Σύνολα 🧮

Η Έννοια του Συνόλου

Στα μαθηματικά, όπως και στην καθημερινή ζωή, συχνά μαζεύουμε αντικείμενα σε ομάδες: τα βιβλία μιας βιβλιοθήκης, οι μαθητές μιας τάξης, οι μέρες της εβδομάδας. Μια τέτοια ομάδα, όταν είναι καλά καθορισμένη, λέγεται σύνολο.

Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

«Καλά ορισμένα» σημαίνει ότι, για οποιοδήποτε αντικείμενο, μπορούμε να αποφασίσουμε με βεβαιότητα αν ανήκει ή όχι στο σύνολο — δεν επιτρέπεται αμφιβολία. Τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται ένα σύνολο ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.

Πότε ΔΕΝ έχουμε σύνολο

Μια συλλογή σαν «οι ψηλοί μαθητές μιας τάξης» δεν είναι σύνολο με την αυστηρή μαθηματική έννοια, γιατί το «ψηλός» δεν είναι σαφώς καθορισμένο — δύο άνθρωποι μπορεί να διαφωνούν αν κάποιος είναι ψηλός. Αντίθετα, «οι μαθητές με ύψος πάνω από 1,80 μ.» είναι σύνολο, γιατί το κριτήριο είναι ξεκάθαρο.

Συμβολισμός Συνόλων και Στοιχείων

Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε συνήθως κεφαλαία γράμματα (ελληνικά ή λατινικά), π.χ. $A$ , $B$ , $Γ$ , $X$ . Για τα στοιχεία ενός συνόλου χρησιμοποιούμε μικρά γράμματα, π.χ. $x$ , $y$ , $α$ .

Τέσσερα σύνολα αριθμών εμφανίζονται τόσο συχνά που έχουν το δικό τους μόνιμο σύμβολο:

Σύμβολο	Όνομα συνόλου	Τι περιέχει
$N$	Φυσικοί αριθμοί	$0, 1, 2, 3, ...$
$Z$	Ακέραιοι αριθμοί	$..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$
$Q$	Ρητοί αριθμοί	κλάσματα ακεραίων, π.χ. $\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 5$
$R$	Πραγματικοί αριθμοί	ρητοί και άρρητοι, π.χ. $\sqrt{2}, π$

Ρητοί και άρρητοι μαζί φτιάχνουν τους πραγματικούς

Υπάρχουν αριθμοί, όπως το $\sqrt{2}$ και το $π$ , που δεν γράφονται ποτέ ως πηλίκο δύο ακεραίων — λέγονται άρρητοι. Το σύνολο $R$ περιέχει όλους τους ρητούς και όλους τους άρρητους αριθμούς μαζί.

Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος, κάθε ακέραιος είναι και ρητός, και κάθε ρητός είναι και πραγματικός. Δηλαδή τα σύνολα αυτά «φωλιάζουν» το ένα μέσα στο άλλο: $N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R$ .

Η Σχέση «Ανήκει» και «Δεν Ανήκει»

Για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο $x$ είναι μέλος ενός συνόλου $A$ , χρησιμοποιούμε το σύμβολο $∈$ (ανήκει). Γράφουμε:

x ∈ A

και το διαβάζουμε «το $x$ ανήκει στο $A$ ».

Αντίθετα, όταν το $x$ δεν είναι στοιχείο του $A$ , χρησιμοποιούμε το σύμβολο $∉$ (δεν ανήκει):

x ∉ A

και το διαβάζουμε «το $x$ δεν ανήκει στο $A$ ».

Παραδείγματα με τα σύνολα αριθμών:

$\frac{3}{5} ∉ N$ , γιατί το $\frac{3}{5}$ δεν είναι φυσικός αριθμός.
$\frac{3}{5} ∈ Q$ , γιατί είναι πηλίκο δύο ακεραίων.
$-2 ∈ Z$ , γιατί είναι ακέραιος αριθμός.
$\sqrt{2} ∉ Q$ , γιατί ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος.
$\sqrt{2} ∈ R$ , γιατί κάθε άρρητος είναι πραγματικός αριθμός.

Προσοχή στο 0 και στους αρνητικούς

Ένα συχνό λάθος είναι να θεωρούμε πραγματικό αριθμό «τυχαίο» χωρίς να ελέγχουμε το σύνολο στο οποίο ανήκει. Θυμήσου: το $0$ είναι φυσικός, ακέραιος, ρητός και πραγματικός· ένας αρνητικός αριθμός όπως το $-3$ είναι ακέραιος, ρητός και πραγματικός, αλλά ποτέ φυσικός.

Τρόποι Παράστασης ενός Συνόλου

Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι να περιγράψουμε ένα σύνολο.

1. Παράσταση με Αναγραφή Στοιχείων

Όταν γνωρίζουμε όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και είναι λίγα, τα γράφουμε μέσα σε άγκιστρα $\{ \}$ , χωρισμένα με κόμμα. Για παράδειγμα, το σύνολο $A$ με στοιχεία τους αριθμούς 2, 4 και 6 γράφεται:

A = \{2, 4, 6\}

Όταν τα στοιχεία είναι πολλά ή άπειρα αλλά ακολουθούν ένα ξεκάθαρο μοτίβο, γράφουμε τα πρώτα από αυτά και βάζουμε τελείες $(...)$ για να δηλώσουμε ότι η ακολουθία συνεχίζεται με τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγμα, το σύνολο $B$ των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 γράφεται:

B = \{1, 2, 3, ..., 100\}

και το σύνολο $Γ$ των κλασμάτων της μορφής $\frac{1}{ν}$ , όπου $ν$ θετικός ακέραιος, γράφεται:

Γ = \Big\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\Big\}

Αυτός ο τρόπος ονομάζεται παράσταση του συνόλου με αναγραφή των στοιχείων του.

2. Παράσταση με Περιγραφική Ιδιότητα

Όταν τα στοιχεία ενός συνόλου δεν είναι βολικό να αναγραφούν ένα-ένα, περιγράφουμε το σύνολο μέσω μιας ιδιότητας που έχουν μόνο τα στοιχεία του. Η γενική μορφή είναι:

\{x ∈ Κ \mid x \text{ έχει την ιδιότητα } P\}

και διαβάζεται «το σύνολο των $x$ που ανήκουν στο $Κ$ , για τα οποία ισχύει η ιδιότητα $P$ ».

Για παράδειγμα, το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών γράφεται:

\{x ∈ R \mid x > 0\}

και διαβάζεται «το σύνολο των $x$ που ανήκουν στους πραγματικούς αριθμούς, όπου το $x$ είναι μεγαλύτερο του 0».

Ομοίως, το σύνολο των άρτιων ακεραίων γράφεται:

\{x ∈ Z \mid x \text{ άρτιος}\}

Δύο δρόμοι, ο ίδιος προορισμός

Το ίδιο σύνολο μπορεί συχνά να γραφτεί και με τους δύο τρόπους. Το σύνολο $\{2, 4, 6, 8\}$ είναι ακριβώς το ίδιο με το $\{x ∈ N \mid x \text{ άρτιος και } 0 < x < 10\}$ — απλώς το βλέπουμε από διαφορετική οπτική.

Ίσα Σύνολα

Δύο σύνολα μπορεί να περιγράφονται με τελείως διαφορετικό τρόπο, αλλά τελικά να περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Ας δούμε ένα παράδειγμα: έστω τα σύνολα

A = \{1, 2\} \quad \text{και} \quad B = \{x ∈ R \mid (x-1)(x-2) = 0\}

Λύνοντας την εξίσωση $(x-1)(x-2) = 0$ βρίσκουμε ότι οι λύσεις είναι οι αριθμοί 1 και 2. Άρα το σύνολο $B$ περιέχει ακριβώς τα ίδια στοιχεία με το $A$ .

Γενικά, δύο σύνολα $A$ και $B$ λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία, και γράφουμε $A = B$ .

Με απλά λόγια

Δύο σύνολα $A$ και $B$ είναι ίσα, όταν κάθε στοιχείο του $A$ είναι επίσης στοιχείο του $B$ , και αντίστροφα, κάθε στοιχείο του $B$ είναι επίσης στοιχείο του $A$ .

Η σειρά και οι επαναλήψεις δεν μετράνε

Στα σύνολα, η σειρά καταγραφής των στοιχείων δεν έχει σημασία, ούτε το αν κάποιο στοιχείο εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές. Έτσι $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\} = \{1, 1, 2, 3\}$ — και τα τρία περιγράφουν το ίδιο ακριβώς σύνολο.

Υποσύνολα

Πολλές φορές όλα τα στοιχεία ενός συνόλου ανήκουν και σε ένα άλλο, μεγαλύτερο σύνολο. Έστω, για παράδειγμα, τα σύνολα:

A = \{1, 2, 3, ..., 15\} \quad \text{και} \quad B = \{1, 2, 3, ..., 100\}

Παρατηρούμε ότι όλοι οι αριθμοί του $A$ υπάρχουν και στο $B$ . Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το $A$ είναι υποσύνολο του $B$ .

Γενικά, ένα σύνολο $A$ είναι υποσύνολο ενός συνόλου $B$ , όταν κάθε στοιχείο που ανήκει στο $A$ ανήκει και στο $B$ . Αυτό συμβολίζεται:

A \subseteq B

Βασικές Ιδιότητες Υποσυνόλων

Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του: $A \subseteq A$ .
Μεταβατική ιδιότητα: αν $A \subseteq B$ και $B \subseteq Γ$ , τότε $A \subseteq Γ$ .
Αν $A \subseteq B$ και ταυτόχρονα $B \subseteq A$ , τότε τα σύνολα $A$ και $B$ είναι ίσα, δηλαδή $A = B$ . Αυτός είναι στην πράξη ο πιο συνηθισμένος τρόπος να αποδείξουμε ότι δύο σύνολα είναι ίσα: δείχνουμε ότι το καθένα είναι υποσύνολο του άλλου.

⊆ δεν σημαίνει «γνήσιο» υποσύνολο

Το σύμβολο $A \subseteq B$ επιτρέπει και την περίπτωση $A = B$ . Όταν θέλουμε να τονίσουμε ότι το $A$ είναι υποσύνολο του $B$ αλλά διαφέρει από αυτό (δηλαδή το $B$ έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο παραπάνω), χρησιμοποιούμε το σύμβολο $A \subset B$ και λέμε ότι το $A$ είναι γνήσιο υποσύνολο του $B$ .

Το Κενό Σύνολο 🕳️

Υπάρχει περίπτωση ένα σύνολο, όπως το ορίζουμε με μια ιδιότητα, να μην έχει τελικά κανένα στοιχείο. Ας δούμε το σύνολο:

A = \{x ∈ R \mid x^2 = -1\}

Ψάχνουμε αριθμούς $x$ που, όταν υψωθούν στο τετράγωνο, δίνουν $-1$ . Όμως δεν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι πάντα $≥ 0$ . Άρα το σύνολο $A$ δεν έχει κανένα στοιχείο.

Το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με $\emptyset$ ή με $\{\}$ .

Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο όλων

Το κενό σύνολο θεωρείται υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή $\emptyset \subseteq A$ για κάθε σύνολο $A$ . Αυτό ισχύει γιατί δεν υπάρχει κανένα στοιχείο του $\emptyset$ που να μην ανήκει στο $A$ — η συνθήκη επαληθεύεται «αυτόματα», αφού δεν υπάρχουν καν στοιχεία να ελεγχθούν.

Το Βασικό Σύνολο και τα Διαγράμματα Venn 📊

Όταν δουλεύουμε με σύνολα, συνήθως τα θεωρούμε όλα μέρη ενός μεγαλύτερου συνόλου αναφοράς, το οποίο ονομάζεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με $Ω$ . Για παράδειγμα, όταν μελετάμε σύνολα αριθμών, συχνά το βασικό σύνολο είναι το $R$ ( $Ω = R$ ), και τότε τα $N$ , $Z$ , $Q$ είναι υποσύνολα του $Ω$ .

Τα σύνολα και οι σχέσεις τους παριστάνονται εποπτικά με διαγράμματα Venn:

Το βασικό σύνολο $Ω$ σχεδιάζεται σαν ένα ορθογώνιο.
Κάθε υποσύνολο του $Ω$ σχεδιάζεται σαν μια κλειστή καμπύλη μέσα στο ορθογώνιο.

Πώς δείχνουμε ένα υποσύνολο

Αν $A \subseteq B$ , τότε στο διάγραμμα η καμπύλη του $A$ σχεδιάζεται εξ ολοκλήρου μέσα στην καμπύλη του $B$ , αφού κάθε στοιχείο του $A$ πρέπει να βρίσκεται και μέσα στο $B$ .

Πράξεις Συνόλων

Όπως κάνουμε πράξεις με αριθμούς, μπορούμε να «συνδυάσουμε» σύνολα και να φτιάξουμε νέα. Οι δύο βασικές πράξεις είναι η ένωση και η τομή.

Ένωση Συνόλων

Η ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$ , υποσυνόλων ενός βασικού συνόλου $Ω$ , είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα δύο σύνολα — είτε στο $A$ , είτε στο $B$ , είτε και στα δύο.

Συμβολίζεται με $A ∪ B$ και ορίζεται:

A ∪ B = \{x ∈ Ω \mid x ∈ A \text{ ή } x ∈ B\}

Δηλαδή, παίρνουμε όλα τα στοιχεία του $A$ και όλα τα στοιχεία του $B$ , και τα βάζουμε σε ένα καινούργιο σύνολο. Αν κάποιο στοιχείο υπάρχει και στα δύο, το γράφουμε μόνο μία φορά στο αποτέλεσμα — τα σύνολα δεν έχουν επαναλαμβανόμενα στοιχεία.

Παράδειγμα: αν $A = \{1, 2, 3\}$ και $B = \{3, 4, 5\}$ , τότε $A ∪ B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Τομή Συνόλων

Η τομή δύο συνόλων $A$ και $B$ , υποσυνόλων ενός βασικού συνόλου $Ω$ , είναι το σύνολο που περιέχει μόνο τα στοιχεία που ανήκουν και στα δύο σύνολα ταυτόχρονα.

Συμβολίζεται με $A ∩ B$ και ορίζεται:

A ∩ B = \{x ∈ Ω \mid x ∈ A \text{ και } x ∈ B\}

Παράδειγμα: αν $A = \{1, 2, 3\}$ και $B = \{3, 4, 5\}$ , τότε $A ∩ B = \{3\}$ , αφού μόνο το 3 ανήκει και στα δύο σύνολα.

Ξένα σύνολα

Όταν δύο σύνολα $A$ και $B$ δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, δηλαδή $A ∩ B = \emptyset$ , τα σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους.

Μην μπερδεύεις ένωση και τομή

Θυμήσου το κλειδί: η ένωση («ή») μαζεύει, άρα το αποτέλεσμα είναι συνήθως μεγαλύτερο ή ίσο από καθένα από τα αρχικά σύνολα. Η τομή («και») φιλτράρει, άρα το αποτέλεσμα είναι συνήθως μικρότερο ή ίσο. Αν δύο σύνολα είναι ξένα, η τομή τους είναι το κενό σύνολο, ενώ η ένωσή τους περιέχει όλα τα στοιχεία και των δύο.

Συμπλήρωμα Συνόλου

Το συμπλήρωμα ενός συνόλου $A$ , υποσυνόλου ενός βασικού συνόλου $Ω$ , είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του $Ω$ που δεν βρίσκονται στο $A$ .

Συμβολίζεται με $A'$ και ορίζεται:

A' = \{x ∈ Ω \mid x ∉ A\}

Με απλά λόγια

Το συμπλήρωμα είναι ό,τι «περισσεύει» από το βασικό σύνολο $Ω$ , όταν αφαιρέσουμε το $A$ .

Παράδειγμα: αν $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ και $A = \{1, 2\}$ , τότε $A' = \{3, 4, 5\}$ .

Το συμπλήρωμα εξαρτάται πάντα από το Ω

Το ίδιο σύνολο $A$ μπορεί να έχει διαφορετικό συμπλήρωμα ανάλογα με ποιο είναι το βασικό σύνολο $Ω$ . Το συμπλήρωμα του $A = \{1, 2\}$ μέσα στο $Ω = \{1,2,3,4,5\}$ είναι το $\{3,4,5\}$ , αλλά αν το $Ω$ ήταν το $N$ , το συμπλήρωμα θα ήταν διαφορετικό (και άπειρο). Πάντα να ελέγχεις ποιο είναι το $Ω$ πριν βρεις ένα συμπλήρωμα.