Εξισώσεις 2ου Βαθμού 📐

Τι είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού 🔍

Μια εξίσωση 2ου βαθμού (ή τετραγωνική εξίσωση) με άγνωστο $x$ είναι κάθε εξίσωση που μπορεί να πάρει τη μορφή:

όπου $α, β, γ$ είναι πραγματικοί αριθμοί, οι λεγόμενοι συντελεστές της εξίσωσης:

• $α$: ο συντελεστής του $x^2$ — πρέπει πάντα να είναι διαφορετικός από το μηδέν, αλλιώς η εξίσωση δεν είναι πλέον 2ου βαθμού.
• $β$: ο συντελεστής του $x$.
• $γ$: ο σταθερός όρος.

Παραδείγματα εξισώσεων 2ου βαθμού: $x^2 - 5x + 6 = 0$ (εδώ $α=1, β=-5, γ=6$), $2x^2 + 3 = 0$ (εδώ $α=2, β=0, γ=3$), $-x^2 + 4x = 0$ (εδώ $α=-1, β=4, γ=0$).

Επίλυση με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου 🧩

Για να καταλήξουμε σε έναν γενικό τύπο επίλυσης, ξεκινάμε από τη γενική μορφή και δουλεύουμε αλγεβρικά. Πρώτα διαιρούμε όλους τους όρους με το $α$ (επιτρέπεται αφού $α \neq 0$):

Στη συνέχεια προσθέτουμε και αφαιρούμε τον όρο $\frac{β^2}{4α^2}$, ώστε τα τρία πρώτα κομμάτια να σχηματίζουν ένα τέλειο τετράγωνο:

Η παράσταση $β^2 - 4αγ$ που εμφανίζεται στον αριθμητή είναι τόσο σημαντική που παίρνει το δικό της όνομα και σύμβολο.

Η διακρίνουσα Δ 🧐

Ονομάζουμε διακρίνουσα της εξίσωσης $αx^2 + βx + γ = 0$ $(α \neq 0)$ τον αριθμό:

Με αυτόν τον συμβολισμό, η εξίσωση που καταλήξαμε παραπάνω γράφεται:

Το αριστερό μέλος είναι πάντα $\geq 0$ (τετράγωνο). Το $4α^2$ στον παρονομαστή του δεξιού μέλους είναι επίσης πάντα θετικό. Άρα το πρόσημο του Δ είναι αυτό που αποφασίζει αν υπάρχει λύση και πόσες. Αυτή είναι η ιδέα πίσω από όλη τη θεωρία που ακολουθεί.

Ο τύπος επίλυσης και οι τρεις περιπτώσεις του Δ ⚖️

Παίρνοντας τετραγωνική ρίζα στα δύο μέλη της $\left(x + \frac{β}{2α}\right)^2 = \frac{Δ}{4α^2}$, προκύπτουν τρεις διαφορετικές περιπτώσεις, ανάλογα με το πρόσημο του $Δ$:

Περίπτωση 1: Δ > 0 — δύο άνισες ρίζες

Όταν η διακρίνουσα είναι θετική, το δεξί μέλος είναι θετικό, οπότε η τετραγωνική ρίζα υπάρχει και δίνει δύο διαφορετικές τιμές. Η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες:

δηλαδή $x_1 = \dfrac{-β + \sqrt{Δ}}{2α}$ και $x_2 = \dfrac{-β - \sqrt{Δ}}{2α}$.

Περίπτωση 2: Δ = 0 — μία διπλή ρίζα

Όταν $Δ = 0$, το δεξί μέλος μηδενίζεται, οπότε $x + \frac{β}{2α} = 0$. Η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα (δηλαδή δύο ίσες ρίζες που ταυτίζονται):

Περίπτωση 3: Δ < 0 — καμία πραγματική ρίζα

Όταν $Δ < 0$, το δεξί μέλος είναι αρνητικό. Ένα τετράγωνο πραγματικού αριθμού δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητικό, άρα η ισότητα είναι αδύνατη. Η εξίσωση δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$.

Συνοπτικός πίνακας:

Λυμένο παράδειγμα: πλήρης επίλυση 📝

Να λυθεί η εξίσωση $x^2 - 2(\sqrt{3} + 1)x + 4\sqrt{3} = 0$.

Βήμα 1 — Αναγνώριση συντελεστών: $α = 1$, $β = -2(\sqrt{3}+1)$, $γ = 4\sqrt{3}$.

Βήμα 2 — Υπολογισμός διακρίνουσας:

Παρατηρούμε ότι $Δ = 4(\sqrt{3} - 1)^2$ (μορφή τέλειου τετραγώνου), οπότε $Δ > 0$ — άρα δύο άνισες ρίζες.

Βήμα 3 — Εφαρμογή τύπου:

Άρα $x_1 = 2\sqrt{3}$ και $x_2 = 2$.

Παραγοντοποίηση τριωνύμου με τις ρίζες 🔗

Όταν μια εξίσωση 2ου βαθμού $αx^2 + βx + γ = 0$ έχει ρίζες $x_1, x_2$ (άνισες ή ίσες), το τριώνυμο $αx^2 + βx + γ$ γράφεται πάντα ως γινόμενο παραγόντων:

Αυτό ισχύει είτε το $Δ$ είναι θετικό (οπότε $x_1 \neq x_2$) είτε μηδέν (οπότε $x_1 = x_2$, και η παραγοντοποίηση γίνεται $α(x-x_1)^2$). Όταν $Δ<0$, το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται σε πρωτοβάθμιους παράγοντες με πραγματικούς συντελεστές.

Παράδειγμα: Η εξίσωση $x^2 - 5x + 6 = 0$ έχει $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$, άρα $x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}$, δηλαδή $x_1 = 3$ και $x_2 = 2$. Επομένως:

Οι τύποι του Vieta: άθροισμα και γινόμενο ριζών ➕✖️

Όταν η εξίσωση $αx^2 + βx + γ = 0$ $(α \neq 0)$ έχει πραγματικές ρίζες $x_1$ και $x_2$, υπάρχει μια άμεση σχέση ανάμεσα σε αυτές τις ρίζες και τους συντελεστές $α, β, γ$ — χωρίς να χρειάζεται να τις υπολογίσουμε ξεχωριστά.

Άθροισμα των ριζών:

Γινόμενο των ριζών:

Συμβολίζοντας το άθροισμα με $S$ και το γινόμενο με $P$, προκύπτουν οι τύποι του Vieta:

Η εξίσωση μέσω S και P

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Vieta, η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί:

Αυτή η μορφή είναι πολύ χρήσιμη: αν γνωρίζουμε (ή υποθέσουμε) το άθροισμα $S$ και το γινόμενο $P$ δύο αριθμών, μπορούμε αμέσως να γράψουμε την εξίσωση που τους έχει ως ρίζες.

Παράδειγμα: Αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι $S=3$ και το γινόμενό τους είναι $P=\sqrt{2}$, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης:

Εφαρμογή: εξισώσεις 2ου βαθμού στη Φυσική 🚀

Οι εξισώσεις 2ου βαθμού δεν είναι μόνο θεωρητικό εργαλείο — εμφανίζονται φυσικά σε προβλήματα κίνησης.

Ελεύθερη πτώση

Το διάστημα $S$ που διανύει ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα για χρόνο $t$ δίνεται από τον τύπο $S = \frac{1}{2}gt^2$, όπου $g$ η επιτάχυνση της βαρύτητας.

Παράδειγμα: Ένας βράχος πέφτει από γκρεμό ύψους $S=300$ m, με $g \approx 10$ m/sec². Πόσο χρόνο χρειάζεται για να φτάσει στο έδαφος;

Επειδή ο χρόνος δεν μπορεί να είναι αρνητικός, κρατάμε μόνο τη θετική λύση: $t \approx 7,75$ δευτερόλεπτα.

Πτώση με αρχική ταχύτητα

Αν το σώμα εκσφενδονίζεται προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα $v_0$, ο τύπος γίνεται $S = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$.

Παράδειγμα: Ίδιος γκρεμός ($S=300$ m), αλλά τώρα $v_0 = 50$ m/sec:

Κρατάμε τη θετική λύση: $t \approx 4,22$ δευτερόλεπτα.