Η περιπέτεια ξεκινά με τα σύνολα. Μοιάζουν με σεντούκια αριθμών. Ψάξε καλά και θα ανακαλύψεις την απόλυτη τιμή και τις ρίζες. Μια ακολουθία από βήματα θα σε οδηγήσει στον επόμενο θησαυρό. Τελικός προορισμός, οι συναρτήσεις! Το ταξίδι για την κατανόηση των μαθηματικών μόλις ξεκίνησε 🏴‍☠️

Άλγεβρα Α' Λυκείου

# Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας 

Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι ένας τρόπος να περιγράψουμε πόσο "γέρνει" μια ευθεία 🧐.

Ας φανταστούμε ότι έχουμε μια ευθεία (την ονομάζουμε "ε") σε ένα σύστημα αξόνων (Oxy). Αυτή η ευθεία τέμνει τον άξονα x'x σε ένα σημείο που το ονομάζουμε Α.

Τώρα, φανταστείτε μια γραμμή (ημιευθεία Αx) που ξεκινά από το σημείο Α και κινείται κατά μήκος του άξονα x'x. Αν περιστρέψουμε αυτή τη γραμμή γύρω από το σημείο Α, προς τη θετική φορά, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία "ε", τότε η γωνία που σχηματίζεται (γωνία ω) είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία "ε" με τον άξονα x'x. Η γωνία ω είναι μεταξύ 0° και 180°.

Ο συντελεστής διεύθυνσης (ή κλίση) της ευθείας "ε" ορίζεται ως η εφαπτομένη της γωνίας ω. Συνήθως, τον συμβολίζουμε με \(λ_ε\) ή απλά με λ.

*   Αν η γωνία ω είναι <Tooltip><TooltipTrigger>οξεία</TooltipTrigger><TooltipContent>Μικρότερη από 90°.</TooltipContent></Tooltip> (μικρότερη από 90°), τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι θετικός 👍.
*   Αν η γωνία ω είναι <Tooltip><TooltipTrigger>αμβλεία</TooltipTrigger><TooltipContent>Μεγαλύτερη από 90°.</TooltipContent></Tooltip> (μεγαλύτερη από 90°), τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός 👎.
*   Αν η γωνία ω είναι 0°, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι μηδέν 0️⃣.
*   Αν η γωνία ω είναι 90° (δηλαδή η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα x'x), τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την "ε".


<Fact title=''>
	Συχνά την κλίση την συμβολίζουμε και με το γράμμα **α** αντί για  **λ**.</Fact>

# Γραφική Παράσταση \(f(x) = αx + β\) 📈

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = αx + β\) είναι μια ευθεία γραμμή.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση \(f(x) = 0,5x + 1\) έχει γραφική παράσταση μια ευθεία με εξίσωση \(y = 0,5x + 1\).

Αυτή η ευθεία:
*   Τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο A(-2,0), επειδή όταν \(y = 0\), βρίσκουμε ότι \(x = -2\).
*   Τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο B(0,1), επειδή όταν \(x = 0\), βρίσκουμε ότι \(y = 1\).
*   Έχει κλίση: \(\lambda = εφω = \frac{(OB)}{(OA)} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Η κλίση \(λ\) της ευθείας \(y = 0,5x + 1\) είναι ίση με τον συντελεστή του \(x\).

Γενικά, η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = αx + β\) είναι μια ευθεία με εξίσωση \(y = αx + β\), η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο B(0,β) και έχει κλίση \(λ = α\).

Είναι σημαντικό ότι:
*   Αν \(α > 0\), τότε \(0° < ω < 90°\)
*   Αν \(α < 0\), τότε \(90° < ω < 180°\)
*   Αν \(α = 0\), τότε \(ω = 0°\).

Στην περίπτωση που \(α = 0\), η συνάρτηση γίνεται \(f(x) = β\) και ονομάζεται <Tooltip><TooltipTrigger>σταθερή συνάρτηση</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια συνάρτηση της οποίας η τιμή είναι η ίδια για κάθε \(x\).</TooltipContent></Tooltip>, επειδή η τιμή της είναι η ίδια για κάθε \(x\). 💡

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία \(A(x_1,y_1)\) και \(B(x_2,y_2)\) της ευθείας \(y = αx + β\).


# Υπολογισμός του α από δύο σημεία και Σχετικές Θέσεις Δύο Ευθειών 📐

Ας θεωρήσουμε τώρα τυχαία σημεία \(Α(x_1,y_1)\) και \(Β(x_2,y_2)\) της ευθείας \(y = αx + β\).

Τότε ισχύει:
\(y_1 = αx_1 + β\) και \(y_2 = αx_2 + β\),
οπότε έχουμε:
\(y_2 - y_1 = (αx_2 + β) - (αx_1 + β) = α(x_2 - x_1)\).

Επομένως θα είναι:
\(α = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Αυτός είναι ο τρόπος να υπολογίσουμε την κλίση \(α\) μιας ευθείας όταν γνωρίζουμε δύο σημεία της, τα \(Α\) και \(Β\). 🧐

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών:
Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) με εξισώσεις \(y = α_1x + β_1\) και \(y = α_2x + β_2\) αντιστοίχως και ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα x'x γωνίες \(ω_1\) και \(ω_2\) αντιστοίχως.

*   Αν \(α_1 = α_2\), τότε \(εφω_1 = εφω_2\), οπότε \(ω_1 = ω_2\) και άρα οι ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.
*   Αν \(α_1 \neq α_2\), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 \neq β_2\), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 = β_2\), τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

Με απλά λόγια:
Δύο ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι παράλληλες αν έχουν την ίδια <Tooltip><TooltipTrigger>κλίση</TooltipTrigger><TooltipContent>Η κλίση μιας ευθείας είναι μια μέτρηση της απότομης της, που υπολογίζεται ως η μεταβολή στην y διαιρούμενη με τη μεταβολή στην x.</TooltipContent></Tooltip> (δηλαδή \(α_1 = α_2\)). Αν έχουν επιπλέον και το ίδιο σημείο τομής με τον άξονα y (δηλαδή \(β_1 = β_2\)), τότε είναι η ίδια ευθεία. Αν οι κλίσεις είναι διαφορετικές (δηλαδή \(α_1 \neq α_2\)), τότε οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο. 💡


# Σχετικές Θέσεις Δύο Ευθειών και Παρατηρήσεις 🧐

Ας δούμε τις σχετικές θέσεις δύο ευθειών. Έστω ότι έχουμε δύο ευθείες, την ε1 και την ε2, με εξισώσεις \(y = α_1x + β_1\) και \(y = α_2x + β_2\). Θεωρούμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα x'x γωνίες \(ω_1\) και \(ω_2\) αντίστοιχα.

*   Αν \(α_1 = α_2\), τότε \(εφω_1 = εφω_2\), οπότε \(ω_1 = ω_2\) και άρα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 ≠ β_2\), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (Σχ. α').
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 = β_2\), τότε οι ευθείες ταυτίζονται.
*   Αν \(α_1 ≠ α_2\), τότε \(εφω_1 ≠ εφω_2\), οπότε \(ω_1 ≠ ω_2\) και άρα οι ευθείες ε1 και ε2 τέμνονται (Σχ. β').

Σύμφωνα με τα παραπάνω, έχουμε τα εξής συμπεράσματα:

*   Οι ευθείες της μορφής \(y = αx + 1\), με \(α\) που ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς (\(α ∈ R\)), διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο, το σημείο 1 του άξονα y'y.
*   Γενικά, οι ευθείες της μορφής \(y = αx + β\), όπου το \(α\) είναι σταθερό και το \(β\) μεταβλητό, διέρχονται όλες από το σημείο \(β\) του άξονα y'y.
*   Οι ευθείες της μορφής \(y = 2x + β\), όπου \(β\) ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς (\(β ∈ R\)), είναι παράλληλες μεταξύ τους, αφού έχουν κλίση \(α = 2\).
*   Γενικά, οι ευθείες της μορφής \(y = αx + β\), όπου το \(α\) είναι σταθερό και το \(β\) μεταβλητό, είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους. 🥳


Βασική Θεωρία

# Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας 

Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι ένας τρόπος να περιγράψουμε πόσο "γέρνει" μια ευθεία 🧐.

Ας φανταστούμε ότι έχουμε μια ευθεία (την ονομάζουμε "ε") σε ένα σύστημα αξόνων (Oxy). Αυτή η ευθεία τέμνει τον άξονα x'x σε ένα σημείο που το ονομάζουμε Α.

Τώρα, φανταστείτε μια γραμμή (ημιευθεία Αx) που ξεκινά από το σημείο Α και κινείται κατά μήκος του άξονα x'x. Αν περιστρέψουμε αυτή τη γραμμή γύρω από το σημείο Α, προς τη θετική φορά, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία "ε", τότε η γωνία που σχηματίζεται (γωνία ω) είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία "ε" με τον άξονα x'x. Η γωνία ω είναι μεταξύ 0° και 180°.

Ο συντελεστής διεύθυνσης (ή κλίση) της ευθείας "ε" ορίζεται ως η εφαπτομένη της γωνίας ω. Συνήθως, τον συμβολίζουμε με \(λ_ε\) ή απλά με λ.

*   Αν η γωνία ω είναι <Tooltip><TooltipTrigger>οξεία</TooltipTrigger><TooltipContent>Μικρότερη από 90°.</TooltipContent></Tooltip> (μικρότερη από 90°), τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι θετικός 👍.
*   Αν η γωνία ω είναι <Tooltip><TooltipTrigger>αμβλεία</TooltipTrigger><TooltipContent>Μεγαλύτερη από 90°.</TooltipContent></Tooltip> (μεγαλύτερη από 90°), τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός 👎.
*   Αν η γωνία ω είναι 0°, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι μηδέν 0️⃣.
*   Αν η γωνία ω είναι 90° (δηλαδή η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα x'x), τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την "ε".


<Fact title=''>
	Συχνά την κλίση την συμβολίζουμε και με το γράμμα **α** αντί για  **λ**.</Fact>


## Γραφική Παράσταση \(f(x) = αx + β\) 📈

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = αx + β\) είναι μια ευθεία γραμμή.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση \(f(x) = 0,5x + 1\) έχει γραφική παράσταση μια ευθεία με εξίσωση \(y = 0,5x + 1\).

Αυτή η ευθεία:
*   Τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο A(-2,0), επειδή όταν \(y = 0\), βρίσκουμε ότι \(x = -2\).
*   Τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο B(0,1), επειδή όταν \(x = 0\), βρίσκουμε ότι \(y = 1\).
*   Έχει κλίση: \(\lambda = εφω = \frac{(OB)}{(OA)} = \frac{1}{2} = 0,5\).

Η κλίση \(λ\) της ευθείας \(y = 0,5x + 1\) είναι ίση με τον συντελεστή του \(x\).

Γενικά, η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x) = αx + β\) είναι μια ευθεία με εξίσωση \(y = αx + β\), η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο B(0,β) και έχει κλίση \(λ = α\).

Είναι σημαντικό ότι:
*   Αν \(α > 0\), τότε \(0° < ω < 90°\)
*   Αν \(α < 0\), τότε \(90° < ω < 180°\)
*   Αν \(α = 0\), τότε \(ω = 0°\).

Στην περίπτωση που \(α = 0\), η συνάρτηση γίνεται \(f(x) = β\) και ονομάζεται <Tooltip><TooltipTrigger>σταθερή συνάρτηση</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια συνάρτηση της οποίας η τιμή είναι η ίδια για κάθε \(x\).</TooltipContent></Tooltip>, επειδή η τιμή της είναι η ίδια για κάθε \(x\). 💡

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία \(A(x_1,y_1)\) και \(B(x_2,y_2)\) της ευθείας \(y = αx + β\).


## Υπολογισμός του α από δύο σημεία και Σχετικές Θέσεις Δύο Ευθειών 📐

Ας θεωρήσουμε τώρα τυχαία σημεία \(Α(x_1,y_1)\) και \(Β(x_2,y_2)\) της ευθείας \(y = αx + β\).

Τότε ισχύει:
\(y_1 = αx_1 + β\) και \(y_2 = αx_2 + β\),
οπότε έχουμε:
\(y_2 - y_1 = (αx_2 + β) - (αx_1 + β) = α(x_2 - x_1)\).

Επομένως θα είναι:
\(α = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Αυτός είναι ο τρόπος να υπολογίσουμε την κλίση \(α\) μιας ευθείας όταν γνωρίζουμε δύο σημεία της, τα \(Α\) και \(Β\). 🧐

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών:
Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) με εξισώσεις \(y = α_1x + β_1\) και \(y = α_2x + β_2\) αντιστοίχως και ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα x'x γωνίες \(ω_1\) και \(ω_2\) αντιστοίχως.

*   Αν \(α_1 = α_2\), τότε \(εφω_1 = εφω_2\), οπότε \(ω_1 = ω_2\) και άρα οι ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.
*   Αν \(α_1 \neq α_2\), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 \neq β_2\), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 = β_2\), τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

Με απλά λόγια:
Δύο ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) είναι παράλληλες αν έχουν την ίδια <Tooltip><TooltipTrigger>κλίση</TooltipTrigger><TooltipContent>Η κλίση μιας ευθείας είναι μια μέτρηση της απότομης της, που υπολογίζεται ως η μεταβολή στην y διαιρούμενη με τη μεταβολή στην x.</TooltipContent></Tooltip> (δηλαδή \(α_1 = α_2\)). Αν έχουν επιπλέον και το ίδιο σημείο τομής με τον άξονα y (δηλαδή \(β_1 = β_2\)), τότε είναι η ίδια ευθεία. Αν οι κλίσεις είναι διαφορετικές (δηλαδή \(α_1 \neq α_2\)), τότε οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο. 💡


## Σχετικές Θέσεις Δύο Ευθειών και Παρατηρήσεις 🧐

Ας δούμε τις σχετικές θέσεις δύο ευθειών. Έστω ότι έχουμε δύο ευθείες, την ε1 και την ε2, με εξισώσεις \(y = α_1x + β_1\) και \(y = α_2x + β_2\). Θεωρούμε ότι οι ευθείες αυτές σχηματίζουν με τον άξονα x'x γωνίες \(ω_1\) και \(ω_2\) αντίστοιχα.

*   Αν \(α_1 = α_2\), τότε \(εφω_1 = εφω_2\), οπότε \(ω_1 = ω_2\) και άρα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 ≠ β_2\), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (Σχ. α').
*   Αν \(α_1 = α_2\) και \(β_1 = β_2\), τότε οι ευθείες ταυτίζονται.
*   Αν \(α_1 ≠ α_2\), τότε \(εφω_1 ≠ εφω_2\), οπότε \(ω_1 ≠ ω_2\) και άρα οι ευθείες ε1 και ε2 τέμνονται (Σχ. β').

Σύμφωνα με τα παραπάνω, έχουμε τα εξής συμπεράσματα:

*   Οι ευθείες της μορφής \(y = αx + 1\), με \(α\) που ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς (\(α ∈ R\)), διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο, το σημείο 1 του άξονα y'y.
*   Γενικά, οι ευθείες της μορφής \(y = αx + β\), όπου το \(α\) είναι σταθερό και το \(β\) μεταβλητό, διέρχονται όλες από το σημείο \(β\) του άξονα y'y.
*   Οι ευθείες της μορφής \(y = 2x + β\), όπου \(β\) ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς (\(β ∈ R\)), είναι παράλληλες μεταξύ τους, αφού έχουν κλίση \(α = 2\).
*   Γενικά, οι ευθείες της μορφής \(y = αx + β\), όπου το \(α\) είναι σταθερό και το \(β\) μεταβλητό, είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους. 🥳


Άλγεβρα Α' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Αναβάθμισε τη συνδρομή σου για να πάρεις πρόσβαση σε όλο το περιεχόμενο!