Η περιπέτεια ξεκινά με τα σύνολα. Μοιάζουν με σεντούκια αριθμών. Ψάξε καλά και θα ανακαλύψεις την απόλυτη τιμή και τις ρίζες. Μια ακολουθία από βήματα θα σε οδηγήσει στον επόμενο θησαυρό. Τελικός προορισμός, οι συναρτήσεις! Το ταξίδι για την κατανόηση των μαθηματικών μόλις ξεκίνησε 🏴‍☠️

Άλγεβρα Α' Λυκείου

# 🧠 **Επίλυση ανίσωσης 2ου βαθμού**

Έστω η ανίσωση:

\[
αx^2 + βx + γ > 0 \tag{1}
\]

Για να την λύσουμε, ακολουθούμε τα εξής βήματα:



### 🔹 **1ο ΒΗΜΑ: ΚΑΝΟΥΜΕ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ**

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

\[
\Delta = β^2 - 4αγ
\]



### 🔹 **2ο ΒΗΜΑ: ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ**



#### ✅ Αν \( \Delta > 0 \)

<Image id="4de7103c-8522-4140-5adf-be757e346200"/>



#### ⚖️ Αν \( \Delta = 0 \)

\[
\text{Μία διπλή ρίζα: } x_1
\]



<Image id="c7e55d10-58a8-4ed7-ca57-89ba42ee7c00"/>




#### ❌ Αν \( \Delta < 0 \)

\[
\text{Καμία πραγματική ρίζα}
\]

<Image id="7794bd49-76b9-4eba-dfc1-379e4ff13600"/>




### 📌 **Παρατήρηση:**

Βλέπουμε ότι ο συντελεστής \(α\) *παίζει πολύ σημαντικό ρόλο* στην επίλυση των ανισώσεων 2ου βαθμού! Αν ξέρεις το πρόσημό του, έχεις ήδη τη μισή λύση στα χέρια σου! 😄



# Παράδειγμα 1: Επίλυση ανισώσεων


Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) \(2x^2 - 3x - 2 > 0\)

ii) \(2x^2 - 3x - 2 < 0\)

## **Λύση:**

Ζητάμε τις τιμές του \(x\), για τις οποίες το <Tooltip><TooltipTrigger>τριώνυμο</TooltipTrigger><TooltipContent>Έκφραση της μορφής \(ax^2 + bx + c\), όπου \(a\), \(b\), και \(c\) είναι σταθερές και \(a ≠ 0\).</TooltipContent></Tooltip> \(2x^2 - 3x - 2\) είναι θετικό στην περίπτωση (i) και αρνητικό στην περίπτωση (ii).

Το τριώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς \(-\frac{1}{2}\) και \(2\), και, επειδή \(α = 2 > 0\), το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι:

i) Η ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 > 0\) έχει λύσεις τα \(x \in \mathbb{R}\) για τα οποία ισχύει \(x < -\frac{1}{2}\) ή \(x > 2\), δηλαδή τα \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)\). Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

ii) Η ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 < 0\) έχει λύσεις τα \(x \in \mathbb{R}\) για τα οποία ισχύει \(-\frac{1}{2} < x < 2\), δηλαδή τα \(x \in (-\frac{1}{2}, 2)\). Οι λύσεις αυτές εποπτικά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.



# Παράδειγμα 2: Επίλυση ανίσωσης 🧮



Θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 \leq 0\). 🤔

Για να το επιτύχουμε, αναζητούμε τις τιμές του \(x\) που ικανοποιούν την ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 < 0\) ή είναι ρίζες της εξίσωσης \(2x^2 - 3x - 2 = 0\).

Όπως είδαμε στο πρώτο παράδειγμα, οι λύσεις της ανίσωσης \(2x^2 - 3x - 2 \leq 0\) είναι τα \(x\) που ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (\(x \in \mathbb{R}\)), με \(-\frac{1}{2} \leq x \leq 2\). 🥳 Δηλαδή, το \(x\) ανήκει στο διάστημα \([-\frac{1}{2}, 2]\).



# Παράδειγμα 3: Επίλυση ανισώσεων  🤔

Ας δούμε πώς λύνονται οι ανισώσεις:

i) \(x^2 - 2x + 1 > 0\)

ii) \(x^2 - 2x + 1 < 0\)

## Λύση:

Η <Tooltip><TooltipTrigger>διακρίνουσα</TooltipTrigger><TooltipContent>Η διακρίνουσα (Δ) είναι ένας αριθμός που υπολογίζεται από τους συντελεστές μιας πολυωνυμικής εξίσωσης και χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει τη φύση των ριζών της εξίσωσης.</TooltipContent></Tooltip> του τριωνύμου \(x^2 - 2x + 1\) είναι \(\Delta = 0\), οπότε έχει διπλή ρίζα τη \(x = 1\). Άρα, το τριώνυμο είναι ομόσημο του \(α = 1\), δηλαδή θετικό 👍, για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) με \(x \neq 1\). Επομένως:

*   Οι λύσεις της ανίσωσης (i) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί \(x\), με \(x \neq 1\).
*   Η ανίσωση (ii) είναι αδύνατη 😥.


# Παράδειγμα 4: Επίλυση ανίσωσης

Στο παράδειγμα 4, έχουμε την ανίσωση \(x^2 + x + 1 > 0\) και θέλουμε να βρούμε τις λύσεις της.

## Λύση:

Για να λύσουμε την ανίσωση, πρώτα βρίσκουμε τη <Tooltip><TooltipTrigger>διακρίνουσα</TooltipTrigger><TooltipContent>Στην άλγεβρα, η διακρίνουσα είναι μια έκφραση που εξαρτάται από τους συντελεστές ενός πολυωνύμου και καθορίζει τις ιδιότητες των ριζών του.</TooltipContent></Tooltip> (Δ) του τριωνύμου \(x^2 + x + 1\). Η διακρίνουσα είναι \(\Delta = -3\), που είναι μικρότερη από το 0 (\(\Delta < 0\)).

Αυτό σημαίνει ότι το τριώνυμο είναι πάντα θετικό, επειδή είναι ομόσημο του \(α = 1\) (δηλαδή, έχει το ίδιο πρόσημο με το 1), για κάθε \(x\) που ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς (\(x \in \mathbb{R}\)).

Επομένως, οι λύσεις της ανίσωσης \(x^2 + x + 1 > 0\) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. 🥳


Άλγεβρα Α' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση