Εφαρμογές στα Παραλληλόγραμμα και Τρίγωνα 📐

Θεώρημα Ι: Το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. 🤔

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι $ΔΕ // ΒΓ$ και $ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2}$, δηλαδή συνοπτικά $ΔΕ // = \frac{ΒΓ}{2}$.

1. Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα ΕΖ = ΔΕ.
2. Το τετράπλευρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του ΑΓ, ΔΖ διχοτομούνται (ΑΕ = ΕΓ από υπόθεση, ΔΕ = ΕΖ από κατασκευή).
3. Άρα ΑΔ // ΓΖ και ΑΔ = ΓΖ.
4. Επειδή ΑΔ = ΔΒ (αφού Δ μέσο του ΑΒ), έπεται ότι ΔΒ = ΓΖ.
5. Αφού ΑΔ // ΓΖ, τότε και ΔΒ // ΓΖ (αφού Δ, Β σημεία της ΑΒ).
6. Έτσι, το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε:
   • (i) ΔΖ // ΒΓ, άρα και το τμήμα του ΔΕ είναι παράλληλο στη ΒΓ ($ΔΕ // ΒΓ$). ✅
   • (ii) ΔΖ = ΒΓ. Επειδή $ΔΖ = ΔΕ + ΕΖ = 2ΔΕ$, έχουμε $2ΔΕ = ΒΓ$ ή $ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2}$. ✅

Θεώρημα ΙΙ: Η ευθεία από το μέσο μιας πλευράς παράλληλη προς άλλη

Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. 🎯

ΑΠΟΔΕΙΞΗ (με εις άτοπον απαγωγή)

1. Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας φέρουμε από το μέσο Δ της ΑΒ την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε.
2. Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της ΑΓ.
3. Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ. Αν Ζ είναι το μέσο της ΑΓ, τότε το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, ΔΖ // ΒΓ.
4. Έτσι, όμως, έχουμε από το Δ δύο παράλληλες προς τη ΒΓ: την ΔΕ (από υπόθεση) και την ΔΖ. Αυτό είναι άτοπο, διότι από ένα σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλη προς αυτήν. 🤯
5. Άρα το Ε είναι μέσο της ΑΓ. ✅

Θεώρημα ΙΙΙ: Οι παράλληλες και τα ίσα τμήματα

Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. 📏

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες $ε_1, ε_2, ε_3$, οι οποίες τέμνουν την $δ_1$ στα σημεία Α, Β, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ ($ΑΒ = ΒΓ$).
2. Αν μια άλλη ευθεία $δ_2$ τέμνει τις $ε_1, ε_2, ε_3$ στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι $ΔΕ = ΕΖ$.
3. Από το Α φέρουμε την ευθεία $ΑΚ // δ_2$, η οποία τέμνει την $ε_2$ στο Η και την $ε_3$ στο Κ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΗΕΖΚ έχουν τις απέναντι πλευρές τους παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμα, οπότε $ΑΗ = ΔΕ$ (1) και $ΗΚ = ΕΖ$ (2).
4. Στο τρίγωνο ΑΚΓ το Β είναι το μέσο της ΑΓ και $ΒΗ // ΓΚ$. Άρα, από το Θεώρημα ΙΙ, το Η είναι μέσο της ΑΚ, δηλαδή $ΑΗ = ΗΚ$ (3).
5. Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι $ΔΕ = ΕΖ$. ✅

Η μεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων

Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες $ε_1$ και $ε_2$, και ένα τμήμα ΑΒ κάθετο προς αυτές ($ΑΒ ⊥ ε_1$), το οποίο έχει τα άκρα του στις $ε_1$ και $ε_2$. Το μήκος του ΑΒ είναι η απόσταση $υ$ των δύο παραλλήλων.

Ευθύ: Αν από το μέσο Μ της ΑΒ φέρουμε την ευθεία ε παράλληλη προς τις $ε_1$ και $ε_2$, τότε κάθε σημείο Μ' της ε ισαπέχει από τις $ε_1$ και $ε_2$. Πράγματι, αν Γ, Δ είναι τα σημεία τομής μιας τυχαίας τέμνουσας που περνά από το Μ' με τις $ε_1, ε_2$, οι τρεις παράλληλες $ε_1$, ε, $ε_2$ ορίζουν ίσα τμήματα στην ΑΒ (αφού Μ μέσο), άρα από το Θεώρημα ΙΙΙ ορίζουν ίσα τμήματα και στην τέμνουσα: $Μ'Γ = Μ'Δ = \frac{ΓΔ}{2}$.

Αντίστροφο: Αν ένα σημείο Μ ισαπέχει από τις $ε_1$ και $ε_2$, τότε το Μ βρίσκεται μεταξύ των παραλλήλων και, αν Γ, Δ είναι τα ίχνη των καθέτων από το Μ προς τις $ε_1, ε_2$, ισχύει $ΜΓ + ΜΔ = ΓΔ = υ$, οπότε $ΜΓ = ΜΔ = \frac{υ}{2}$.

Έτσι, φέρνοντας το τμήμα ΜΚ προς το μέσο Κ της ΑΒ, τα τετράπλευρα ΜΓΑΚ και ΜΔΒΚ είναι παραλληλόγραμμα ($ΜΓ // = ΑΚ$ και $ΜΔ // = ΚΒ$), οπότε $ΜΚ // ε_1$ και $ΜΚ // ε_2$. Επομένως, το Μ ανήκει στην ευθεία ε.

Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι:

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες $ε_1$ και $ε_2$, είναι μία ευθεία ε παράλληλη προς τις $ε_1$ και $ε_2$, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δύο παράλληλες.

Η ευθεία ε λέγεται μεσοπαράλληλος των $ε_1$ και $ε_2$. ✨

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η: Τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου

Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. 🔶

Απόδειξη

1. Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι το ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο.
2. Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ.
3. Παρατηρούμε ότι τα Ε και Θ είναι τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΔ, οπότε $ΕΘ // = \frac{ΒΔ}{2}$ (1) (από Θεώρημα Ι).
4. Όμοια από το τρίγωνο ΒΓΔ προκύπτει ότι $ΖΗ // = \frac{ΒΔ}{2}$ (2).
5. Από τις (1) και (2) έχουμε ότι $ΕΘ // = ΖΗ$, οπότε το ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο (έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες). 🎉

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ανάλογο συμπέρασμα ισχύει και σε μη κυρτό τετράπλευρο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η: Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε τρία ίσα τμήματα

Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα. ✂️

Λύση

1. Φέρουμε μια ημιευθεία Αx (διαφορετική από την ΑΒ) και παίρνουμε σε αυτή τα ίσα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ. ($ΑΓ = ΓΔ = ΔΕ$).
2. Φέρουμε τη ΒΕ και από τα Γ και Δ φέρουμε παράλληλες προς αυτή, οι οποίες τέμνουν την ΑΒ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα.
3. Έχουμε λοιπόν τρεις παράλληλες ευθείες (τη ΓΖ, την ΔΗ και τη ΒΕ), οι οποίες ορίζουν στην ημιευθεία Αx τα ίσα τμήματα ΓΔ και ΔΕ.
4. Τότε σύμφωνα με το Θεώρημα ΙΙΙ (γενικευμένο), θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην ΑΒ, δηλαδή $ΑΖ = ΖΗ = ΗΒ$. ✅