Τραπέζια 🤓

Τραπέζιο

Ορισμός

Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. 🤏

• Οι παράλληλες πλευρές (π.χ., ΑΒ και ΓΔ) λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Η μεγαλύτερη βάση συνήθως συμβολίζεται με $Β$ και η μικρότερη με $β$.
• Οι μη παράλληλες πλευρές (π.χ., ΑΔ και ΒΓ) λέγονται πλευρές ή σκέλη του τραπεζίου.
• Κάθε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του τραπεζίου με τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου 📏.
• Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών λέγεται διάμεσος του τραπεζίου (π.χ., ΕΖ).

Θεώρημα 1 💡

Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Δηλαδή, αν ΕΖ είναι η διάμεσος του τραπεζίου ΑΒΓΔ (με βάσεις ΑΒ και ΓΔ), τότε:
i) ΕΖ // ΑΒ και ΕΖ // ΓΔ
ii) Το μήκος της ισούται με

Απόδειξη 🔍

1. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ.
2. Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Έστω Ε το μέσο της ΑΔ.
3. Από το Ε φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την ΑΒ (άρα και προς τη ΓΔ) που τέμνει τη ΒΔ στο Κ και τη ΒΓ στο Ζ.
4. Στο τρίγωνο ΑΒΔ:
   • Ε είναι μέσο της ΑΔ.
   • ΕΚ // ΑΒ (από κατασκευή).
   • Άρα, από το θεώρημα που συνδέει το μέσο μιας πλευράς τριγώνου με ευθεία παράλληλη προς άλλη πλευρά, το Κ είναι το μέσο της ΒΔ και ισχύει: $ΕΚ = \frac{ΑΒ}{2}$ (1).
5. Στο τρίγωνο ΒΔΓ:
   • Κ είναι μέσο της ΒΔ (από το προηγούμενο βήμα).
   • ΚΖ // ΓΔ (αφού η ευθεία ΕΖ είναι παράλληλη στη ΓΔ).
   • Άρα, το Ζ είναι το μέσο της ΒΓ και ισχύει: $ΚΖ = \frac{ΓΔ}{2}$ (2).
6. Αφού το Ε είναι μέσο της ΑΔ και το Ζ είναι μέσο της ΒΓ, το τμήμα ΕΖ είναι η διάμεσος του τραπεζίου.
7. Η διάμεσος ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΓΔ (από την κατασκευή της ευθείας που περνά από το Ε).
8. Το μήκος της διαμέσου είναι: $ΕΖ = ΕΚ + ΚΖ$. Αντικαθιστώντας από τις σχέσεις (1) και (2):
   $ΕΖ = \frac{ΑΒ}{2} + \frac{ΓΔ}{2} = \frac{ΑΒ + ΓΔ}{2}$. ✅

Πόρισμα (Συνέπεια του Θεωρήματος 1) ✨

Η διάμεσος ΕΖ τραπεζίου ΑΒΓΔ διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του (ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα). Το τμήμα ΚΛ που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων:

• Είναι παράλληλο με τις βάσεις ΑΒ και ΓΔ.
• Είναι ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων:

Απόδειξη 🔍

1. Γνωρίζουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος 1 ότι το Κ είναι το μέσο της διαγωνίου ΒΔ (αφού Ε μέσο ΑΔ και ΕΚ // ΑΒ στο τρίγωνο ΑΒΔ) και $ΕΚ = \frac{ΑΒ}{2}$ (1).
2. Θεωρούμε τώρα το τρίγωνο ΑΔΓ:
   • Ε είναι μέσο της ΑΔ.
   • ΕΛ // ΓΔ (αφού η διάμεσος ΕΖ είναι παράλληλη στη ΓΔ).
   • Άρα, από το ίδιο θεώρημα, το Λ είναι το μέσο της διαγωνίου ΑΓ και ισχύει: $ΕΛ = \frac{ΓΔ}{2}$ (3).
3. Επομένως, η διάμεσος ΕΖ διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων ΒΔ και ΑΓ.
4. Το μήκος του τμήματος ΚΛ βρίσκεται από τη διαφορά των μηκών ΕΛ και ΕΚ. Υποθέτοντας ότι ΓΔ > ΑΒ (άρα και ΕΛ > ΕΚ):
   $ΚΛ = ΕΛ - ΕΚ = \frac{ΓΔ}{2} - \frac{ΑΒ}{2} = \frac{ΓΔ - ΑΒ}{2}$.
   Αν ΑΒ > ΓΔ, τότε $ΚΛ = ΕΚ - ΕΛ = \frac{ΑΒ - ΓΔ}{2}$.
   Σε κάθε περίπτωση, το μήκος είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς διά 2: $ΚΛ = \frac{|ΓΔ - ΑΒ|}{2}$. ✅

Ισοσκελές Τραπέζιο ⭐

Ορισμός

Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές (τα σκέλη) είναι ίσες. (π.χ., σε τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ, ισχύει ΑΔ = ΒΓ).

Ιδιότητες Ισοσκελούς Τραπεζίου

Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε κάθε μία από τις βάσεις είναι ίσες μεταξύ τους. (Δηλαδή, $\hat{Α} = \hat{Β}$ και $\hat{Δ} = \hat{Γ}$).
ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. (Δηλαδή, ΑΓ = ΒΔ).

Απόδειξη 🔍

Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ).

i) Γωνίες Βάσης:

1. Φέρνουμε τα ύψη ΔΗ και ΓΚ από τις κορυφές Δ και Γ προς την ευθεία της βάσης ΑΒ. Τα ΔΗ και ΓΚ είναι κάθετα στην ΑΒ.
2. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΗ ($\hat{H} = 90^\circ$) και ΒΚΓ ($\hat{K} = 90^\circ$). Αυτά είναι ίσα γιατί:
   • Έχουν τις υποτείνουσες ίσες: ΑΔ = ΒΓ (από τον ορισμό του ισοσκελούς τραπεζίου).
   • Έχουν τις κάθετες πλευρές ΔΗ και ΓΚ ίσες, διότι είναι αποστάσεις μεταξύ των παραλλήλων ευθειών ΑΒ και ΓΔ.
3. Από την ισότητα των τριγώνων (ισότητα ορθογωνίων τριγώνων με ίση υποτείνουσα και μία ίση κάθετη πλευρά) προκύπτει ότι οι αντίστοιχες οξείες γωνίες είναι ίσες: $\hat{Α} = \hat{Β}$.
4. Επειδή ΑΒ // ΓΔ, οι γωνίες Α και Δ είναι εντός και επί τα αυτά μέρη ως προς την τέμνουσα ΑΔ, άρα το άθροισμά τους είναι $180^\circ$: $\hat{Α} + \hat{Δ} = 180^\circ$.
5. Ομοίως, οι γωνίες Β και Γ είναι εντός και επί τα αυτά μέρη ως προς την τέμνουσα ΒΓ, άρα $\hat{Β} + \hat{Γ} = 180^\circ$.
6. Αφού $\hat{Α} = \hat{Β}$ (από το βήμα 3), από τις σχέσεις (4) και (5) συμπεραίνουμε ότι πρέπει να ισχύει και $\hat{Δ} = \hat{Γ}$. ✅

ii) Διαγώνιοι:

1. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ. Αυτά έχουν:
   • ΑΔ = ΒΓ (ως μη παράλληλες πλευρές ισοσκελούς τραπεζίου).
   • ΔΓ είναι κοινή πλευρά.
   • $\hat{Δ} = \hat{Γ}$ (ως γωνίες της μεγάλης βάσης, το αποδείξαμε στην ιδιότητα i).
2. Άρα, τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ είναι ίσα, σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας τριγώνων Πλευρά-Γωνία-Πλευρά (Π-Γ-Π).
3. Επομένως, οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες Δ και Γ αντίστοιχα, δηλαδή οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ, είναι ίσες: ΑΓ = ΒΔ. ✅

Κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές 🤔

Ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) είναι ισοσκελές, αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις (δηλαδή, αν ισχύει μία από αυτές, τότε ισχύουν και οι άλλες ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου):

i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες (π.χ., αν $\hat{Δ} = \hat{Γ}$ ή αν $\hat{Α} = \hat{Β}$).
ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες (αν ΑΓ = ΒΔ).

Απόδειξη (Κριτήριο i) 🔍

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) στο οποίο οι γωνίες μιας βάσης είναι ίσες. Ας υποθέσουμε ότι $\hat{Δ} = \hat{Γ}$. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι ισοσκελές, δηλαδή ότι ΑΔ = ΒΓ.

1. Επειδή ΑΒ // ΓΔ, ισχύει $\hat{Α} + \hat{Δ} = 180^\circ$ και $\hat{Β} + \hat{Γ} = 180^\circ$.
2. Αφού $\hat{Δ} = \hat{Γ}$ (από υπόθεση), από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει άμεσα ότι και $\hat{Α} = \hat{Β}$.
3. Φέρνουμε τα ύψη ΔΗ και ΓΚ από τις κορυφές Δ και Γ προς την ευθεία της βάσης ΑΒ.
4. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΚΓ. Αυτά έχουν:
   • ΔΗ = ΓΚ (ως αποστάσεις μεταξύ των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ).
   • $\hat{Α} = \hat{Β}$ (όπως δείξαμε στο βήμα 2).
5. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα (έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία ίση).
6. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι και οι υποτείνουσές τους είναι ίσες: ΑΔ = ΒΓ.
7. Επομένως, το τραπέζιο ΑΒΓΔ, έχοντας ίσες τις μη παράλληλες πλευρές του, είναι ισοσκελές. ✅