Είδη Παραλληλογράμμων 🤓

Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξερευνήσουμε ειδικές κατηγορίες παραλληλογράμμων που έχουν επιπλέον ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Αυτά είναι το ορθογώνιο, ο ρόμβος και το τετράγωνο. ✨

Ορθογώνιο 📐

Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι διαδοχικές παραπληρωματικές (άθροισμα $180^\circ$), αν η μία γωνία είναι ορθή ($90^\circ$), τότε όλες οι γωνίες του είναι ορθές!

Ιδιότητες ορθογωνίου

Οι διαγώνιοί του ορθογωνίου είναι ίσες.

Απόδειξη: Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΓΑ. Έχουν:

1. ΑΔ κοινή πλευρά.
2. ΑΒ = ΔΓ (ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου).
3. $\hat{A} = \hat{\Delta} = 90^\circ$ (επειδή είναι ορθογώνιο).

Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο Π-Γ-Π). Επομένως, οι απέναντι πλευρές τους ΒΔ και ΑΓ είναι ίσες ($ΒΔ = ΑΓ$). ✅

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αρκεί να ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

i) Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία.

ii) Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

iii) Έχει τρεις γωνίες ορθές. (Αν έχει τρεις ορθές, το άθροισμά τους είναι $3 \times 90^\circ = 270^\circ$. Αφού το άθροισμα των γωνιών τετραπλεύρου είναι $360^\circ$, η τέταρτη γωνία θα είναι $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$).

iv) Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. (Αν όλες είναι ίσες, κάθε μία θα είναι $360^\circ / 4 = 90^\circ$).

Ρόμβος ♦️

Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, αν δύο διαδοχικές πλευρές είναι ίσες, τότε προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες.

Ιδιότητες ρόμβου

• Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα.
• Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του.

Απόδειξη: Έστω ρόμβος ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Στο τρίγωνο ΑΒΔ ισχύει ΑΒ = ΑΔ (από τον ορισμό του ρόμβου), άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί τη διαγώνιο ΒΔ (ιδιότητα παραλληλογράμμου), άρα το ΑΟ είναι διάμεσος προς τη βάση ΒΔ. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος προς τη βάση είναι ταυτόχρονα ύψος (άρα $ΑΟ \perp ΒΔ$) και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής (άρα η ΑΟ διχοτομεί τη γωνία $\hat{A}$). Ομοίως αποδεικνύεται ότι οι διαγώνιοι διχοτομούν και τις άλλες γωνίες. 👍

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αρκεί να ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

i) Έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

ii) Είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.

iii) Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα.

iv) Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του.

Τετράγωνο ⏹️

Αυτό σημαίνει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου!

Ιδιότητες τετραγώνου

Συνδυάζοντας τις ιδιότητες ορθογωνίου και ρόμβου, για κάθε τετράγωνο ισχύουν:

i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

ii) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.

iii) Όλες οι γωνίες του είναι ορθές ($90^\circ$).

iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του.

Κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, πρέπει να δείξουμε ότι είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος. Αρκεί να ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

i) Είναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή (άρα ορθογώνιο) και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (άρα ρόμβος).

ii) Είναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή (άρα ορθογώνιο) και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του (άρα ρόμβος).

iii) Είναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή (άρα ορθογώνιο) και οι διαγώνιοί του κάθετες (άρα ρόμβος).

iv) Είναι παραλληλόγραμμο με διαγώνιους ίσες (άρα ορθογώνιο) και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (άρα ρόμβος).

v) Είναι παραλληλόγραμμο με διαγώνιους ίσες (άρα ορθογώνιο) και η μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του (άρα ρόμβος).

vi) Είναι παραλληλόγραμμο με διαγώνιους ίσες (άρα ορθογώνιο) και κάθετες (άρα ρόμβος).