Παράλληλες Ευθείες 📏

Εισαγωγή

Δύο διαφορετικές ευθείες $ε_1$ και $ε_2$ που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο μπορεί να έχουν:

• Ένα κοινό σημείο ☝️ (τέμνονται)
• Κανένα κοινό σημείο 🚫 (παράλληλες)
• Όλα τα σημεία κοινά (ταυτίζονται)

Οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών $ε_1$ και $ε_2$ στο ίδιο επίπεδο είναι:
i) Ταυτίζονται: Είναι η ίδια ευθεία.
ii) Τέμνονται: Έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.
iii) Παράλληλες: Δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Γράφουμε $ε_1 // ε_2$. ✅

Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα

Όταν μια τρίτη ευθεία $ε$ τέμνει δύο ευθείες $ε_1$ και $ε_2$, σχηματίζονται οκτώ γωνίες. 📐 Η ευθεία $ε$ λέγεται τέμνουσα των $ε_1$ και $ε_2$. Ονομάζουμε τις τέσσερις γωνίες γύρω από το πρώτο σημείο τομής $α, β, γ, δ$ και τις τέσσερις γύρω από το δεύτερο $ε, ζ, η, θ$.

Ας δούμε τις ονομασίες των γωνιών:

• Εντός: Οι γωνίες $γ, δ, ε, ζ$ που βρίσκονται μεταξύ των $ε_1$ και $ε_2$.
• Εκτός: Οι γωνίες $α, β, η, θ$ που βρίσκονται έξω από τις $ε_1$ και $ε_2$.
• Επί τα αυτά μέρη: Ζεύγη γωνιών που βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την τέμνουσα $ε$.
• Εντός εναλλάξ: Τα ζεύγη $γ, ε$ και $δ, ζ$.
• Εκτός εναλλάξ: Τα ζεύγη $α, η$ και $β, θ$.
• Εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη (ή αντίστοιχες): Τα ζεύγη $α, ε$, $β, ζ$, $γ, η$ και $δ, θ$.

Θεώρημα 💡

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες.

• Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή): Έστω ότι $γ = ε$. Αν οι ευθείες $ε_1, ε_2$ τέμνονταν σε σημείο Γ, θα σχηματιζόταν τρίγωνο ΑΒΓ. Τότε η εξωτερική γωνία $γ$ του τριγώνου θα ήταν ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία $ε$, πράγμα αδύνατο, γιατί κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε απέναντι εσωτερική. Άρα οι $ε_1, ε_2$ δεν τέμνονται, δηλαδή $ε_1 // ε_2$.

Πόρισμα Ι 📜

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες.

Πόρισμα ΙΙ 📜

Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Αίτημα παραλληλίας (Ευκλείδειο Αίτημα) 🏛️

☝️ Αυτό το αξίωμα είναι θεμελιώδες στην Ευκλείδεια Γεωμετρία: όλα τα κριτήρια παραλληλίας που είδαμε πριν από αυτό αποδεικνύονται χωρίς αυτό, ενώ όλες οι ιδιότητες που ακολουθούν στηρίζονται πάνω του.

Ιδιότητες παράλληλων ευθειών ✨

Από το αίτημα παραλληλίας προκύπτουν οι παρακάτω προτάσεις:

Πρόταση Ι

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.

Πόρισμα (από Πρόταση Ι) 📄

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν:

1. τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες.
2. τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές.

Πρόταση ΙΙ

Αν δύο διαφορετικές ευθείες $ε_1$ και $ε_2$ είναι παράλληλες προς μια τρίτη ευθεία $ε$, τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Δηλαδή, αν $ε_1 // ε$ και $ε_2 // ε$, τότε $ε_1 // ε_2$. (Η παραλληλία είναι μεταβατική ιδιότητα).

Πρόταση ΙΙΙ

Αν δύο ευθείες $ε_1$ και $ε_2$ είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία $ε$ τέμνει τη μία από αυτές ($ε_1$), τότε η $ε$ θα τέμνει και την άλλη ($ε_2$).

Πόρισμα (από Πρόταση ΙΙΙ) 📄

Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη.

Πρόταση IV (Ισοδύναμη με το Αίτημα Παραλληλίας)

Αν δύο ευθείες $ε_1, ε_2$ τεμνόμενες από τρίτη $ε$ σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 2 ορθές ($ω + φ < 2L$), τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Γωνίες με πλευρές παράλληλες 👯‍♀️

Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες $ω = x\hat{O}y$ και $φ = x'\hat{O'}y'$ με $Ox // O'x'$ και $Oy // O'y'$, δηλαδή με τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία.

Παρατηρούμε ότι:

• Αν και οι δύο πλευρές είναι ομόρροπες (ίδια κατεύθυνση) ή και οι δύο αντίρροπες (αντίθετη κατεύθυνση), οι γωνίες είναι ίσες ($ω = φ$). 👍
• Αν η μία πλευρά είναι ομόρροπη και η άλλη αντίρροπη, οι γωνίες είναι παραπληρωματικές ($ω + φ = 2L$). 🤝

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:
Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.