Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 🧮

Υπενθύμιση: Ρητοί και Άρρητοι Αριθμοί 🔢

Στο Γυμνάσιο μάθαμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Μπορούμε να τους φανταστούμε σαν σημεία πάνω σε μια ευθεία γραμμή, τον άξονα των πραγματικών αριθμών.

• Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί σαν κλάσμα, δηλαδή στη μορφή $\frac{α}{β}$, όπου οι αριθμοί $α$ και $β$ είναι ακέραιοι (χωρίς δεκαδικό μέρος) και ο $β$ δεν είναι μηδέν ($β \neq 0$).
• Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί είτε σαν δεκαδικός αριθμός (π.χ. $2,8$) είτε σαν περιοδικός δεκαδικός αριθμός (ένας αριθμός με ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο ψηφίων μετά την υποδιαστολή, π.χ. $5,\overline{45}$). Ισχύει και το αντίστροφο: κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί σαν κλάσμα.

Για παράδειγμα:

Άρα, οι ρητοί αριθμοί είναι ακριβώς οι δεκαδικοί και οι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί.

Υπάρχουν όμως και αριθμοί —όπως οι $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, ο $π$ (πι)— που δεν μπορούν να γραφτούν σαν κλάσμα $\frac{α}{β}$ με $α, β$ ακέραιους και $β \neq 0$. Αυτοί οι αριθμοί δεν έχουν ούτε δεκαδική ούτε περιοδική δεκαδική μορφή· ονομάζονται άρρητοι αριθμοί. 🤔

Οι Βασικές Πράξεις: Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός ➕

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ορίζονται δύο βασικές πράξεις: η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Με τη βοήθειά τους μπορούμε να ορίσουμε και τις άλλες δύο πράξεις που ξέρουμε, την αφαίρεση και τη διαίρεση.

Οι πράξεις αυτές δεν είναι «τυχαίες» — υπακούν σε συγκεκριμένους κανόνες, τις ιδιότητες, οι οποίες μας επιτρέπουν να μετασχηματίζουμε και να απλοποιούμε παραστάσεις με ασφάλεια.

Αντιμεταθετική Ιδιότητα

Η σειρά με την οποία προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε δύο αριθμούς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα:

Για παράδειγμα, $3 + 5 = 5 + 3 = 8$ και $4 \cdot 7 = 7 \cdot 4 = 28$.

Προσεταιριστική Ιδιότητα

Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, δεν έχει σημασία ποιο ζευγάρι υπολογίζουμε πρώτο — το αποτέλεσμα είναι το ίδιο:

Χάρη σε αυτή την ιδιότητα, μπορούμε να γράφουμε $α + β + γ$ ή $α \cdot β \cdot γ$ χωρίς παρενθέσεις, αφού το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά υπολογισμού.

Ουδέτερο Στοιχείο

• Στην πρόσθεση, το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο: $α + 0 = α$, για κάθε $α$. Όταν προσθέτουμε το 0 σε οποιονδήποτε αριθμό, ο αριθμός δεν αλλάζει.
• Στον πολλαπλασιασμό, το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο: $α \cdot 1 = α$, για κάθε $α$. Όταν πολλαπλασιάζουμε οποιονδήποτε αριθμό με το 1, ο αριθμός δεν αλλάζει.

Αντίθετος και Αντίστροφος Αριθμός

• Κάθε αριθμός $α$ έχει έναν αντίθετο, τον $-α$, τέτοιον ώστε $α + (-α) = 0$.
• Κάθε αριθμός $α$, εκτός από το 0, έχει έναν αντίστροφο, τον $\frac{1}{α}$, τέτοιον ώστε $α \cdot \frac{1}{α} = 1$, με $α \neq 0$.

Επιμεριστική Ιδιότητα

Η επιμεριστική ιδιότητα συνδέει τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση και μας λέει πώς πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα:

Παράδειγμα: $3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27$, που πράγματι ταιριάζει με $3 \cdot 9 = 27$.

Η ίδια ιδιότητα, διαβασμένη «ανάποδα», λέγεται παραγοντοποίηση (βγάζουμε κοινό παράγοντα): αν βλέπουμε $αβ + αγ$, μπορούμε να το γράψουμε ως $α(β + γ)$.

Αφαίρεση και Διαίρεση: Πράξεις που «Δανείζονται» ➖➗

Η αφαίρεση και η διαίρεση δεν είναι ανεξάρτητες πράξεις — ορίζονται μέσω της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, χρησιμοποιώντας τον αντίθετο και τον αντίστροφο αριθμό αντίστοιχα.

• Αφαίρεση: Για να υπολογίσουμε το $α - β$, προσθέτουμε στο $α$ τον αντίθετο του $β$:

• Διαίρεση: Για να υπολογίσουμε το $α : β$, πολλαπλασιάζουμε το $α$ με τον αντίστροφο του $β$:

Ιδιότητες Ισοτήτων ⚖️

Για τις τέσσερις πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση) και την ισότητα ισχύουν κάποιες βασικές ιδιότητες, χρήσιμες όταν λύνουμε εξισώσεις:

1. Πρόσθεση κατά μέλη: Αν $α = β$ και $γ = δ$, τότε $α + γ = β + δ$.
2. Πολλαπλασιασμός κατά μέλη: Αν $α = β$ και $γ = δ$, τότε $α \cdot γ = β \cdot δ$.
3. Πρόσθεση/αφαίρεση του ίδιου αριθμού: Αν $α = β$, τότε $α + γ = β + γ$ (και το ίδιο για την αφαίρεση).
4. Πολλαπλασιασμός/διαίρεση με τον ίδιο αριθμό ($\neq 0$): Αν $α = β$ και $γ \neq 0$, τότε $α \cdot γ = β \cdot γ$.
5. Μηδενικό γινόμενο: Αν $α \cdot β = 0$, τότε τουλάχιστον ένας από τους δύο αριθμούς είναι 0, δηλαδή $α = 0$ ή $β = 0$.

Η Έννοια της Δύναμης 🔺

Όταν πολλαπλασιάζουμε τον ίδιο αριθμό πολλές φορές με τον εαυτό του, χρησιμοποιούμε τη δύναμη ως συντομογραφία:

και

Ο αριθμός $α$ λέγεται βάση και ο $ν$ λέγεται εκθέτης.

Αν επιπλέον ο $α$ δεν είναι μηδέν ($α \neq 0$), ορίζουμε και:

Ιδιότητες Δυνάμεων με Ακέραιο Εκθέτη

Οι πιο βασικές ιδιότητες των δυνάμεων είναι:

• $α^κ \cdot α^λ = α^{κ+λ}$ — πολλαπλασιασμός δυνάμεων με ίδια βάση: προσθέτουμε τους εκθέτες.
• $α^κ \cdot β^κ = (α \cdot β)^κ$ — πολλαπλασιασμός δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: πολλαπλασιάζουμε τις βάσεις.
• $(α^κ)^λ = α^{κ \cdot λ}$ — δύναμη δύναμης: πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες.
• $\dfrac{α^κ}{α^λ} = α^{κ-λ}$ — διαίρεση δυνάμεων με ίδια βάση: αφαιρούμε τους εκθέτες.
• $\dfrac{α^κ}{β^κ} = \left(\dfrac{α}{β}\right)^κ$ — διαίρεση δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: διαιρούμε τις βάσεις.

Λυμένο παράδειγμα: Να υπολογιστεί η παράσταση $\dfrac{2^5 \cdot 2^3}{2^6}$.

Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 🌟

Μια ταυτότητα είναι μια ισότητα που περιέχει γράμματα (μεταβλητές) και ισχύει για όλες τις τιμές που μπορούν να πάρουν αυτά τα γράμματα — σε αντίθεση με μια απλή εξίσωση, που ισχύει μόνο για συγκεκριμένες τιμές.

Οι πιο γνωστές αξιοσημείωτες ταυτότητες, που θα χρησιμοποιούμε συνέχεια σε όλη την Άλγεβρα, είναι:

Λυμένο παράδειγμα (ανάπτυξη): Να αναπτυχθεί η παράσταση $(2x - 3)^2$.

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $(α - β)^2 = α^2 - 2αβ + β^2$ με $α = 2x$ και $β = 3$:

Λυμένο παράδειγμα (παραγοντοποίηση): Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $9x^2 - 25$.

Αναγνωρίζουμε διαφορά τετραγώνων, με $α = 3x$ και $β = 5$, αφού $(3x)^2 = 9x^2$ και $5^2 = 25$:

Τέλος, να θυμόμαστε ότι αν $α = β$, τότε $α^ν = β^ν$ για κάθε φυσικό εκθέτη $ν$. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει πάντα: από το $α^ν = β^ν$ δεν συνεπάγεται πάντα $α = β$.