Η περιπέτεια ξεκινά με τα σύνολα. Μοιάζουν με σεντούκια αριθμών. Ψάξε καλά και θα ανακαλύψεις την απόλυτη τιμή και τις ρίζες. Μια ακολουθία από βήματα θα σε οδηγήσει στον επόμενο θησαυρό. Τελικός προορισμός, οι συναρτήσεις! Το ταξίδι για την κατανόηση των μαθηματικών μόλις ξεκίνησε 🏴‍☠️

Άλγεβρα Α' Λυκείου

# Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες της Γεωμετρικής Προόδου

Η γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας τον με έναν συγκεκριμένο αριθμό.

Για παράδειγμα, στην ακολουθία 3, 6, 12, 24, ... κάθε όρος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με το 2. Έτσι, \(α_{ν+1} = α_ν \cdot 2\) ή \( \frac{α_{ν+1}}{α_ν} = 2\). Αυτή η ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο 2. 

Ένα άλλο παράδειγμα είναι η ακολουθία 27, -9, 3, -1, ... όπου κάθε όρος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με το \(-\frac{1}{3}\). Δηλαδή, \(α_{ν+1} = α_ν \cdot (-\frac{1}{3})\) ή \( \frac{α_{ν+1}}{α_ν} = -\frac{1}{3}\). Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο \(-\frac{1}{3}\). 

Γενικά, μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας τον με τον ίδιο, πάντα μη μηδενικό, αριθμό. Αυτόν τον αριθμό τον ονομάζουμε "λόγο" της προόδου και τον συμβολίζουμε με το γράμμα λ (\(\lambda\)). ✍️

Σε μια γεωμετρική πρόοδο \( (α_ν) \) υποθέτουμε ότι κανένας όρος \( α_ν \) δεν είναι 0, και ο λόγος λ (\(\lambda\)) επίσης δεν είναι 0. Έτσι, \( α_ν \neq 0 \) για κάθε \( ν \in \mathbb{N}^* \). Η ακολουθία \( (α_ν) \) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ (\(\lambda\)) αν και μόνο αν ισχύει:

\( α_{ν+1} = α_ν \cdot \lambda \) ή \( \frac{α_{ν+1}}{α_ν} = \lambda \)

Αν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο \( α_1 \) και τον λόγο λ (\(\lambda\)), μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρο \( α_ν \) της γεωμετρικής προόδου. Ο τύπος για τον νιοστό όρο είναι:

\( α_ν = α_1 \cdot \lambda^{ν-1} \)


# Γεωμετρικός Μέσος 📐

Ο **Γεωμετρικός μέσος** είναι ένα σημαντικό concept στις γεωμετρικές προόδους. Ας δούμε πώς ορίζεται και πώς σχετίζεται με τις γεωμετρικές ακολουθίες! 🤓

Αν έχουμε τρεις συνεχόμενους όρους \(α\), \(β\), και \(γ\) μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο \(λ\), τότε ισχύει ότι:

\(\frac{β}{α} = λ\) και \(\frac{γ}{β} = λ\), επομένως \(\frac{β}{α} = \frac{γ}{β}\) ή \(β^2 = αγ\)

Αντίστροφα, αν για τρεις αριθμούς \(α\), \(β\), \(γ\) που δεν είναι μηδέν (\(γ ≠ 0\)) ισχύει \(β^2 = αγ\), τότε οι \(α\), \(β\), και \(γ\) είναι συνεχόμενοι όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός \(\sqrt{αγ}\) λέγεται γεωμετρικός μέσος των \(α\) και \(γ\).

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί \(α\), \(β\), \(γ\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει \(β^2 = αγ\). 🥳


# Άθροισμα ν Διαδοχικών Όρων Γεωμετρικής Προόδου 🧮

**Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου**

Ας φανταστούμε ότι έχουμε μια <Tooltip><TooltipTrigger>γεωμετρική πρόοδο</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό με μια σταθερά.</TooltipContent></Tooltip> , όπως η 1, 3, 9, 27, ... Σε αυτή την πρόοδο, ο πρώτος όρος \(α_1\) είναι 1 και ο λόγος \(λ\) είναι 3. Θέλουμε να βρούμε το άθροισμα \(S_v\) των πρώτων 7 όρων της.

Έχουμε:
\(S_7 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729\)

Αντί να προσθέσουμε αυτούς τους αριθμούς έναν προς έναν, υπάρχει ένας πιο γρήγορος τρόπος. 🚀 Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της παραπάνω εξίσωσης με τον λόγο \(λ = 3\):

\(3S_7 = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187\)

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη:

\(3S_7 - S_7 = 2187 - 1\)

\(2S_7 = 2186\)

\(S_7 = 1093\)

Έτσι, το άθροισμα των 7 πρώτων όρων είναι 1093. 🎉

Εφαρμόζοντας αυτή τη μέθοδο σε οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, μπορούμε να αποδείξουμε ότι:

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου \( (α_v) \) με λόγο \(λ ≠ 1\) είναι:

\( S_v = α_1 \cdot \frac{λ^v - 1}{λ - 1} \)


Βασική Θεωρία

# Γεωμετρική Πρόοδος: Ορισμός, Ιδιότητες και Εφαρμογές 📈

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια ειδική ακολουθία αριθμών όπου κάθε όρος δημιουργείται πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο όρο με έναν σταθερό αριθμό. Ας δούμε μερικά παραδείγματα και τον γενικό ορισμό.

## Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες

Σκέψου την ακολουθία: 3, 6, 12, 24, ... ➕ Σε αυτή την ακολουθία, κάθε όρος είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του προηγούμενου όρου με το 2. Δηλαδή, \(α_{ν+1} = α_ν \cdot 2\) ή \( \frac{α_{ν+1}}{α_ν} = 2\). Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο 2.

Ένα άλλο παράδειγμα: 27, -9, 3, -1, ... ➗ Εδώ, κάθε όρος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με το \(-\frac{1}{3}\).  Έτσι, \(α_{ν+1} = α_ν \cdot (-\frac{1}{3})\) ή \( \frac{α_{ν+1}}{α_ν} = -\frac{1}{3}\).  Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο \(-\frac{1}{3}\).

<Fact title='Ορισμός'>
  Μια ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντάς τον με τον ίδιο, μη μηδενικό αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται **λόγος** της προόδου και συμβολίζεται με το γράμμα λ (\(\lambda\)).
</Fact>

Σε μια γεωμετρική πρόοδο \( (α_ν) \), κανένας όρος \( α_ν \) δεν είναι 0, και ο λόγος λ (\(\lambda\)) επίσης δεν είναι 0.  Δηλαδή, \( α_ν \neq 0 \) για κάθε \( ν \in \mathbb{N}^* \).  Η ακολουθία \( (α_ν) \) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ (\(\lambda\)) αν και μόνο αν ισχύει:

\( α_{ν+1} = α_ν \cdot \lambda \) ή \( \frac{α_{ν+1}}{α_ν} = \lambda \)

Αν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο \( α_1 \) και τον λόγο λ (\(\lambda\)), μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρο \( α_ν \) της γεωμετρικής προόδου χρησιμοποιώντας τον τύπο:

\( α_ν = α_1 \cdot \lambda^{ν-1} \)

## Γεωμετρικός Μέσος 📏

Ο γεωμετρικός μέσος είναι ένας τρόπος να βρούμε τον "μεσαίο" όρο τριών διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου.

Αν έχουμε τρεις συνεχόμενους όρους \(α\), \(β\), και \(γ\) μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο \(λ\), τότε ισχύει ότι:

\(\frac{β}{α} = λ\) και \(\frac{γ}{β} = λ\), επομένως \(\frac{β}{α} = \frac{γ}{β}\) ή \(β^2 = αγ\)

Αντίστροφα, αν για τρεις αριθμούς \(α\), \(β\), \(γ\) που δεν είναι μηδέν (\(γ ≠ 0\)) ισχύει \(β^2 = αγ\), τότε οι \(α\), \(β\), και \(γ\) είναι συνεχόμενοι όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός \(\sqrt{αγ}\) λέγεται γεωμετρικός μέσος των \(α\) και \(γ\).

<Fact title='Γεωμετρικός Μέσος'>
  Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί \(α\), \(β\), \(γ\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει \(β^2 = αγ\).
</Fact>

## Άθροισμα ν Διαδοχικών Όρων Γεωμετρικής Προόδου ➕

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο, όπως η 1, 3, 9, 27, ... Στην οποία ο πρώτος όρος \(α_1\) είναι 1 και ο λόγος \(λ\) είναι 3. Θέλουμε να βρούμε το άθροισμα \(S_v\) των πρώτων 7 όρων της.

Έχουμε:
\(S_7 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729\)

Αντί να προσθέσουμε αυτούς τους αριθμούς έναν προς έναν, υπάρχει ένας πιο γρήγορος τρόπος. Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της παραπάνω εξίσωσης με τον λόγο \(λ = 3\):

\(3S_7 = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187\)

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη:

\(3S_7 - S_7 = 2187 - 1\)

\(2S_7 = 2186\)

\(S_7 = 1093\)

Έτσι, το άθροισμα των 7 πρώτων όρων είναι 1093.

<Fact title='Άθροισμα'>
  Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου \( (α_v) \) με λόγο \(λ ≠ 1\) είναι:
  \( S_v = α_1 \cdot \frac{λ^v - 1}{λ - 1} \)
</Fact>



Άλγεβρα Α' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Αναβάθμισε τη συνδρομή σου για να πάρεις πρόσβαση σε όλο το περιεχόμενο!