - α_ν = \big[3(ν+1) + 5\big] - \big[3ν + 5\big] = 3

Άρα κάθε όρος είναι κατά 3 μεγαλύτερος από τον προηγούμενό του, δηλαδή $α_{ν+1} = α_ν + 3$ .

Για να ορίσουμε πλήρως την ακολουθία αναδρομικά χρειαζόμαστε επιπλέον και τον πρώτο όρο:

α_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8

Άρα η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής:

α_1 = 8, \qquad α_{ν+1} = α_ν + 3

Δύο όψεις της ίδιας ακολουθίας

Ο τύπος γενικού όρου και ο αναδρομικός τύπος δεν είναι δύο διαφορετικές ακολουθίες — είναι δύο διαφορετικοί τρόποι περιγραφής της ίδιας ακολουθίας. Κάθε ακολουθία με τύπο γενικού όρου μπορεί, τουλάχιστον σε απλές περιπτώσεις, να περιγραφεί και αναδρομικά, αν εντοπίσουμε πώς συνδέεται κάθε όρος με τον προηγούμενό του.

Σύνοψη μεθόδου εργασίας 🧭

Για να δουλέψεις σωστά με μια ακολουθία, ελέγχεις πρώτα πώς σου δίνεται:

Αν σου δίνεται τύπος γενικού όρου $α_ν = ...$ : αντικαθιστάς απευθείας το $ν$ με τη θέση που ζητείται, όσο μακρινή κι αν είναι.
Αν σου δίνεται αναδρομικός τύπος: υπολογίζεις τους όρους διαδοχικά, ξεκινώντας από τον αρχικό όρο (ή όρους), μέχρι να φτάσεις στον όρο που ζητείται.
Αν θέλεις να περάσεις από τύπο γενικού όρου σε αναδρομικό: μελετάς τη διαφορά $α_{ν+1} - α_ν$ για να βρεις τον κανόνα που συνδέει διαδοχικούς όρους, και προσθέτεις τον απαραίτητο αρχικό όρο.